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Una onda es una perturbación periódica en el espacio y el tiempo capaz de propagar energía. La ecuación de ondas es la descripción matemática del modo en que dicha perturbación se propaga en el espacio y el tiempo.
Ondas transversales: Las oscilaciones ocurren perpendicularmente a la dirección de propagación en que se transfiere la energía de la onda. Así ocurre por ejemplo en una onda viajera en una cuerda tensa, en este caso la magnitud que varía es la distancia desde la posición horizontal de equilibrio.
Ondas longitudinales: Aquellas en que la dirección de propagación coincide con la dirección de vibración. Así el momvimiento de las partículas del medio es o bien en el mismo sentido o en sentido opuesto a la propagación de la onda. Por ejemplo, la propagación del sonido en un fluido: lo que cambia en este caso es la presión en el medio.
(Gp:) Vibración
(Gp:) Propagación
(Gp:) Vibración
(Gp:) Propagación
Algunas ondas transversales, las ondas electromagnéticas, pueden propagarse en el vacío. Sin embargo, las ondas longitudinales se propagan solo en medios materiales.
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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ecuación de ondas
Signo +
La onda viaja hacia la derecha
La onda viaja hacia la izquierda
(Gp:) Signo –
(Gp:) Espacio
(Gp:) Tiempo
(Gp:) Velocidad
de fase
(Gp:) X
(Gp:) Y
(Gp:) X
(Gp:) Y
Forma de onda (perfil) f
Forma de onda (perfil) f
La ecuación de onda describe una onda viajera si está presente el grupo (x ? v?t). Esta es una condición necesaria. (El término onda viajera se usa para enfatizar que nos referimos a ondas que se propagan en un medio, caso distinto del de las ondas estacionarias que se considerarán después.
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Onda armónica moviéndose hacia la derecha
Ecuación de onda
o
ONDAS ARMÓNICAS
Podemos elegir cualquiera de las dos formas añadiendo una fase inicial ?0 al argumento de la función…
Se dice que una onda es armónica si la forma de onda f es una función seno o coseno.
?
… lo que significa que elegimos el inicio de tiempos a nuestra conveniencia.
Una cosa más
Siempre que una onda armónica se propaga en un medio, cada punto del mismo describe un movimiento armónico.
Por ejemplo:
Si la onda alcanza un máximo en t = 0 y elegimos escribir su ecuación en forma coseno, entonces ?0 = 0 y nos queda
Esto describe exactamente la misma onda
¿Qué hay que hacer para escribir la misma onda usando la ecuación para el seno?
Respuesta:
Recordatorio:
Perfil de onda en t = 0
(Gp:) y depende sólo del tiempo
? es una distancia
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(Gp:) Dependencia temporal en x = x0
(Gp:) t
(Gp:) y
(Gp:) Perfil de onda para t = t0
(Gp:) y
(Gp:) x
ONDAS ARMÓNICAS / 2
Ec. de onda armónica (eligiendo forma coseno)
Velocidad de fase
(Gp:) Espacio
(Gp:) Tiempo
Recordatorio: la función coseno es periódica, verificando que.
Las ondas armónicas exhiben doble periodicidad
(Gp:) Periodo
Fase
Amplitud
Fase inicial
Desplazamiento
espacio
tiempo
(Gp:) Valle
(Gp:) Cresta
(Gp:) A
(Gp:) -A
(Gp:) Puntos en fase
(Gp:) Longitud de onda
(Gp:) Period
Foto instantánea
Gráfica posición / tiempo
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ONDAS ARMÓNICAS / 3
Ec. de onda armónica (eligiendo forma coseno)
Desplazamiento : valor actual de la magnitud y, dependiente de espacio y tiempo. Su valor máximo es la amplitud A.
Longitud de onda ?: distancia entre dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es 2?. .
Número de ondas k: número de ondas contenido en una vuelta completa (2? radianes). A veces se le llama número de ondas angular o número de ondas circular.
Unidades S.I.: rad/m, pero a menudo se indica solo m-1.
(Gp:) 1st onda
(Gp:) 2nd onda
(Gp:) 3rd onda
Periodo T: tiempo que tarda la fase de la onda armónica en aumentar 2? radianes.
Frequencia f: inversa del periodo. La frecuencia nos dice el número de oscilaciones por unidad de tiempo. Unidades S.I.: s-1 (1 s-1 = 1 Hz).
Frecuencia angular ?: número de oscilaciones en un intervalo de fase de 2? radianes.
La velocidad de fase está dada por
Velocidad de fase
(Gp:) Espacio
(Gp:) Tiempo
Amplitud
Fase inicial
Desplazamiento
Fase
En función del número de ondas y de la frecuencia angular, la ecuación de onda se escribe como
3. Si la onda viajera del ejemplo 1 anterior se propaga a 12p m/s en el sentido X positivo, hacer su representación esquemática.
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ONDAS ARMÓNICAS / 4
1. La frecuencia angular de una onda viajera es w = 6p rad/s. Hacer una representación esquemática de la misma.
La frecuencia angular w = 6p rad/s significa que en 1 s describe tres ciclos completos, ya que cada ciclo es 2p rad ? Periodo T = 1/3 s
2. ¿Cuál es la frecuencia angular de esta onda viajera? Cuál es su periodo?
Pregunta adicional: ¿Cuál es su frecuencia?
? Se repite 3 veces en 1 s ? 3 Hz (=1/T)
La gráfica presenta 6 oscilaciones completas que se extienden en un intervalo temporal de 2.5-0.5 = 2 ms.
Cada oscilación completa abarca un cambio de fase de 2p rad, por lo tanto la frecuencia angular será
w = = 6·2p /2·10-3 = 6000p rad/s
Periodo: puesto que en 2 ms describe 6 ciclos ? T = 1/3 ms
La velocidad de propagación de la onda es
? Cada metro tenemos p/2 rad
(1/4 de una oscilación completa)
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(Gp:) Ecuación de onda
donde x, y están en m, t en s, v = 0.50 m/s
Gráfica de y en función del tiempo (instantánea)
(Gp:) x (m)
(Gp:) y (m)
t = 0
t = 5
t = 10
EJEMPLOS
Ejemplo 1: pulso viajero
(Gp:) Cada perfil indica la forma del pulso para el tiempo señalado.
El pulso se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) a razón de 0.50 m/s
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Ecuación de onda
donde x, y están en m, t en s
Gráfica de y en función del tiempo (instantánea)
Ejemplo 2: pulso viajero
(Gp:) x (m)
(Gp:) y (m)
t = 0
t = 2
t = 4
(Gp:) Cada perfil indica la forma del pulso para el tiempo señalado.
Escribamos la ecuación de onda de modo que el grupo x+v·t aparezca explícitamente
Este pulso se mueve hacia la izquierda (sentido negativo del eje X) a razón de 0.50 m/s. Véase que v?t = t/2.
EJEMPLOS / 2
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Onda armónica
Ejemplo 3: onda armónica viajera
donde x, y están en m, t en s
Comparar con
(Gp:) x (m)
(Gp:) y (m)
t = 0
t = 2
t = 1
EJEMPLOS / 3
Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) con una velocidad de 1.00 m/s
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Onda armónica
Ejemplo 4
donde x, y están en m, t en s
EJEMPLOS / 4
x (m)
y (m)
Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) con una velocidad de 0.50 m/s
Número de ondas y frecuencia
Velocidad de fase
Comparando A = 1 m, y
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https://www.google.es/search?q=GIF+WAVES+IN+A+STRING&biw=1311&bih=538&tbm=isch&imgil=FYRDuM4rA1qaTM%253A%253BqkzxyDGr11G8fM%253Bhttps%25253A%25252F%25252Fwww.pinterest.com%25252Fpin%25252F487373990896334947%25252F&source=iu&pf=m&fir=FYRDuM4rA1qaTM%253A%252CqkzxyDGr11G8fM%252C_&usg=__rtP8ek034ECNPV-4ARs6Am06OfU%3D&ved=0ahUKEwjE1eeI5bvPAhVGMBoKHZv2BK8QyjcIMw&ei=ANHwV8TVDsbgaJvtk_gK#imgrc=4KfzroW1PfuqRM%3A
PROPIEDADES DE LAS ONDAS: SUPERPOSICIÓN
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PROPIEDADES DE LAS ONDAS: REFLEXIÓN y TRANSMISIÓN
https://www.google.es/search?q=GIF+WAVES+IN+A+STRING&biw=1311&bih=538&tbm=isch&imgil=FYRDuM4rA1qaTM%253A%253BqkzxyDGr11G8fM%253Bhttps%25253A%25252F%25252Fwww.pinterest.com%25252Fpin%25252F487373990896334947%25252F&source=iu&pf=m&fir=FYRDuM4rA1qaTM%253A%252CqkzxyDGr11G8fM%252C_&usg=__rtP8ek034ECNPV-4ARs6Am06OfU%3D&ved=0ahUKEwjE1eeI5bvPAhVGMBoKHZv2BK8QyjcIMw&ei=ANHwV8TVDsbgaJvtk_gK#imgrc=lTJ999vgqn6YWM%3A
Medio más denso
Frontera especular
En la reflexión se produce inversión de fase
Medio menos denso
En la reflexión de un medio más denso a un medio menos denso NO se produce inversión de fase
Onda o pulso viajero
Onda o pulso viajero
Transmisión
Reflexión
Reflexión
Caso 1: sólo reflexión
Caso 2: reflexión + transmisión
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PROPIEDADES DE LAS ONDAS: REFLEXIÓN y TRANSMISIÓN (2)
… Pero si la perturbación ondulatoria pasa del medio menos denso al más denso, entonces sí hay inversión de fase
Medio más denso
Medio menos denso
Onda o pulso viajero
Transmisión
Reflexión
Caso 2b: reflexión + transmisión
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VELOCIDAD DE LAS ONDAS MECÁNICAS
Las ondas mecánicas necesitanun medio material para propagarse.
Su velocidad de propagación depende de las propiedades del medio.
Fluidos
? ? densidad del fluido (kg/m3)
Módulo de compresibilidad
Solidos
? ? densidad del sólido (kg/m3)
Módulo de Young
Cuerda tensa
? ? densidad lineal de masa (kg/m)
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE LAS PARTÍCULAS DEL MEDIO
Velocidad máxima
Aceleración máxima
(Gp:) Velocidad en gases en función de la temperatura
(Gp:) Aire:
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LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS EN UNA CUERDA
Cada sección de la cuerda (masa Dm) oscila hacia arriba y abajo debido a la energía transportada por la onda.
Consideremos una onda transversal en una cuerda.
Según la onda se propaga en la cuerda, cada punto de la misma describe un movimiento armónico.
A partir de la ecuación de onda, obtenemos para el elemento Dm en la posición fija x0
Puesto que en un punto fijo k.x0 ie constante, podemos escribir que
Esta es la ecuación del movimiento armónico descrito por el elemento de masa Dm. La frecuencia angular de ese movimiento es w.
Recordemos que la energía de una masa Dm en un movimiento armónico de frecuencia angular w y amplitud A está dada por
(Gp:) Velocidad máxima
Sea m la masa de la cuerda por unidad de longitud Dx
Potencia transmitida por la onda
Unidades: Julio/s = watio
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LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS EN UNA CUERDA (2)
Potencia transmitida por la onda
Unidades: Julio/s = watio
Ejemplo:
Onda transversal de 100 Hz y 5 cm de amplitud, que se transmite en una cuerda muy larga de densidad lineal 4 g/m. Se mueve a 50 m/s.
Potencia
Atención al punto rojo!!
https://www.google.es/search?q=GIF+WAVES+IN+A+STRING&biw=1311&bih=538&tbm=isch&imgil=FYRDuM4rA1qaTM%253A%253BqkzxyDGr11G8fM%253Bhttps%25253A%25252F%25252Fwww.pinterest.com%25252Fpin%25252F487373990896334947%25252F&source=iu&pf=m&fir=FYRDuM4rA1qaTM%253A%252CqkzxyDGr11G8fM%252C_&usg=__rtP8ek034ECNPV-4ARs6Am06OfU%3D&ved=0ahUKEwjE1eeI5bvPAhVGMBoKHZv2BK8QyjcIMw&ei=ANHwV8TVDsbgaJvtk_gK#q=GIF%20WAVES%20IN%20A%20STRING&tbm=isch&tbs=rimg%3ACZUyfffb4Kp-IjijqOKZftCCKCxJ1CxBYgKX8T5OSRacIG_1x44Xkaw0-YdpKtnuq4N1GoOPUJTxvxBSRiGobbzbdWCoSCaOo4pl-0IIoEdbxlQc4OT8TKhIJLEnULEFiApcRQRd3cxdKzC0qEgnxPk5JFpwgbxFBF3dzF0rMLSoSCfHjheRrDT5hESQixbTngaYhKhIJ2kq2e6rg3UYREz2-cvelGEgqEgmg49QlPG_1EFBFBF3dzF0rMLSoSCZGIahtvNt1YEcdPdwdOaBFp&imgrc=AABmduUfGbSb3M%3A
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