Distribuciones de probabilidad bidimensionales o conjuntas
Si disponemos de dos variables aleatorias podemos
definir distribuciones bidimensionales de forma
semejante al caso unidimensional. Para el caso
discreto tendremos:
Con:
1
Podemos encontrar la probabilidad marginal de la variable aleatoria X sumando sobre todos los posibles valores de la variable aleatoria Y:
Igualmente, podemos encontrar probabilidad
marginal de la variable aleatoria Y sumando
sobre todos los posibles valores de la variable
aleatoria Y:
2
Y la función de probabilidad condicional de Y dado X = x es:
Función de probabilidad condicional
La función de probabilidad condicional de X dado Y = y es:
3
Nota: El punto 2 lo veremos más adelante.
9
La definición para dos variables aleatorias continuas es semejante: F(x,y) = P(X ? x, Y? y).
La densidad de probabilidad f(x,y) se obtiene derivando la función de probabilidad con respecto a sus argumentos:
Por supuesto:
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Las densidades de probabilidad marginales y las probabilidades condicionales se definen de forma semejante al caso bidimensional discreto sin más que sustituir sumatorios por integrales. Así:
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Ausencia de relación de cualquier tipo entre dos v.a. Recuerda que dos sucesos, A y B, son independientes si tener información sobre uno de ellos no influye en el cálculo de prob. del otro, es decir:
O equivalentemente, A y B son independientes si y solo si:
Independencia
De manera similar se puede definir el concepto de independencia entre v.a.
Sean X e Y dos v.a. (continuas o discretas). X e Y son independientes si y solo si la distribución de una ellas condicionada por la otra es igual a la marginal de la primera,
Como en el caso de sucesos, esta definición implica que X e Y son indep. si su distribución conjunta se puede calcular como el producto de las marginales, es decir:
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