Control (2)
Especificaciones
Estabilidad relativa
Existen fórmulas que relacionan los márgenes con la respuesta de sist. de 2º orden. Para órdenes mayores sólo hay aproximaciones.
Sensibilidad
Hay parámetros que varían con la temp., humedad, altitud, edad, etc. Se busca reducir la sensibilidad de las características del sist. a estos cambios.
Esto se consigue, en general, aumentando la ganancia del lazo abierto.
Rechazo a perturbaciones
Es deseable que nuestro sistema responda mínimamente a cambios en entradas que no son usadas para controlar la salida.
Para eso, se precisan ganancias de lazo abierto grandes, pero que no ocurran en el camino directo entre la entrada perturbadora y la salida.
Control (3)
Controladores para sistemas realimentados
Compensadores (atraso, adelanto y atraso-adelanto de fase)
Similares a tiempo continuo.
Controladores PID
Su sintonía también se apoya en la respuesta en frecuencia.
Existen técnicas similares a las de tiempo continuo.
Diseño con el Lugar de las Raíces
Agregado de ceros y polos de manera de ubicar los polos del sistema en lazo cerrado en lugares más adecuados del plano z.
Nota: Todas se basan en la función de transferencia.
? Esa información ¡está en el vector de estados!
Especificado matemáticamente cuál es el mejor sistema de control, para su implementación debemos contar con el vector de estados completo.
Control: Realimentación de estados (4)
Hasta ahora sólo una señal era realimentada.
Parece razonable pensar que contar con mayor información sobre la condición actual del sistema nos permitirá generar una acción de control mejor.
? Para la mayoría de los sistemas de control, la medida del vector de estados completo es impráctica.
Para superar esto se estiman los estados a partir de medidas más prácticas.
? Afortunadamente se puede separar el diseño en 2 partes:
1) Diseñar el sistema asumiendo que se cuenta con todos los estados.
2) Diseñar el estimador de estados.
Control: Realimentación de estados (5)
La ubicación de polos
Las especificaciones de funcionamiento de un sistema de control pueden traducirse en una región adecuada para la ubicación de los polos de la función de transferencia en lazo cerrado.
La idea es generar la entrada a la planta como una entrada de referencia más un combinación lineal de los estados:
(Gp:) xk+1
(Gp:) z-1
(Gp:) ?
(Gp:) yk
(Gp:) uk
(Gp:) xk
(Gp:) D
(Gp:) ?
(Gp:) C
(Gp:) +
(Gp:) +
(Gp:) +
(Gp:) rk
(Gp:) K
K es la matriz de ganancias de realimentación
Control: Realimentación de estados (6)
La ubicación de polos
Si el sistema original es:
El sistema con realimentación de estados queda:
Si notamos , los elementos de la matriz K se determinan a partir de la ubicación de los polos del sistema, o sea de las raíces de la ecuación característica .
Control: Realimentación de estados (7)
La ubicación de polos
No podemos ubicar los polos en cualquier lugar
Si intentamos que el sistema responda demasiado rápido, las señales de control serán muy grandes y la planta entrará en una zona de funcionamiento no lineal, y nuestro modelo ya no será válido. Por lo tanto, al ubicar los polos debemos tener en cuenta al sistema físico.
No se puede asegurar que para cualquier sistema se pueda ubicar los polos de la función de transferencia en lazo cerrado en lugares arbitrarios.
Para ello se necesita una propiedad adicional: la controlabilidad.
Controlabilidad (1)
Para el modelo en variables de estado
la solución era:
Pregunta: Partiendo de un estado inicial cualquiera, ¿puedo llevarlo al estado nulo en un tiempo finito?
Un sistema es controlable ?
la matriz C = es de rango completo (n)
Un estado x0 es controlable si existe un entrada {u(k)} que lleva al sistema, en un tiempo finito N, desde la condición inicial x0 al estado nulo.
Controlabilidad (2)
Definiciones
Un sistema es (completamente) controlable si todos los estados son controlables.
Teorema
Nota: Se demuestra que pedir que C sea de rango n me permite alcanzar cualquier estado desde cualquier estado inicial.
Si un sistema (?, ?, C, D) es controlable siempre se puede encontrar una matriz de realimentación de estados K,
que ubique los polos del sistema realimentado en las posiciones deseadas. (que tenga el polinomio característico que se desee).
Controlabilidad y realimentación (1)
Teorema
Nota: La realimentación de estados y la controlabilidad, las hemos visto para tiempo discreto, pero es análogo para tiempo continuo.
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