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Una propuesta para la formación del concepto límite de una función real de una variable real



Resumen

La formación del concepto, límite de una función, puede ser considerada como primario dentro del aparataje conceptual de la Matemática Superior. En su aprendizaje, en la actualidad, subsisten dificultades que limitan su comprensión. En la ejecución de la investigación se determinaron: el nivel de comprensión del concepto por los estudiantes de la carrera Ingeniería Industrial, las potencialidades del GeoGebra para la enseñanza de conceptos matemáticos, el estado de utilización de los software en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática en la Universidad de Holguín y las aportaciones de las investigaciones sobre el tema. Para ello se aplicaron los métodos histórico-lógicos, análisis y síntesis, inducción y deducción, y del nivel empíricos, la observación, encuestas, entrevistas, revisión documental y pruebas pedagógicas. La principal contribución de la investigación radica en la propuesta de tareas docentes asistidas por el GeoGebra. Su implementación permite a los estudiantes la comprensión de los conceptos básicos de la Matemática Superior, así como la solución de problemas prácticos que pueden ser modelados matemáticamente.

PALABRAS CLAVE: formación de concepto, proceso de enseñanza y aprendizaje, software, Matemática Superior

ABSTRACT

The formation of the concept, limit of a function, can be taken as primary within the conceptual apparatus of Higher Mathematics. In their learning, at present, the difficulties that limit their understanding remain. During the execution of the investigation were determined: the level of understanding of the concept for the students of the Industrial Engineering career, the potential of GeoGebra for teaching mathematical concepts, the state of software utilization in the teaching and learning process of the Mathematics at the University of Holguín and the contributions of the investigations on the subject. For this purpose, historical-logical methods, analysis and synthesis, induction and deduction, and empirical level, observation, surveys, interviews, documentary review and pedagogical tests are applied. The main contribution of the research lies in the proposal of teaching tasks assisted by GeoGebra. Its implementation allows students to understand the basic concepts of Higher Mathematics, as well as the solution of practical problems, which can have a mathematic modeled representation.

KEY WORDS: concept formation, teaching and learning process, software, Higher Mathematics

Introducción

La UNESCO y el Consejo Internacional para la Ciencia (ICSU) han manifestado su preocupación por el desinterés que muestra el estudiante hacia los estudios de ciencia durante las últimas décadas. En las conclusiones de la Conferencia Mundial sobre la Ciencia para el siglo XXI, expresadas en la Declaración de Budapest del año 1999, se deja claro el imperativo estratégico que supone la enseñanza de las ciencias en la contemporaneidad.

En un mundo en el que el desarrollo tecno-científico está presente en todos los aspectos de la vida humana, la educación en ciencias no es menos necesaria de lo que lo fue la alfabetización de los individuos con la aparición de las sociedades industriales. Los países necesitan profesionales bien formados que participen en los procesos de investigación, innovación y desarrollo al más alto nivel.

El perfeccionamiento de la formación inicial de los Ingenieros Industriales en Cuba ha transitado por diferentes concepciones, reflejados en los planes de estudios, en aras de su perfeccionamiento y la pertinencia de la carrera.

Este perfeccionamiento, tal y como reconocen investigadores, tanto a nivel nacional como internacional, debe responder al reto social de que existe una crisis en la formación de ingenieros a nivel mundial

El mundo en que vivimos, debido al desarrollo actual, se interpreta, valora, representa y predice los fenómenos y procesos que en él se manifiestan o se pueden manifestar a través de modelos matemáticos que se describen a través de funciones. El límite, la continuidad, la derivación y la integración de funciones reales de una variable real constituyen el contenido básico inicial que lo posibilitan en muchos casos.

El desarrollo alcanzado por la humanidad, cada vez sitúa al hombre más cerca de conocer a cabalidad la realidad que le rodea, donde los fenómenos que ocurren y se estudian tienen un carácter multifactorial. La extensión a las funciones de dos variables reales del límite, la continuidad, la derivación y la integración de funciones, así como la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden, además de constituir una sistematización de éstos en una variable, como contenido escolar, posibilitan una mayor comprensión por el profesional de los fenómenos y procesos de la realidad.

El proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática en la formación inicial de los ingenieros en la Universidad de Holguín está necesitado de un perfeccionamiento continuo. Esto está motivado, entre otros elementos, por los bajos resultados en el aprendizaje y por el exceso de formalismo con que se imparten las clases de Matemática .

Por otro lado la disciplina Matemática, que tiene el encargo de darle tratamiento a todos los contenidos como: El límite, la continuidad, la derivación y la integración de funciones reales, "se basan en el cálculo infinitesimal como ciencia de las aproximaciones infinitas y estas son invariantes, es decir, cada tema se presenta a partir de un problema que en su solución se debe abordar desde el concepto de aproximación infinita" Jiménez (2011). De ahí la importancia que tiene para los estudiantes de ingeniería la formación del concepto de límite de una función real de una variable real.

Desarrollo

Es criterio generalizado de los profesores de Matemática que, la noción de límite de funciones de una variable es una de las más difíciles de manejar. La experiencia y las investigaciones en la enseñanza del límite funcional muestran, que no solo es difícil una primera comprensión de la definición, sino que lograr una relativa confianza en el uso de dicha definición lleva todo el curso, y conseguir una internalización de esta idea lleva varios años a los aprendices del cálculo.

También, en múltiples investigaciones referentes a la enseñanza del Matemática, se plantea la importancia de la formación del concepto límite de función, así como los obstáculos que se presentan en su enseñanza, entre ellas se pueden destacar las siguientes:

Tall (1992), señala un grupo de dificultades en la enseñanza y el aprendizaje de los conceptos del Matemática y considera como dificultades esenciales el concepto de límite y los procesos infinitos que intervienen en los conceptos básicos de derivada e integral.

Por otra parte, Fernández (2000), se refiere a que el concepto de límite es uno de los más difíciles de formar en los estudiantes a la vez que es trascendental en el aprendizaje del Cálculo ya que otros conceptos como continuidad, derivada, integral y serie recuren a él, lo que justifica la importancia de cualquier esfuerzo que se realice en pos de lograr un aprendizaje eficiente del mismo.

Hernández (2002), acota que las insuficiencias se reflejan en la pobre preparación de los alumnos para comprender y asimilar los conceptos básicos y con ello disponer de las herramientas que pone a su disposición el Cálculo Infinitesimal para explicar diversos fenómenos de la realidad, se sustentan en la mala comprensión del concepto límite.

Bustos (2013), plantea que la aprensión del concepto de límite se problematiza, debido a que este trae mayor cantidad de dificultades de aprendizaje, inseparables al propio concepto, relacionadas con un pensamiento de orden superior en el que se encuentran implicados procesos tales como la abstracción, el análisis y la demostración.

Por otro lado, como resultado de la observación de clases, revisión documental, donde se trató el límite funcional, y la aplicación de encuestas, entrevistas y pruebas pedagógicas a estudiantes y profesores de la carrera Ingeniería Industrial de la Universidad de Holguín, se pudo constatar la existencia de dificultades en la formación del concepto de límite de funciones reales de una variable real, tales como:

En la búsqueda de respuestas a estas problemáticas que se manifiestan en la formación inicial de los estudiantes de la carrera Ingeniería Industrial, se realizó una revisión bibliográfica de los trabajos de autores tales como: Campistrous y otros (1989), Hernández (2003), Sánchez y Valdés (2005-2008), Jiménez (2010), Molfino y Buendía (2010), Bustos (2013), entre otros.

En estas investigaciones se presentan propuestas muy valiosas sin embargo, a consideración del autor, en los tratamientos didácticos al concepto de límite de una función es insuficiente la utilización de los procesos de aproximación infinita que conoce el estudiante de las enseñanzas precedentes. También le otorgan preponderancia a la interpretación geométrica del concepto. Por otro lado, aunque los autores refieren la utilidad del uso de los asistentes matemáticos, en los casos que muestran cómo utilizarlos, no solucionan las dificultades enunciadas anteriormente, ni se adaptan a las condiciones concretas de la formación inicial del ingeniero en la Universidad de Holguín.

Por otro lado Talízina (1989) demostró en sus investigaciones que la asimilación de los conocimientos, entre ellos los conceptos, es un proceso de producción de la actividad y se desarrolla del plano material al mental.

Las evidencias prácticas y teóricas enunciadas anteriormente muestran que es necesario realizar una propuesta didáctica que favorezca la formación del concepto de límite el cual garantice la compresión de este y los demás conceptos de la Matemática que se sustentan en el mismo.

En una situación de aprendizaje tan compleja, como la que tiene lugar para los estudiantes de Matemática, disciplina que incluye temas tan complejos como los de límite, continuidad, derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales ordinarias, entre otros, en los que las dificultades conceptuales son muy grandes, resulta conveniente partir para la elaboración de los conceptos de las "representaciones concretas" de aquellos "objetos" sobre los que se definirán las nuevas relaciones y operaciones.

El diseño de tareas docentes asistidas por el GeoGebra definidas, estas, como actividades orientadas durante el desarrollo de la clase, que provoca el profesor, utilizando el software GeoGebra, para motivar la actividad cognoscitiva del estudiante mediante la experimentación, la visualización y la exploración, en función del logro del objetivo. Resulta entonces una alternativa para la formación del concepto límite de una función real de una variable. Este acercamiento al concepto no tan formalizado favorece su asimilación.

En cuanto a la estructura de las tareas docentes asistidas por un software matemático existen múltiples propuestas, en la literatura consultada. Sin embargo, el autor de esta investigación propone la siguiente estructura: título, introducción, objetivo, situación de aprendizaje y precisiones generales.

El título debe ser motivador y preciso, lo que significa que en pocas palabras debe captar la atención de los estudiantes.

La introducción está dirigida a proporcionar la información necesaria acerca de la actividad a realizar, motivar y orientar hacia los objetivos de la tarea. Se deben orientar además, las formas de organización: individual, por parejas, por equipos de tres o cuatro alumnos. Deben de estar implícitos los recursos de información necesarios, los materiales u otras fuentes bibliográficas al alcance para solucionar cada actividad y el cómo se realizará dicho proceso.

Es significativo establecer actividades compartidas que faciliten la cooperación, el intercambio de juicios, esfuerzo intelectual, la ayuda bilateral y la solidaridad. Se precisará el tiempo de ejecución de la tarea pues esto constituye un elemento vital para el cumplimiento de la misma.

En este proceso el profesor debe tener presente:

En el objetivo, el docente, debe precisar con claridad para qué se orienta la ejecución de la tarea docente. Este posibilitará, en cada momento de la actividad, estar consciente de lo que se aspira lograr.

En la formulación de la situación de aprendizaje, se deben proponer acciones y operaciones a ejecutar por los ingenieros en formación utilizando el GeoGebra para que mediante la visualización, la experimentación y la exploración puedan realizar conjeturas y arribar a conclusiones.

Estas tareas docentes deben estar diseñadas de acuerdo con los objetivos previstos, el diagnóstico realizado a cada alumno, la base orientadora necesaria y se tendrá presente en la asignación de las actividades la adecuación de la complejidad de las mismas, así como la clasificación de las actividades de acuerdo con los tres niveles fundamentales de asimilación: reproducción, aplicación y creación.

Por otro lado en las precisiones generales, se estipulan: tipo de clase en que puede ser utilizada, en qué momento del programa de la asignatura Matemática y se le ofrece a los docentes algunas pautas que pueden tener en cuenta en la ejecución de la tarea en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Resumido en los párrafos anteriores lo que es una tarea docente asistida por un software y su posible estructura, se está en condiciones de enunciar la propuesta para la formación del concepto.

El concepto límite de función real de una variable real se imparte en la asignatura Matemática I durante el primer semestre del primer año de la carrera Ingeniería Industrial.

Este contenido se ubica en el tema 1 el que tiene por título: Límite y continuidad de funciones reales de una variable real. Al tema en cuestión se le dedican un total de 18 horas clases, de ellas 10 a la introducción, formación y asimilación del concepto de límite, así como a los procedimientos de solución y demostración asociados.

Por ser el objetivo de la investigación, el autor, muestra la distribución del contenido utilizada en la formación del concepto límite de función en el curso:

En las tres conferencias que se hacen referencia se propone en sentido general las acciones didácticas que a continuación se muestran:

La misma idea se utiliza para definir el área de un círculo mediante áreas de polígonos inscriptos o circunscritos y en Física, para definir la velocidad instantánea se recurre aproximarla a través de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo considerado se hace cada vez menor.

En este momento se precisa la diferencia entre los procesos de aproximación finita e infinita y se les hace saber, a los estudiantes, que estos últimos se fundamentan en un concepto de extraordinaria importancia que será estudiado a continuación.

Para ambos casos se deben proponer ejemplos tanto de la Matemática como de la Física donde sea necesaria la idea intuitiva del concepto de límite. Estos fueron referidos en I.

Estas acciones se deben realizar en la primera conferencia y para ello se propone utilizar la tarea docente 1.

Tarea docente 1

Título: Calculando el área del círculo mediante aproximación

Introducción

Los orígenes del cálculo se remontan unos 2 500 años por lo menos, hasta los antiguos griegos, hallaron áreas aplicando el "método del agotamiento". Sabían cómo hallar el área de cualquier polígono al dividirlo en triángulos, y sumar sus áreas.

Es un problema mucho más complejo hallar el área de una figura curva. El método el agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a la misma figura y, a continuación, hacer que el número de lados de los polígonos aumentara.

En la escuela cubana, concretamente en la Secundaria Básica, octavo grado, se estudia la aproximación del área del círculo a través del cálculo de áreas de polígonos inscritos.

Objetivo: Comprender que el área de un círculo con una radio r se puede aproximar a partir de inscribir polígonos y determinar sus áreas.

Situación de aprendizaje

Varié con el deslizador el número de lados del polígono inscrito a la circunferencia y responda las siguientes interrogantes:

Precisiones generales

Esta tarea, dentro del conjunto de tareas, tiene como función principal, aproximar al estudiante a un nuevo concepto del Análisis Matemático, a partir de conocimientos que posee de las enseñanzas precedentes. Esto posibilita motivarlos por el nuevo aprendizaje y les muestra la concatenación entre los conocimientos matemáticos.

Después de lograr la comprensión del significado de lo que es una aproximación infinita, se propone la tarea docente 2 cuyo propósito esencial es una idea intuitiva del concepto límite de una función en un punto. En este momento se les ofrece a los estudiantes un medio para que lo utilicen sin que lo tengan que construir.

Tarea docente 2

Título: una aproximación intuitiva al concepto límite de una función

Introducción

En la naturaleza y la sociedad existen procesos que para su modelación se utilizan funciones. En ocasiones es necesario analizar a partir de la variación de la variable independiente, cuál es el comportamiento de los valores funcionales. Es decir, investigar si estos valores se aproximan a un valor, varios valores o a ningún valor.

Ustedes, en enseñanzas anteriores, han realizado aproximaciones numéricas por ejemplo; las reglas de redondeo, el truncamiento, la deducción de la fórmula del área del círculo (ver tarea docente 1), la definición de la velocidad instantánea a través de la velocidad media, entre otros.

Algunas de estas aproximaciones son finitas y otras infinitas. En estas últimas subyace un concepto matemático importante que es necesario que ustedes comprendan.

Objetivo: Comprender intuitivamente el concepto de límite de una función real de una variable real en un punto como un proceso de aproximación infinita de los valores funcionales cuando la variable dependiente se acerca a un valor dado.

Se les orienta a los estudiantes abrir el fichero donde se le presenta el siguiente medio cuyo tapiz es:

Monografias.com

Luego de que los estudiantes abran el medio en la computadora se les orienta:

Precisiones necesarias

Como se puede observar el medio les da la posibilidad de analizar cuatro casos posibles de la aproximación infinita de los valores funcionales, a medida que el valor de la variable independiente tiende a un número dado. El estudiante puede observar el comportamiento geométrico y numérico de las funciones presentadas para cada caso, así como su relación.

Este medio permite al docente y al estudiante valorar al mismo tiempo lo geométrico y lo numérico logrando una mejor integración respecto a lo tradicional, es decir, el programa de matemática dinámica da la posibilidad de optimizar el tiempo del tratamiento didáctico de este concepto.

Con esta tarea docente el profesor puede hacer énfasis a los estudiantes en los dos casos donde se evidencia que los valores funcionales tienden a un mismo valor cuando la variable independiente se aproxima a un valor dado tanto por exceso como por defecto. Este hecho revela la existencia de una nueva cualidad en el comportamiento funcional.

No obstante, no se pretende que en este momento el docente formalice la definición sino que enuncie una similar a la dada por Stewart (1999): escribimos Monografias.comy decimos "el límite de Monografias.comcuando Monografias.comtiende a Monografias.comes igual a Monografias.comsi podemos acercar arbitrariamente los valores de Monografias.coma Monografias.com(tanto como deseemos) tomando Monografias.comlo bastante próximo de Monografias.compero no igual a Monografias.com

Esta acción se concretará en la conferencia 2 para la que se propone la tarea docente 3 la cual tiene el propósito de garantizar el tránsito de la idea intuitiva de límite a la formalización en el "lenguaje Monografias.com

Tarea docente 3

Título: Definición del concepto límite según Cauchy

Introducción

La evolución histórica del concepto de límite se puede dividir en cuatro etapas:

Las que se diferencian básicamente por la concepción de límite que subyace en ellas aunque la separación no siempre sea nítida. En la larga evolución del concepto (desde la matemática griega hasta el siglo XIX) se observa claramente la necesidad de explicitar y formalizar la noción, que se utiliza de forma implícita desde la época griega y que no llega a su forma actual hasta el siglo pasado, en parte para validar algunos resultados ya obtenidos y en parte para demostrar otros más generales.

La definición intuitiva de límite dada anteriormente es inadecuada, porque frases tales como "cercano a" y" Monografias.comse acerca cada vez más a Monografias.comson vagas. Para poder demostrar de forma concluyente que la función tiene límite en un punto se debe precisar la definición de límite.

Objetivo: Formalizar la definición de límite de una función a partir del análisis de casos donde se revelen la relación entre el entorno de un punto Monografias.comy el entorno de Monografias.com

Situación de aprendizaje

Con el software GeoGebra se elabora un medio de enseñanza, el cual se entrega a los estudiantes y se le solicita que activen el fichero Definición límite. ggb. Después se le orienta que realicen las siguientes acciones:

Monografias.com

En este momento se está en condiciones de formalizar la definición del concepto límite de una función en un punto. Se propone asumir la enunciada por Stewart (2014):

Definición.

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Precisiones generales

Es importante la precisión de los niveles de ayuda que se le ofrecerán a cada docente en formación en función de nivel actual de desarrollo. Esto significa hacer énfasis en lo individual sin olvidar el objetivo general de la tarea.

Para aclarar la idea anterior se propone el siguiente ejemplo, el que se realizará mediante la ejecución de la tarea docente 4. La solución de la tarea se propone se realice en elaboración conjunta:

Tarea docente 4

Título: un ejemplo esclarecedor

Introducción

Estudiante en esta tarea estudiarás del comportamiento de los valores funcionales de una función cuando la variable independiente se aproxime a un valor.

Por favor concentra tu atención en lo que observes cuando explores y recuerda la tarea docente 3.

Objetivo: Explicar la relación que se establece entre Monografias.comen la definición del concepto límite de una función en un punto.

Situación de aprendizaje

A los estudiantes se les orienta que activen el fichero elaborado en GeoGebra donde se representa la función.

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Para obtener información más detallada de cómo varían los valores funcionales cuando x está cerca de 3, se le propone la siguiente pregunta.

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Este propósito es el esencial, en la conferencia 3 y para su concreción en el proceso de enseñanza y aprendizaje se muestra un medio elaborado a los estudiantes para que solucionen la tarea que a continuación se presenta:

Tarea docente 5

Título: límites laterales

Introducción

En intento de buscar el límite, de una función en punto, donde su expresión analítica la define de forma distinta alrededor de dicho punto, por ejemplo: la función de Heaviside

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se observa que existen los límites a ambos lados del cero pero no son iguales, entonces cabría preguntarse, ¿existe el límite en el punto? ¿Qué tipo de límites son los que existen? ¿Qué relación existe entre ellos?

Objetivo: Comprender el concepto de límite lateral, para utilizarlo en la investigación de límites puntuales para algunas funciones.

Situación de aprendizaje

Se les orienta en el momento inicial de la conferencia que abran el medio elaborado con el GeoGebra nombrado límitelateral.ggb y se le indican que ejecuten las siguientes acciones:

Precisiones generales

Después de solucionar esta tarea asistida por el GeoGebra en ese proceso mediante preguntas el docente puede, precisar cuándo y bajo qué condiciones es que se puede conjeturar que el límite en el punto existe a partir de analizar la existencia de los límites laterales.

Utilizando razonamientos análogos a los efectuados para formalizar la definición de límite en un punto se puede realizar para los límites laterales y plantear la siguiente definición.

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De forma análoga se define el límite por la derecha, solo el intervalo donde se encuentra la variable independiente.

En esta misma conferencia mediante la realización por parte de los educandos de las siguientes tareas docentes pueden conjeturar sobre la regla de Leibniz para el cálculo del límite al infinito de una función racional, límites notables como el trigonométrico y el algebraico.

Tarea docente 6

Introducción

En ocasiones es necesario investigar el comportamiento de los valores funcionales cuando la variable independiente crece o decrece infinitamente. Este estudio se iniciará por las funciones racionales. Para aproximarnos a esta situación lo haremos valorando casos particulares de fracciones propias e impropias.

Objetivo: Conjeturar sobre los posibles valores de los límites de las funciones racionales cuando la variable tiende al infinito.

Situación de aprendizaje

Se les orienta en el momento inicial de la conferencia que abran el medio elaborado con el GeoGebra nombrado Límite al infinito.ggb y se le indican que ejecuten las siguientes acciones:

Precisiones generales

Después de analizados estos tres casos utilizando el medio elaborado previamente, el docente puede motivar a que los estudiantes experimenten con otros casos y exploren su comportamiento desde el punto de vista numérico y geométrico. Esto permitirá plantear a los alumnos una proposición muy importante como la regla de Leibniz para el cálculo de límites al infinito de funciones racionales.

En este momento de la conferencia se le puede proponer analizar un caso de mucho importancia en lo que sigue del curso, el comportamiento al infinito de la función

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para le proponemos la tarea docente 7.

Tarea docente 7

Título: límites notables

Introducción

En el intento de calcular otros límites al infinito nos encontramos con comportamiento muy interesantes, un caso que se analiza en todo curso de Análisis Matemático es el nombrado límite fundamental algebraico.

Objetivo: Conjeturar sobre el valor del límite fundamental algebraico, a través de la variación de los valores de la variable independiente.

Situación de aprendizaje

Se le oriente que activen en las computadoras el software GeoGebra, y que ejecuten las siguientes acciones:

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Precisiones generales

La tarea docente facilita que los estudiantes conjeturen sobre el valor de este límite que es de extraordinaria importancia para el cálculo de algunos límites.

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Los casos anteriores nos ilustran una vía general para suponer el valor de límites que sean difíciles de calcular.

Por no ser parte del objetivo de la investigación, el autor, no propone tareas para la fijación y evaluación del concepto, no obstante por la lógica la investigación es necesaria una valoración del impacto de estas tareas en el aprendizaje del concepto límite de una función real de una variable real. Ese es el propósito del siguiente epígrafe.

Conclusiones

La experiencia desarrollada con los estudiantes de la carrera Ingeniería Industrial mostró cómo es posible usar la tecnología en la impartición de los contenidos matemáticos de una forma diferente a lo tradicional. Como resultado de la labor investigativa se resumen algunos aspectos que se consideran de interés.

Referencias bibliográficas

 

Autor

M.Sc. Reol Zayas Batista1

1Universidad de Holguín, Cuba,

El autor es Profesor Asistente del Departamento de Matemática de la Universidad de Holguín, máster en Educación Matemática Universitaria y miembro de la Sociedad Cubana de Matemática y Computación.