Monografías Plus »

Sistemas autónomos planos





Monografias.com
Podemos estudiar EDOs de primer orden analizándolas cualitativamente. (a) Pendientes: Debido a que la solución y(x) de dy/dx = f(x,y) es necesariamente una función diferenciable en I, también es continua. Así, la derivada dy/dx= f(x,y) proporciona las pendientes de las rectas tangentes a las curvas solución en los puntos (x,y). (b) Elementos lineales: Suponemos que dy/dx = f(x, y(x)). El valor f(x, y) representa la pendiente de una recta, o un segmento de recta que llamaremos elemento lineal. Curvas solución "sin una solución" dy/dx = 0.2 xy = f(x, y)

Monografias.com
Si para la EDO dy/dx = f(x, y) se evalúa f en una red o malla de puntos rectangular en el plano xy, y se dibuja un elemento lineal en cada nodo (x, y) de la malla con pendiente f(x, y), obtenemos el campo de direcciones o campo de pendientes. Campo de direcciones

Monografias.com
Ejemplo: El campo de direcciones de dy/dx = 0.2 xy está representado en la figura (a). Compárese con la figura (b) donde se han representado unas curvas de la familia de soluciones.

Monografias.com
Ejemplo: Use un campo de direcciones para dibujar una curva solución aproximada para dy/dx = sen y, con y(0) = -3/2. Solución: Apelando a la continuidad de f(x, y) = sen y y ?f/?y = cos y, el teorema de existencia y unicidad garantiza la existencia de una única curva solución que pasa por algún punto especificado en el plano. Ahora dividimos la región que contiene a (-3/2, 0) en una malla rectangular. Calculamos el elemento lineal de cada nodo para obtener la siguiente figura:

Monografias.com
EDs de primer orden autónomas dy/dx = f(y) Una EDO en la que la variable independiente no aparece de manera explícita es autónoma. Nota: Recordemos que si dy/dx > 0 para todo x de I, entonces y(x) es creciente en I. Y si dy/dx
Monografias.com
Los ceros de f en la EDO autónoma dy/dx = f(y) son puntos especialmente importantes. Si f(c) = 0, c es un punto crítico, punto de equilibrio o punto estacionario. Si sustituimos y(x) = c en dy/dx = f(y), obtenemos 0 = 0, de modo que si c es un punto crítico, entonces y(x) = c es una solución de dy/dx = f(y). Una solución y(x) = c constante, se llama solución de equilibrio. Los equilibrios son las únicas soluciones constantes de dy/dx = f(y). Puntos críticos

Monografias.com
Ejemplo: La siguiente ED, dP/dt = P? (a – bP) donde a y b son constantes positivas, es autónoma. De f(P) = P? (a – bP) = 0, obtenemos las soluciones de equilibrio: P(t) = 0 y P(t) = a/b. Colocamos los puntos críticos en una recta vertical (recta fase), que la divide en tres intervalos. Las flechas en la figura indican el signo algebraico de f(P) = P? (a – bP) en ese intervalo. Si el signo es positivo o negativo, entonces P es creciente o decreciente en este intervalo.

Monografias.com
Curvas solución Si garantizamos la existencia y unicidad de la EDO autónoma dy/dx = f(y), (f y f’ son continuas en un intervalo I), por cada punto (x0, y0) en R, pasa una sola curva solución.

Monografias.com
Supongamos que la EDO autónoma presenta dos puntos críticos, c1, y c2, tales que c1
Monografias.com
(3) Como dy/dx = f(y(x)) es o positiva o negativa en Ri, cualquier solución y(x) es monótona en Ri. (4) Si y(x) está acotada superiormente por c1, (y(x)
Monografias.com
P = 0 y P = a/b son dos puntos críticos, por tanto tenemos tres intervalos para P:R1 : (-?, 0) R2 : (0, a/b) R3 : (a/b, ?) Sea P(0) = P0. Cuando una solución pasa por P0, tenemos tres tipos de curvas solución dependiendo del intervalo al que pertenece P0. En el ejemplo dP/dt = P? (a – bP):

Monografias.com
La ED dy/dx = (y – 1)2 tiene un único punto crítico y = 1. Desde la gráfica, llegamos a la conclusión de que una solución y(x) es creciente en -?