Respuesta de un sistema ante una señal periódica de entrada



Resumen

En el presente trabajo se obtiene la respuesta de un sistema ante una señal periódica de entrada, para ello se empleará el Método de Euler para darle solución a la ecuación diferencial obtenida del sistema en cuestión. La simulación de dicha respuesta se realiza en los programas de simulación LabWindows y Proteus comparándose los resultados obtenidos en cada uno de ellos.

ABSTRACT

In the present work turns out well the entrance answer of a system before a periodic sign, for it use him Euler's Method to give solution to the differential equation obtained of the given system. The simulation of the answer is accomplished in the programs of simulation LabWindows and Proteus comparing both results.

Problema

Obtener la respuesta del circuito mostrado en la figura 1 a la señal de entrada representada en la figura 2. Realizar la simulación en LabWindows, elaborando un panel que pueda mostrar los resultados de la simulación para dos períodos de la señal de entrada, y donde se puedan variar razonablemente los valores de los componentes del circuito y la amplitud de la señal de entrada. Verificar el resultado de la simulación comparando con lo que se obtiene al simular el circuito en Proteus.

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Fig 1

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Fig 2

Introducción

Con el desarrollo de la ciencia, algunas de sus ramas han ido cobrando día a día más fuerzas, tal es el caso de la computación. Las grandes compañías que llevan la delantera en la producción de software se han encargado de proveernos de programas especializados que nos permiten llevar a cabo tareas de simulación, así como de adquisición y procesamiento de la información. Dentro de estos se encuentra el LabWindows/CVI que es un producto de National Instruments.

Con el programa anteriormente mencionado se puede realizar la simulación de un instrumento virtual que es un conjunto de programas y equipos con una interfaz gráfica que tiene la apariencia y el aspecto de un instrumento físico. El usuario puede manejar el instrumento a través del panel gráfico como si fuera un instrumento real.

La tendencia actual en instrumentación es utilizar la computadora como un elemento más. Los instrumentos virtuales se benefician de la arquitectura abierta de los estándares de computadoras para ofrecer las capacidades de procesado, memoria y visualización; mientras que las tarjetas de adquisición, de bajo costo, conectadas en el bus de la computadora sirven de vehículo para las capacidades del instrumento virtual. La funcionalidad del instrumento la define el propio usuario y la potencia de procesado puede ser incluso mucho mayor que en los instrumentos convencionales.

Desarrollo

Software Utilizado

LabWindows/CVI (National Instruments) es un entorno de programación propio en C, con menús de ayuda para la generación de código de forma interactiva, para aplicaciones MS-Windows, de test, medida y control. Incluye compilador de ANSI-C, enlazador (linker), depurador (debugger) y bibliotecas de funciones para adquisición de datos, análisis y presentación. Se pueden incorporar ficheros fuente externos, módulos objeto y DLL. Se pueden generar aplicaciones ejecutables fuera del entorno. Una característica importante de este paquete de programación es la inclusión de bibliotecas de instrumentos, drivers, dentro del mismo entorno y que el fabricante suministra de forma gratuita para una gran diversidad de fabricantes de instrumentos controlables: IEEE-488, VXI, RS-232 y CAMAC.

Solución del Problema

Para la solución del problema planteado se empleará el método de Euler para resolver la ecuación diferencial obtenida del circuito de la figura 1, y se usará, para la excitación de la figura 2 con un período de T=10 ms. Esta respuesta se simulará en LabWindows y Proteus para su posterior comparación.

El Método de Euler calcula la derivada de una función en el instante t como la diferencia entre el valor de la función en el instante t y el valor de la función en el instante t-1 dividido entre un tiempo de muestreo Tm, como se observa en la figura 3. Tm es el tiempo entre la toma de una muestra y la siguiente. Mediante este método se obtienen resultados aproximados, los cuales pueden ser muy buenos en dependencia del grado del error que se cometa. El error cometido será menor en la medida en que el período de muestreo Tm se haga más pequeño.

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Figura 3

Esta expresión se puede programar de modo que se obtengan, mediante un procedimiento iterativo, los diferentes valores de y(k), para k = 0, 1, 2, El valor del tiempo se obtiene sabiendo que:

t k = t k-1 + Tm = kTm

Modelo matemático del circuito de la Fig 1

Para la representación temporal. Se trata de obtener la ecuación diferencial del circuito.

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Figura 4

Conociendo que en el circuito representado en la figura 4

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La ecuación anterior es la buscada. Ahora se puede aplicar el Método de Euler

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Despejamos V2 y nos queda:

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Quedando la ecuación diferencial general:

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Donde:

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Descripción de la Aplicación

El programa cuenta con una interfaz gráfica que permite visualizar tanto la señal de entrada como la de salida, además de permitir la introducción de los valores de los componentes del circuito (R, R1 y C), así como la amplitud de la señal de entrada. Todo esto proporciona una fácil manipulación de los diferentes valores de los componentes del circuito y una interpretación electrónica adecuada de los resultados obtenidos a través de la señal de salida.

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Componentes utilizados

Se utilizó 1 GRAPH para la visualización de la señal de entrada y de salida. Este control permite la personalización del entorno (define colores, textos para identificar las abscisas y las ordenadas, etc.).

Los NUMERIC utilizados son para la selección de los valores de los componentes del circuito en cuestión tales como las resistencias R, R1 y el capacitor C. También se usó un NUMERIC para la selección de la amplitud de la señal de entrada. Estos componentes permiten varias configuraciones, entre las que encontramos:

La violación de estos límites generará una excepción.

Se usaron además dos COMMAND BUTTON, uno para ejecutar el algoritmo creado para resolver el problema y graficar los resultados, y el otro para salir de la aplicación.

Funciones Utilizadas

Selección de los valores de R y C

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Como un tercio de la señal de entrada es 3.33ms queda claro que para estos valores de R y C se podrá obtener la señal de salida deseada. El valor de las resistencias R y R1 no tiene ninguna implicación en la forma de onda de la señal de salida, pues esta, como se puede observar en la ecuación final de V2 (k), constituye un factor de amplificación.

Resultados de la simulación

La simulación se realizó con diferentes valores de los componentes para comprobar su validez, aquí se mostrará el resultado obtenido para los valores de R y C planteados anteriormente (R=1.25k?, C = 1&µF, Amplitud=10 y

Ganancia = 1.

LabWindows

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Proteus

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Comparación de los resultados

Como se puede apreciar los resultados obtenidos son bastante similares ya que la señal de salida presenta, aproximadamente, la misma forma de onda y el mismo valor de amplitud para los mismos valores de R, C y R1. En ambas simulaciones, en un período igual a dos veces el periodo de la señal de entrada, se puede apreciar claramente la carga y descarga, del capacitor.

Conclusiones

Mediante este trabajo se pudo comprobar la utilidad y funcionalidad del método de Euler, mediante el cual se puedo obtener una muy buena aproximación de la respuesta del circuito de la Fig 1 ante la señal de entrada representada en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.. Los resultados obtenidos mediante el LabWindows fueron muy similares a los obtenidos a través del Proteus. Lo anterior demuestra la validez de dichos resultados.

 

 

Autor:

Randy Verdecia Peña, Ing. (1)

(1) Empresa de Telecomunicaciones de Cuba S.A (ETECSA), Granma, Cuba