Redes de colas (página 2)

Partes: 1, 2

Consecuencias del teorema
Número medio de trabajos en el sistema, Lred, que es la suma de los número medios de trabajos en cada uno de los nodos:
Tiempo medio en el sistema, Wred, que es el tiempo medio que pasa una tarea desde que entra en la red hasta que sale de ella:

Consecuencias del teorema
Razón de visitas al nodo i, Vi, que es el número medio de veces que un trabajo visita el nodo i desde que entra en la red hasta que sale:

Nota: en una red acíclica habrá de cumplirse que Vi?1 ?i?{1,2,,,,,K}, ya que cada tarea visitará cada nodo a lo sumo una vez

Ejemplo (red acíclica)
(Gp:) 1

1,5
(Gp:) 2

0,8
(Gp:) 3

0,2
(Gp:) 6

0,5
(Gp:) 4

0,6
(Gp:) 5

0,4
1

Ejemplo (red acíclica)
En el ejemplo, ?1=1,5; r12=0,2; r13=0,8; r34=0,6; r35=0,4; ?6=0,5; r65=1; con lo cual la solución es:
Ecuaciones de equilibrio:

Ejemplo (red acíclica)
Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo M|M|1):
Condición de no saturación (se cumple porque ?i< 1):

Ejemplo (red acíclica)

Red abierta cíclica
(Gp:) 1

0,2
(Gp:) 2

0,7
(Gp:) 3

0,3
(Gp:) 4

0,1
(Gp:) 5

0,9
0,8
0,6

Ejemplo (red cíclica)
En el ejemplo, ?1=0,2; r12=0,3; r13=0,7; ?3=0,8; r53=0,6; r34=0,1; r35=0,9; con lo cual la solución es:
Ecuaciones de equilibrio:

Ejemplo (red cíclica)
Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo M|M|1):
Condición de no saturación (se cumple porque ?i< 1):

Ejemplo (red cíclica)

Redes de Jackson cerradas

Definición
Una red de colas cerrada se dice que es de Jackson sii:
Sólo hay una clase de trabajos
Los enrutados son probabilísticos, donde rij ? 0 es la probabilidad de ir al nodo j después de haber salido del nodo i,
Cada nodo i es una cola .|M|ci
Hay una cantidad constante M de trabajos en el sistema
El número total de nodos de la red se notará K

Ecuaciones de equilibrio
Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos que:
Las K ecuaciones anteriores forman un sistema lineal indeterminado con un grado de libertad, que resolveremos para hallar las tasas de llegada relativas a cada nodo ?i*, Para ello fijaremos un valor positivo arbitrario para una incógnita, por ejemplo ?1*=1

Análisis del valor medio
Hallaremos las siguientes medidas de rendimiento para M tareas en el sistema:
Li(M)=Número medio de tareas en el nodo i
Wi(M)=Tiempo medio que cada tarea pasa en el nodo i cada vez que lo visita
?i(M)=Tasa real de salidas del nodo i
Se trata de un algoritmo iterativo que va calculando Li(m), Wi(m) para valores crecientes de m a partir de m=0

Análisis del valor medio
Las ecuaciones son:

Red cerrada
(Gp:) 1

(Gp:) 2

0,3
(Gp:) 4

0,7
(Gp:) 3

1
1
1

Ejemplo (red cerrada)
En el ejemplo, r12=0,3; r14=0,7; r23=1; r31=1; r41=1; con lo cual la solución es, tomando ?1*=1:
Ecuaciones de equilibrio:

Ejemplo (red cerrada)

Ejemplo (red cerrada)
Primera iteración:

Ejemplo (red cerrada)

Ejemplo (red cerrada)
m
L
Cola 1
Colas 2 y 3
Cola 4

Ejemplo (red cerrada)
m
W
Cola 1
Colas 2 y 3
Cola 4

Ejemplo (red cerrada)
Utilización del
servidor (%)
U=?/?=
L/(W?)
m
Cola 1
Cola 4
Colas 2 y 3

Cuellos de botella
Un cuello de botella en un sistema de colas es un nodo cuya capacidad de procesamiento determina el rendimiento de todo el sistema
Definición: Sea una red de Jackson cerrada. Diremos que el nodo j es un cuello de botella sii Lj(m)?? cuando m??
En el ejemplo anterior el nodo 1 es un cuello de botella. Trabaja al límite de su capacidad mientras que los otros no (se quedan al 30% o al 70%). Para mejorar el rendimiento global del sistema habría que aumentar la capacidad de procesamiento del nodo 1