Introducción a la Teoría de Control

Introducción a la Teoría de Control

Introducción
Los sistemas de tiempo discreto trabajan con señales que sólo pueden cambiar de valor en instantes de tiempo discretos (contrastar con sistemas analógicos /continuos).

El controlador es un filtro digital.
Veremos cómo
determinar funciones de transferencia discretas,
diseñar funciones de transferencia, y
analizar la estabilidad de sistemas de tiempo discreto.

Introducción
La transformada de Laplace
Ya hemos visto su utilidad para sistemas analógicos lineales e invariantes en el tiempo.
Sabemos cómo usar tablas para calcular la transformada de Laplace de una función en el tiempo, y su inversa, para retornar de las funciones de variable compleja al dominio temporal.

Sabemos una serie de propiedades y teoremas (linealidad, valor final, inicial, etc.)
Vamos a buscar algo análogo, que nos facilite el análisis y diseño de sistemas de control en tiempo discreto.

Sistemas en tiempo discreto
La computadora digital implementa el controlador discreto.
La interfaz con el mundo analógico se hace a través de conversores (A/D para las entradas y D/A para las salidas).
Trabajaremos con sistemas donde el tiempo no se representa por una variable en R, sino en Z.
Las señales serán sucesiones de reales

Sistemas en tiempo discreto (2)
Supongamos que reemplazamos un controlador PI analógico, cuya salida, en función de la señal de error a su entrada, es:
donde T es el tiempo entre muestras sucesivas, o sea, el período de muestreo.
Con la comp. digital podemos sumar, multiplicar e integrar numéricamente, por lo cual podemos implementar la ecuación del controlador, aproximando la integral (por ej.) por el área del rectángulo:
Así obtenemos la ecuación en diferencias, lineal y de primer orden:

Sistemas en tiempo discreto (3)
La forma general de una ec. en diferencias lineal y de orden n:
con T omitida por conveniencia.
Esto describe a un filtro digital (filtro discreto lineal e invariante en el tiempo).
El problema del diseñador es determinar:
T, el período de muestreo
n, el orden de la ecuación
?i y ?i, los coeficientes del filtro
para que el sistema tenga las características deseadas.

La Transformada Z (1)
Es una transformación que se aplica a sucesiones de números (reales) y devuelve una función de variable compleja.

Usaremos la transformada Z unilateral, porque consideraremos funciones (o sucesiones) que arrancan en determinado tiempo.
Ejemplos
1) Sea E(z) = 1 + 3.z-1 – 2.z-2 + z-4 + …, {e(k)} = ?
e(0) = 1; e(1) = 3; e(2) = -2; e(3) = 0; e(4) = 1; ….
2) Sea e(k) = 1 para todo k, E(z) = ?
Nota: e(k) = 1 puede ser generada por muestreo de un escalón unitario, o de cualquier otra función que valga 1 cada T seg.

La Transformada Z (2)
Teoremas
Linealidad

Traslación real: retraso

adelanto

Traslación compleja

Valor inicial

Valor final
Nota: Existe el limite si todos los polos de H(z) están dentro del círculo unitario, excepto por un posible polo simple en z = 1.

La Antitransformada Z (1)
Método de las series de potencias
Cuando E(z) se expresa como cociente de polinomios en z, se divide el polinomio numerador entre el denominador, de manera de obtener una serie de potencias de la forma:
y se identifican coeficientes según la definición de la transf. Z.
Para que la transformada Z sea útil, se requieren métodos para determinar la inversa.
Ejemplo
e(0) = 0; e(1) = 1; e(2) = 3;
e(3) =7; e(4) = 15; … ; e(k) = 2k – 1
En general, no es fácil reconocer la expresión general de {e(k)} por este método.

La Antitransformada Z (2)
Método de la expansión en fracciones simples
Es análogo a lo usado para la Transf. de Laplace: se expande en fracciones simples y se usan tablas para cada término.

La Antitransformada Z (3)
Método de la expansión en fracciones simples
Notemos en la tabla anterior que en el numerador generalmente hay factores de z, así que conviene hacer la expansión a E(z)/z, para que la identificación de términos sea más fácil.
Ejemplo
Las tablas indican entonces que

La Antitransformada Z (4)
Método de la fórmula de inversión
Fórmula general, obtenida vía la teoría de variable compleja.

donde ? encierra todos los polos finitos del integrando.
Usando el Teorema de los Residuos, se puede evaluar la integral anterior a través de la expresión
Para un polo en z = a,
de orden 1:

de orden m:

con condiciones iniciales nulas (por ahora, las sucesiones son causales).
Esto define a un sistema causal (yK no depende de valores posteriores a k); y de parámetros concentrados (alcanza conocer hasta n valores anteriores de entrada y salida).
Función de transferencia (1)
Consideremos la ecuación en diferencias lineal y de orden n:
Aplicamos Transf. Z:
Reordenando
Luego

Existe una función de transferencia H(z) / Y(z) = H(z).U(z) que relaciona entrada y salida, con condiciones iniciales nulas.
Función de transferencia (2)
Así tenemos, para un sist. de 1 entrada y 1 salida:
(Gp:) H(z)
(Gp:) U(z)
(Gp:) Y(z)

El shift register: el retardo de tiempo T
Diagrama de bloques (1)
Una tercera forma de representar un sist. en tiempo discreto, l.i.t.
Otros:
multiplicación de una señal por una constante
suma de señales
Ejemplo

Diagrama de bloques (2)
Para la ecuación en diferencias genérica de un sist. de orden n
Solución no mínima (son 2.n retardos o shift registers)