Tratado de ecuaciones diferenciales

Monografía destacada


Ecuaciones diferenciales de primer orden

Las ecuaciones diferenciales de primer orden aparecen tan a menudo en las ciencias e ingeniería que un estudio riguroso y completo de las mismas es necesario, por ejemplo, el perfil de concentración de las especies químicas que participan en reacciones químicas que se desarrollan en serie tal como la reaccion química Monografias.comse puede obtener resolviendo una ecuación de primer orden que se obtiene a partir de las leyes cinéticas que gobiernan los fenómenos de reaccion química, así existen gran cantidad de fenómenos no solo químicos, sino también mecánicos, aeronáuticos, dinámicos que son descritos por medio de ecuaciones diferenciales de primer orden, es por tal motivo que en esta oportunidad que se me presenta expondré de forma clara y contundente la teoría al respecto, se comenzara reconociendo la forma de las ecuaciones diferenciales de primer orden para luego proceder a implementar un método para su resolución:

Una ecuación diferencial de primer orden viene representada por la expresión

Monografias.com

Donde Monografias.comes la variable independiente y Monografias.comes la variable dependiente, esta ecuación Monografias.compuede ser escrita convenientemente en la forma

Monografias.com

La misma que se escribe en la forma

Monografias.com

Dividiendo a cada término de esta ecuación por la función Monografias.comse tendrá

Monografias.com

La misma que queda en la forma

Monografias.com

Llamando a las expresiones Monografias.comy Monografias.comcomo Monografias.comy Monografias.comrespectivamente, se tendrá

Monografias.com

De esta forma la ecuación diferencial de primer orden también puede estar representada por la expresión

Monografias.com

Donde Monografias.comy Monografias.compueden ser funciones de Monografias.comy Monografias.como de ambas a la vez, pueden subsistir casos en los que las funciones Monografias.comy Monografias.comson funciones solo de Monografias.comy Monografias.comrespectivamente, en tal caso la ecuación puede asumir la forma Monografias.comla misma que se puede resolver por un cómodo método de separación de variables, tal y como se describe a continuación

Escribiendo la ecuación Monografias.comen una forma conveniente, se tendrá

Monografias.com

Separando variables en esta expresión, se tendrá

Monografias.com

Luego, integrando la expresión, se tendrá

Monografias.com

Resolviendo rigurosamente el proceso de integración se obtendrá al final una solución satisfactoria que dará la función Monografias.comen funcion de Monografias.compuede notarse que la constate Monografias.comes una constante de integración arbitraria.

Un ejemplo inmediato de aplicación de estos resultados es el siguiente:

Ejemplo

Investigar la solución de la ecuación diferencial Monografias.com

Solución

Nótese que la ecuación puede ser escrita en la forma

Monografias.com

Separando variables en esta expresión, se tendrá

Monografias.com

Procediendo a la integración de esta expresión, se tendrá

Monografias.com

La misma que se escribe en la forma

Monografias.com

Finalmente se tiene que

Monografias.com

Donde como ya es sabido, la constante Monografias.comes una constante arbitraria de integración, la expresión Monografias.comasume la forma

Monografias.com

Esta expresión queda en la forma

Monografias.com

Nótese que la variable dependiente queda implícita en la expresión Monografias.comdonde Monografias.com

Otro ejemplo típico es el siguiente:

Ejemplo

Investigar una solución particular de la ecuación diferencial Monografias.comcon la condición de contorno Monografias.com

Solución

Nótese que la expresión Monografias.compuede ser escrita en la forma

Monografias.com

Monografias.com

Nótese que la expresión Monografias.comes continua y existe en Monografias.com

Separando variables en esta expresión, se tendrá

Monografias.com

Monografias.com

En el interludio matemático de cálculo de anti derivadas se tiene que las integrales Monografias.comy Monografias.comtienen como anti derivada a las funciones arco tangente

Monografias.com

Monografias.com

Luego, procediendo a la integración de esta expresión Monografias.comse tendrá

Monografias.com

Monografias.com

Recuérdese que las expresiones Monografias.comy Monografias.comconstituyen los valores principales de las funciones tangente inversa, por tal motivo, la función Monografias.comestá sujeta a la restricción Monografias.comasimismo, la función Monografias.comestá sujeta a la restricción Monografias.comluego, aplicar la condición Monografias.comen la expresión Monografias.compermitirá calcular la constante de integración Monografias.comaplicando tal condición, se tendrá

Monografias.com

Se reconoce que Monografias.comy además, se sabe que Monografias.comlos mismos que se reemplazan en la expresión Monografias.compara tener

Monografias.com

Monografias.com

Reemplazando este resultado en la expresión Monografias.comse tendrá

Monografias.com

Debe reconocerse que Monografias.comy Monografias.comluego, aplicando la función trigonométrica tangente en la expresión Monografias.comse tendrá

Monografias.com

Recuérdese que Monografias.comademás, de la propiedad trigonométrica de la tangente se una suma de ángulos, se tendrá

Monografias.com

Reemplazando las expresiones Monografias.comy Monografias.comse tendrá

Monografias.com

La misma que se puede escribir en la forma Monografias.comla misma que finalmente queda en la forma

Monografias.com

Resolución de una ecuación diferencial de primer orden por medio de un factor integrante

Ya se sabe que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden viene representada en la forma

Monografias.com

Para resolver esta ecuación diferencial se debe seguir un procedimiento que implique encontrar un factor integrante el mismo que en última instancia dará de alta una solución para la ecuación retante.

Antes que nada la ecuación Monografias.comdebe escribirse satisfactoriamente en la forma de una diferencial total, un procedimiento que se realiza a partir de la siguiente forma, a saber

Monografias.com

La expresión Monografias.comtiene ahora la forma de una diferencial total.

Pero se es incapaz ahora de saber si la misma es una diferencial exacta o es una diferencial inexacta.

Recuérdese que la diferencial total de una función Monografias.comviene dada de alta en la forma

Monografias.com

Se dice de la expresión Monografias.comque es la diferencial total de la función de dos variables Monografias.comrecuérdese además que la diferencial total de una función de dos variables Monografias.comes exacta, toda vez que se verifiquen las permutas de Clairaut, es decir, toda vez que se verifique que

Monografias.com

La misma que también se representa en la forma

Monografias.com

Dada la imposibilidad de saber si la expresión Monografias.comconstituye una diferencial exacta, se multiplica a toda la expresión por un factor Monografias.comque asegurara y garantizara que la expresión Monografias.comsea ahora una diferencial exacta, de esta forma se tiene que

Monografias.com

Dado que se ha multiplicado la expresión Monografias.compor un factor que garantiza que la misma será siempre una diferencial exacta, entonces, con toda seguridad que la expresión Monografias.comconstituye ahora una diferencial exacta, luego, como la expresión Monografias.comes una diferencial exacta, se ha de verificar que

Monografias.com

Esta expresión se escribe en la forma

Monografias.com

Luego, dado que la función Monografias.comno es función de Monografias.comentonces, se da de alta que Monografias.comademás, las expresiones Monografias.comy Monografias.comson funciones de Monografias.comen ese sentido, se verifica que Monografias.comla misma que se reduce a la forma Monografias.comluego, remplazando estas condiciones en la expresión

Monografias.com

Entonces, se tendrá

Monografias.com

Luego, separando variables en la expresión Monografias.comse tiene

Monografias.com

Integrando esta expresión se tiene

Monografias.com

Desarrollando la expresión, se tiene

Monografias.com

Resolviendo exponencialmente Monografias.comse tiene

Monografias.com

Nótese entonces que el factor integrante que ha de garantizar que la diferencial Monografias.comes exacta, llega a ser Monografias.comluego, reemplazando este resultado en la expresión Monografias.comse tendrá

Monografias.com

Luego, ha de notarse que Monografias.comesto en virtud de que

Monografias.com

Este resultado va quedando en la forma

Monografias.com

Luego, el primer teorema fundamental del cálculo me permite escribir

Monografias.com

Es decir, se cumple siempre que

Monografias.com

Luego reemplazando este resultado en la expresión Monografias.comse tiene

Monografias.com

Integrando esta expresión, se tiene

Monografias.com

Desarrollando la integración, se tiene

Monografias.com

Resolviendo Monografias.coma partir de esta ecuación, finalmente se tiene

Monografias.com

Esta expresión Monografias.comrepresenta la solución de la ecuación diferencial Monografias.comdonde Monografias.comes una constante arbitraria de integración.

Ejemplos de resolución de este tipo de ecuaciones diferenciales son los siguientes, a ver

Ejemplo

Investigue una solución para la ecuación diferencial Monografias.com

Solución

Se abate el problema calculando el factor de integración Monografias.comrecordándose que la forma general de la ecuación ordinaria de primer orden es de la forma Monografias.comatendiendo a esta señal se tiene que Monografias.comy que Monografias.comluego, investigando el factor integrante, se tiene

Monografias.com

Una propiedad de la función exponencial me permite finalmente escribir

Monografias.com

Esto significa que si se multiplica a la ecuación Monografias.compor Monografias.comla expresión se podrá resolver por un método de integración relativamente fácil de resolver, a ver

Monografias.com

Monografias.com

Luego, nótese que se cumple que Monografias.comtal y como se probó en la derivación del factor de integración, de esta forma se tiene

Monografias.com

Luego, separando variables en esta expresión, se tendrá

Monografias.com

Integrando esta expresión, se tiene

Monografias.com

Monografias.com

Nótese que hay que desarrollar la integral Monografias.comun cálculo que se abate en la forma:

Se atacara la integral utilizando el método de integración por partes, para tal efecto se hacen los cambios de variable Monografias.comy Monografias.comdiferenciando Monografias.comse tiene Monografias.comintegrando Monografias.comse tiene Monografias.comluego, el método de integración por partes exige reemplazar estos cambios de variable en la expresión

Monografias.com

Reemplazando los cambios de variable, se tiene

Monografias.com

Esta expresión va quedando en la forma

Monografias.com

Nótese que Monografias.comde esta forma se tiene

Monografias.com

Luego, reemplazando este resultado en la expresión

Monografias.com

Haciendo que Monografias.comy resolviendo Monografias.comse tiene

Monografias.com

Finalmente se tiene

Monografias.com

Esta expresión representa la solución de la ecuación diferencial Monografias.compara probar que en efecto la expresión Monografias.comes la solución de la ecuación Monografias.combasta reemplazar Monografias.comen la expresión Monografias.comy notar que el resultado de esta expresión es Monografias.coma probar

Monografias.com

Esta expresión queda en la forma

Monografias.com

Desarrollando la derivada, se tiene

Monografias.com

Esta expresión queda en la forma

Monografias.com

Luego, reemplazando este resultado en la expresión Monografias.comse tiene

Monografias.com

Simplificando esta expresión finalmente se tiene

Monografias.com

Lo que constituye la prueba de que en efecto la expresión Monografias.comes la solución de la ecuación Monografias.com

Este resultado expresa ya contundentemente que la expresión Monografias.comes la solución general de la ecuación Monografias.comMonografias.comque pasaría si se hubiera brindado la condición de contorno Monografias.comen estas circunstancias lo que se solicita es una solución particular de la ecuación Monografias.comque se encuentra nada más haciendo efectiva la condición Monografias.comen la expresión Monografias.compara tener

Monografias.com

Aplicando la condición Monografias.comse tiene

Monografias.com

Nótese que Monografias.comy que Monografias.comaplicando estos resultados en la expresion Monografias.comse tiene

Monografias.com

Esta expresión se reduce a la forma

Monografias.com

Resolviendo Monografias.coma partir de la expresión Monografias.comse tiene

Monografias.com

Reemplazando este resultado en la expresión Monografias.comse tiene

Monografias.com

Se tiene entonces que la solución particular Monografias.comes una solución particular de la solución general Monografias.comse puede probar que en efecto la expresión Monografias.comes una solución de la ecuación Monografias.com

Esto constituye la solución del ejercicio.

Otro ejemplo de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden es el siguiente:

Ejercicio

Investigar la solución de la ecuación diferencial Monografias.com

Solución

Ha de escribirse la ecuación Monografias.comen una forma que se pueda interpretar, nótese que se puede escribir

Monografias.com

Esta expresión se va reduciendo a la forma

Monografias.com

Esta expresión se escribe convenientemente en la forma

Monografias.com

Nótese que esta forma se parece a la ecuación Monografias.comdonde Monografias.comcalculando el factor integrante, se tiene

Monografias.com

Esta expresión se reduce a la forma

Monografias.com

Nótese que se requiere calcular la integral Monografias.comen un formulario de integrales y derivadas que he confeccionado he calculado esta integral, teniéndose el resultado:

CALCULO DE LA INTEGRAL DE LA FUNCIÓN Monografias.com

Note que lo que se quiere investigar es la integral Monografias.compara tal efecto considere la identidad trigonométrica Monografias.comla misma que se aplica a la expresión Monografias.compara tener

Monografias.com

Esta expresión se escribe convenientemente en la forma

Monografias.com

Luego, recuerde que en problemas anteriores se obtuvo el resultado

Monografias.com

Reemplazando entonces este resultado en la expresión Monografias.comse tendrá

Monografias.com

Note que la forma Monografias.comya constituye una forma integrable, la misma que se integra en la forma

Monografias.com

Finalmente, se tendrá

Monografias.com

Lo que constituye la solución del problema.

Aplicando este resultado en la expresión Monografias.comse tiene

Monografias.com

De las propiedades de los logaritmos, se tiene que

Monografias.com

Recuérdese que Monografias.comremplazando este resultado en la expresión Monografias.comse tiene

Monografias.com

Luego, de una propiedad de las funciones exponenciales, se tiene

Monografias.com

Multiplicando a la expresión Monografias.compor este factor Monografias.comse tendrá

Monografias.com

Nótese que

Monografias.com

Por tal motivo, se tiene que

Monografias.com

Separando variables en esta expresión, se tiene

Monografias.com

Integrando esta expresión se tiene

Monografias.com

Desarrollando la integración, se tiene

Monografias.com

Resolviendo Monografias.comde esta expresión, se tiene

Monografias.com

La misma que se escribe en la forma

Monografias.com

Esta expresión representa la solución de la ecuación diferencial Monografias.compara probar que en efecto la expresión Monografias.comes la solución de la ecuación Monografias.combasta reemplazar Monografias.comen la expresión Monografias.comy notar que el resultado de esta expresión es Monografias.coma probar

Monografias.com

Esta expresión queda en la forma

Monografias.com

Desarrollando la derivada, se tiene

Monografias.com

Esta expresión queda en la forma

Monografias.com

Recuerdes que Monografias.comy que Monografias.comademás, nótese que Monografias.comreemplazando estos resultados en la expresión Monografias.comse tendrá

Monografias.com

Esta expresión queda en la forma

Monografias.com

Luego, reemplazando este resultado en la expresión Monografias.comse tiene

Monografias.com

Simplificando y cancelando los términos cancelables, se tiene

Monografias.com

Esta expresión se reduce la forma

Monografias.com

Recuerdes que Monografias.comde esta expresión se tiene que Monografias.comde la misma que finalmente se tiene:

Monografias.com

Reemplazando este resultado en la expresión Monografias.comse tiene

Monografias.com

Lo que constituye la prueba de que en efecto la expresión Monografias.comes la solución de la ecuación Monografias.com

Este resultado expresa ya contundentemente que la expresión Monografias.comes la solución general de la ecuación Monografias.com

Otros ejemplos de aplicación de la solución de la ecuación general de primer orden son los siguientes:

Ejemplo

Investigue en cada uno de los ejemplos siguientes la solución particular obtenida a partir de la condición de contorno dada para cada caso:

Solución 1

La ecuación Monografias.comdebe ser expresada en la forma de una ecuación de primer orden a partir del siguiente procedimiento:

Dividiendo toda la ecuación Monografias.comentre Monografias.comse tiene

Monografias.com

Se exige que Monografias.comse sabe que Monografias.comy Monografias.comson constantes, solo falta investigar el factor integrante Monografias.comen esta ecuación con Monografias.compara tener

Monografias.com

Recuerde que la solución de la ecuación Monografias.comresulta de multiplicar a la misma por el factor integrante que en este caso es Monografias.compara tener

Monografias.com

Note que Monografias.comesta expresión queda en la forma Monografias.comluego, reemplazando esta razón en la ecuación Monografias.comse tiene

Monografias.com

Separando variables en esta expresión, se tiene

Monografias.com

Integrando indefinidamente esta expresión, se tiene

Monografias.com

Desarrollando las integrales, se tiene

Monografias.com

Resolviendo esta ecuación para Monografias.comse tiene

Monografias.com

Esta ecuación representa la solución general de la ecuación Monografias.comahora ha de aplicar la condición de contorno: cuando Monografias.compara de esta forma obtener una ecuación particular, a saber

Monografias.com

Resolviendo la constante Monografias.comse tiene

Monografias.com

Finalmente se tiene

Monografias.com

Luego, la solución particular que se obtiene de la ecuación Monografias.comcon la condición Monografias.comes entonces la solución:

Monografias.com

Esta expresión queda en la forma

Monografias.com

Factorizando está expresión, se tiene

Monografias.com

La que constituye la solución particular de la ecuación Monografias.comcon la condición Monografias.com

Para probar que en efecto la solución Monografias.comes una solución de la ecuación diferencial Monografias.combasta reemplazar aquella solución en la ecuación Monografias.comy probar que la misma se satisface, a saber

Calculando Monografias.comse tiene

Monografias.com

Esta expresión queda en la forma

Monografias.com

Desarrollando la derivada Monografias.comse tiene

Monografias.com

Monografias.com

Reemplazando este resultado en la expresión Monografias.comse tiene

Monografias.com

Se tiene entonces que

Monografias.com

Lo que comprueba que en efecto la ecuación Monografias.comes solución de la ecuación Monografias.com

Solución 2

La ecuación Monografias.comdebe ser expresada en la forma de una ecuación de primer orden a partir del siguiente procedimiento:

Dividiendo toda la ecuación Monografias.comentre Monografias.comse tiene

Monografias.com

Se exige que Monografias.comse sabe que Monografias.comy Monografias.comson constantes, solo falta investigar el factor integrante Monografias.comen esta ecuación con Monografias.compara tener

Monografias.com

Recuerde que la solución de la ecuación Monografias.comresulta de multiplicar a la misma por el factor integrante que en este caso es Monografias.compara tener

Monografias.com

Note que Monografias.comesta expresión queda en la forma Monografias.comluego, reemplazando esta razón en la ecuación Monografias.comse tiene

Monografias.com

Separando variables en esta expresión, se tiene

Monografias.com

Integrando indefinidamente esta expresión, se tiene

Monografias.com

Esta expresión va quedando en la forma

Monografias.com

Hace falta encontrar una anti derivada para la integral Monografias.compara tal efecto ha de suscribirse al siguiente procedimiento

Atacándose la integral por el método de integración por partes, se tiene

Haciendo los cambios de variable Monografias.comque se diferencia para tener Monografias.comy Monografias.comque se integra para tener Monografias.comaplicando la ecuación de integración por partes, se tiene

Monografias.com

Esta expresión queda en la forma

Monografias.com

Procediendo a una segunda integración por partes a la integral Monografias.comse hacen los cambios de variable Monografias.comque se diferencia para tener Monografias.comy Monografias.comque se integra para tener Monografias.comluego, aplicando la ecuación de integración por partes, se tiene

Monografias.com

Esta expresión va quedando en la forma

Monografias.com

La misma que se sigue reduciendo a la forma

Monografias.com

Resolviendo esta ecuación en favor de Monografias.comse llega a tener

Monografias.com

Se tiene entonces que

Monografias.com

Para probar que en efecto la expresión Monografias.comes la anti derivada de la función Monografias.comhace falta solo derivar la función Monografias.comcon respecto a Monografias.comy notar que se obtiene la función Monografias.coma probar

Monografias.com

Esta expresión va quedando en la forma

Monografias.com

Cancelando el término Monografias.comla expresión anterior se ve reducida a la forma

Monografias.com

Finalmente se tiene

Monografias.com

Este resultado da una prueba contundente de que en efecto la expresión Monografias.comes una anti derivada de la función Monografias.comse concluye entonces que:

Monografias.com

Reemplazando esta razón en la ecuación Monografias.comse llega a tener

Monografias.com

Desarrollando y resolviendo Monografias.comen esta expresión se alcanza la forma

Monografias.com

Esta expresión queda en la forma

Monografias.com

Esta ecuación representa la solución general de la ecuación Monografias.compara probar que esta premisa es correcta basta aplicar la solución Monografias.comen la ecuación Monografias.comy notar que la ecuación queda satisfecha, a probar

Calculando Monografias.comse tiene

Monografias.com

Esta expresión queda en la forma

Monografias.com

Ahora ha de aplicar la condición de contorno: cuando Monografias.compara de esta forma obtener una ecuación particular, a saber

Monografias.com

Esta expresión se reduce a la forma

Monografias.com

Resolviendo esta ecuación en favor de Monografias.comse tiene

Monografias.com

Luego, la solución particular que se obtiene de la ecuación Monografias.comcon la condición Monografias.comes entonces la solución:

Monografias.com

Factorizando está expresión, se tiene

Monografias.com

Finalmente se tiene

Monografias.com

La que constituye la solución particular de la ecuación Monografias.comcon la condición Monografias.com

Para probar que en efecto la solución Monografias.comes una solución de la ecuación diferencial Monografias.combasta reemplazar aquella solución en la ecuación Monografias.comy probar que la misma se satisface, a saber

Calculando Monografias.comse tiene

Monografias.com

Se tiene entonces que

Monografias.com

Lo que comprueba que en efecto la ecuación Monografias.comes solución de la ecuación Monografias.com

Solución 3

Para el caso de la ecuación diferencial Monografias.comcuando Monografias.comse ha de proceder en la forma:

La ecuación se escribe convenientemente en la forma de una ecuación de primer orden, a saber

Dividiendo esta expresión entre Monografias.comse tiene

Monografias.com

La expresión va quedando en la forma

Monografias.com

Esta expresión se escribe en la forma

Monografias.com