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Sistemas dinámicos con gran número de grados de libertad




Enviado por Pablo Turmero



Partes: 1, 2, 3


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    Introducción

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    Introducción
    Caos
    Estructuras coherentes
    Patterns

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    Ejemplos “cinematográficos”
    (Gp:) La tormenta perfecta

    (Gp:) Tormenta blanca

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    Otros ejemplos dispares de comportamiento coherente
    El tráfico (propagación de ondas, avalanchas,atascos…)
    La “ola” en un campo de fútbol.
    Propagación de epidemias en poblaciones y de fracturas en materiales.
    Reacciones químicas.

    Y muchos más en los que la respuesta del sistema se puede entender desde el punto de vista de una onda o estructura coherente (espacio-temporal) transitoria o estacionaria.

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    Una breve introducción histórico-científica a los solitones

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    La cadena FPU
    Entre 1954 y 1955 Enrico Fermi, Stanislaw Ulam y John Pasta fueron pioneros en el uso de ordenadores para resolver modelos físicos. Iniciaron lo que se ha venido a llamar: “La experimentación numérica”.
    Para ello utilizaron el MANIAC (acrónimo de Mathematical Analizer, Numerical Integrator And Computer) del LANL (NM, EE.UU.)

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    La cadena FPU
    Cuyo hamiltoniano viene expresado en las variables xi por:
    Aplicando tambien las correspondientes condiciones de contorno
    (Gp:) a

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    El modelo a-FPU originariamente simulado consistía en una cadena de 32 partículas sin potencial substrato (V(x)=0), con extremos fijos y acopladas no linealmente:
    (Gp:) Término lineal

    (Gp:) Término no lineal

    (Gp:) Las ecuaciones del movimiento que se derivan del hamiltoniano son:

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    O reescalando a (a = a/K) y el tiempo t (t = t/t0) con t0=(m/K)1/2
    (Gp:) Y con la nolinealidad intencionadamente pequeña:
    a << 1

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    a = 0
    Las soluciones de este sistema de ecuaciones lineales son combinaciones lineales arbitrarias (pero constantes en el tiempo) de los llamados modos normales:

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    a = 0
    La energía en función de esos modos es:

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    ¿ Qué ocurriría si la configuración inicial fuera la correspondiente a un modo normal de gran longitud de onda ?
    (Gp:) a 0 (pero pequeña)

    Ellos esperaban una “termalización”. Es decir, reparto de la energía entre otros modos normales.
    La nolinealidad mezcla modos
    La nolinealidad transferirá energía a los armónicos superiores.
    (Gp:) Hipótesis ergódica
    L. Boltzmann, 1871

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    a = 0.25
    Azul -> amplitud del primer modo
    Rojo -> segundo
    Verde -> tercero
    Azul-verdoso -> cuarto
    LA-1940: “Studies of Nonlinear Problems: I” (1955, confidencial). De dominio público en 1965
    No ergodicidad y recurrencia
    (Gp:) a 0 (pero pequeña)

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    (Gp:) a 0 (pero pequeña)

    Otros fenómenos observados fueron:
    Si aumentaban a, si que observaban ergodicidad.
    Si inicialmente excitaban más modos, el a a partir del cual se tenía equipartición de la energía, disminuía.

    Partes: 1, 2, 3

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