(1.6) 1 Divisibilidad en semigrupos y anillos. Aladar Peter
Santha Résumée: Dans ce travaille on expose: des
connaissances élémentaires sur les demie-groupes,
groupes, les anneaux, la constructions de l’anneau des
polynômes d’un seul variable, la théorie de la
divisibilité dans le demi-groupe des nombres naturelles et
dans les anneaux intègres (en particulier dans Z, Q[X],
R[X], Z[i], Z[i][X]), les fonctions de Visual-Basic
nécessaires pour les calcules algébriques et pour
déterminer le plus grand diviseur commun et le plus petit
multiple commun dans les structures algébrique
énumérés avant. Finalement, comme une
application de la plus grand commun diviseur dans l’anneau
Q[X] on expose aussi le calcule des zéros réels des
polynômes avec des coefficients dans Z[i] ou Z [ ? ] ( ? ?
0, ? 2 ? 0 ).
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§.1. Nociones preliminares. Una ley de composición
interna (operación) en el conjunto no vacío G es
una aplicación del tipo f : G ? G ? G . Si D f es el
dominio de definición de f y D f ? G ? G la
operación es posible siempre. En vez de f ?x, y ? se
suelen utilizar las notaciones más diversas, como x ? y,
xy, x ? y, x * y, x ? y, x ? y, x ? y, x ? y, ? Definición
1.1: Un grupoide es un conjunto no vacío G, donde se ha
definido una ley de composición (operación)
interna. Para indicar un grupoide, se puede utilizar la
notación (G,*), donde G es el conjunto de base y *
simboliza la ley de composición. Sin embargo, cuando no
hay duda sobre la ley de composición, se puede hablar
sencillamente del grupoide G. El grupoide (G,*) es conmutativo o
asociativo si para cualquier a, b, c ? G a * b ? b * a (1.1)
,ó (a * b) * c ? a * (b * c) , (1.2) , respectivamente. En
el grupoide (G,*), e ? G es un elemento neutro a la derecha si
para cualquier a ? G , a * e ? a (1.3) De manera análoga,
e ? G es un elemento neutro a la izquierda si, para cualquier a ?
G , e * a ? a (1.4) Luego, e ? G es un elemento neutro
(bilateral) del grupoide si e es tanto un elemento neutro a la
derecha como a la izquierda. En este caso, para cualquier a ? G a
* e ? e * a ? a (1.5) Un grupoide no puede tener más de un
elemento neutro, puesto que si existieran dos, e y e' , entonces
de e * e' ? e y e * e' ? e' , resultaría que e ? e ' .
Definición 1.2: Un semigrupo es un grupoide asociativo. En
un semigrupo (G,*) con el elemento neutro e , a'? G es un
elemento simétrico de a ? G si a * a' ? a'*a ? e En un
semigrupo con elemento neutro, un elemento no puede tener
más de un elemento simétrico. En efecto, si a ' y a
" fueran dos elementos simétricos del elemento a ,
entonces a" ? a"*e ? a"*(a * a' ) ? (a"*a) * a' ? e * a' ? a' Si
la ley de composición del semigrupo se llama
adición, su elemento neutro será designado con el
símbolo 0, el elemento simétrico de a se
llamará elemento opuesto de a y será designado por
? a . Cuando la ley de composición de del semigrupo se
llama multiplicación, el elemento neutro será
designado por e , el
?1 ?1 (1.7) ?1 2 elemento simétrico de a se llamará
el elemento inverso de a y será designado por a ?1 .
Definición 1.3: Un grupo es un semigrupo con elemento
neutro, donde todos los elementos tienen elemento
simétrico. Si el semigrupo en cuestión es
conmutativo, se dice que el grupo es conmutativo (abeliano).
Teorema 1.1.: Si ?G, ?? es un semigrupo con el elemento neutro e
y los elementos a, b ? G son invertibles, entonces los elementos
a ?1 y a ? b son también invertibles y ?a ? ? a (a ? b) ?
b ?1 ? a ?1 (1.8) En efecto, si el elemento a es invertible,
entonces a ? a ?1 ? a ?1 ? a ? e , de donde resulta que a ?1 ? a
? a ? a ?1 ? e , y así a ?1 es el inverso de a . Para
demostrar la segunda parte del teorema, se observa que ?a ? b??
?b ?1 ? a ?1 ? ? a ? ?b ? b ?1 ?? a ?1 ? a ? e ? a ?1 ? (a ? e) ?
a ?1 ? a ? a ?1 ? e ?b ?1 ? a ?1 ?? ?a ? b? ? b ?1 ? ?a ?1 ? a??
b ? b ?1 ? e ? b ? b ?1? ? (e ? b) ? b ?1 ? b ? e , de donde
resulta que b ?1 ? a ?1 es el elemento inverso de a ? b . En un
grupo aditivo, las igualdades (1.7) y (1.8) se transforman en: ?
?? a ? ? a y ? ?a ? b? ? ?? a ? ? ?? b? , respectivamente.
Teorema 1.2: Si G es un semigrupo con elemento neutro y U es el
conjunto de todos los elementos invertibles de G, entonces U es
un grupo respecto a la ley de composición de G.
Demostración: Dado que e ? U , U no es el conjunto
vacío. Por otra parte, según el teorema 1.1, U es
una parte estable de G, es decir, la composición de dos
elementos de U pertenece a U. Finalmente, si a ? U entonces,
según el teorema 1.1, a ?1 ? U y así U será
un grupo. Definición 1.4: Un anillo es un conjunto A en el
cual se han definido dos leyes de composición internas,
llamadas, de manera convencional, adición y
multiplicación, y que cumplen las condiciones: 1) (A,+) es
un grupo abeliano. 2) Cualesquiera que sean a, b, c ? A , a ? ?b
? c ? ? a ? b ? a ? c (1.9) ?a ? b? ? c ? a ? c ? b ? c (1.10) Si
la multiplicación es asociativa (conmutativa), el anillo ?
A,?, ?? es asociativo (conmutativo). Las leyes (1.9) y (1.10) se
llaman las leyes de distributividad de la multiplicación
respecto a la adición, a la izquierda y a la derecha,
respectivamente. El elemento neutro del grupo (A,+) será
designado con 0 y se llamará el elemento nulo (cero) del
anillo. El grupoide multiplicativo ?A, ?? del anillo ? A,?, ??
puede tener también un elemento neutro y, cuando esto es
así, será designado con 1, diciendo que es el
elemento neutro del anillo. Si no hay ninguna duda sobre las
operaciones, el anillo ? A,?, ?? podría ser designado
simplemente por A. Poniendo b ? c ? 0 en la igualdad (1.9), se
obtiene que a ? 0 ? a ? 0 ? a ? 0 , , de donde, sumando ? a ? 0
en las dos partes de la igualdad, resulta que a ? 0 ? 0 ,
cualquiera que sea a ? A . De manera análoga, de (1.10) se
obtiene que 0 ? a ? 0 , cualquiera que sea a ? A . Así
pues, cualquiera que sea a ? A , a ? 0 ? 0 ? a ? 0 (1.11) Si a ?
0 y b ? 0 pero a ? b ? 0 , se dice que a y b son divisores de
cero. Definición 1.5: El anillo ? A,?, ?? es un anillo
íntegro si es asociativo y conmutativo, tiene elemento
neutro y no tiene divisores de cero. Ejemplo 1.1: Sea F el
conjunto de todas las funciones reales. Si f , g ? F , las
funciones f ? g y f ? g se definen por
f ( x) ? ? y g ( x) ? ? 3 ? f ? g ?( x) ? f ( x) ? g ( x) y ? f ?
g ??x ? ? f ?x ? g ?x ? , respectivamente. Es fácil de
verificar que ?F ,?, ?? es un anillo asociativo y conmutativo,
con el elemento neutro ? y con el elemento unidad u, definidas
por ?x ? R, ? ( x) ? 0 y u( x) ? 1 , respectivamente. Este anillo
no es íntegro, puesto que si las funciones f y g se
definen por ?1 si x ? 2 ?0 si x ? 2 ?0 si x ? 2 ?3 si x ? 2 ,
respectivamente, entonces f ? ? , g ? ? y f ? g ? ? . Teorema
1.3: Si ? A,?, ?? es un anillo y a, b ? A , entonces a ? (?b) ?
(?a) ? b ? ?a ? b (?a) ? (?b) ? a ? b (?1) ? a ? ?a (1.12) (1.13)
(1.14) Demostración: Obviamente a ? ?b ? (?b)? ? a ? 0 ? 0
, , de donde, según (1.9), a ? b ? a ? (?b) ? 0 y
así, a ? ?? b)? es el elemento opuesto de a ? b De manera
similar, de ?a ? (?a)?? b ? 0 , y de (2.1.10), resultará
que Por fin, (?a) ? b ? ?a ? b ?? a ? ? (?b) ? ??a ? (?b)? ? ?(?a
? b) ? a ? b (1.15) , y poniendo a ? 1 en (1.15), se obtiene la
igualdad (1.14). Definición 1.6: Si ? A,?, ?? es un anillo
y a, b ? A , entonces a ? b ? a ? (?b) La ley de
composición así definida se llama
sustracción. Teorema 1.4: La multiplicación es
distributiva respecto a la sustracción, es decir,
cualesquiera que sean a, b, c ? A a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c ?a
? b? ? c ? a ? c ? b ? c (1.16) (1.17) En efecto, a ? ?b ? c ? ?
a ? ?b ? (?c)? ? a ? b ? a ? (?c) ? a ? b ? ?? a ? c ? ? a ? b ?
a ? c La demostración de (1.17) es análoga. Teorema
1.5 (Regla de simplificación): Si ? A,?, ?? es un anillo
íntegro y a ? A ? ?0?, entonces a ? b ? a ? c ? b ? c En
efecto, si a ? b ? a ? c entonces a ? ?b ? c ? ? 0 y, dado que a
? 0 , resulta que b ? c ? 0 , es decir, b = c. Definición
1.7: El anillo ?K ,?, ?? es un cuerpo si y solamente si, ?K – {0}
, ?? es un grupo. Teorema 1.6: Un cuerpo conmutativo es un anillo
integro. En efecto, si a, b ? K y a ? b ? 0 , entonces de a ? 0
resulta que b ? e ? b ? ?a ?1 ? a?? b ? a ?1 ? ?a ? b? ? a ?1 ? 0
? 0 Definición 1.8: Si ?G, ?? y ?H ,*? son semigrupos
(grupos) y la aplicación f : G ? H cumple la
condición f (a ? b) ? f (a) ? f (b) , cualesquiera que
sean a, b ? G , f es un homomorfismo de semigrupos (de grupos).Si
el homomorfismo f es biyectiva, entonces se dice que f es un
isomorfismo de semigrupos (de grupos).
' 4 Teorema 1.7: Sea f : G ? H un isomorfismo entre los grupos
?G, ?? y ?H ,*? . Entonces, a) Siendo e y e’ los elementos
neutros de ?G, ?? y ?H ,*? , f (e) ? e' b) Si a ' es el elemento
simétrico de a en ?G, ?? , f ?a '? es el elemento
simétrico , de f ?a ? en ?H ,*? . c) Si ?G, ?? es un grupo
conmutativo, ?H ,*? lo es también. Demostración: a)
Cualquiera que sea a ? G , e ? a ? a ? e ? a f ?e ? a ? ? f ?a ?
e? ? f (e) f (e) * f (a) ? f (a) * f (e) ? f (e) , , y teniendo
en cuenta que f ?a ? es un elemento cualquiera de H, resulta que
f ?e? es un elemento neutro en ?H ,*? . Puesto que en un grupo el
elemento neutro es único f (e) ? e' . b) Dado que a' ? a ?
a ? a' ? e , , cualquiera que sea a ? G , resulta que f (a' ) * f
(a) ? f (a) * f (a' ) ? f (e) ? e' . Por tanto, f ?a '? es un
elemento simétrico de f ?a ? en ?H ,*? Luego, según
la unicidad del elemento simétrico en un grupo ? f (a)? ?
f ?a'? . c) Puesto que ?G, ?? es un grupo conmutativo a ? b ? b ?
a , cualesquiera que sean a, b ? G . Al ser f un isomorfismo, f
?a ? y f ?b? serán dos elementos cualesquiera de ?H ,*? y
así, de f (a) * f ?b ? ? f ?b ?* f ?a ? , resulta que
(H,*) es un grupo conmutativo. Es fácil de observar que
las afirmaciones del teorema anterior quedarán
válidas también en un semigrupo. Teorema 1.8: Si
?G, ?? es un semigrupo con el elemento neutro e , ?H ,*? es un
grupoide y existe una biyección f : G ? H tal que f ?a ?
b? ? f (a) ? f (b) , , cualesquiera que sean a, b ? G , entonces
?H ,*? es un semigrupo con el elemento neutro f ?e? .
Demostración: Dado que f es una aplicación
biyectiva, cualesquiera que sean x, y, z ? H , existirán
a, b, c ? G , tales que x ? f ?a ? , y ? f ?b ? , z ? f ?c ? .
Entonces, x * ? y * z ? ? f ?a ?* ? f ?b?* f ?c ?? ? f ?a ?* f ?b
? c ? ? f ?a ? ?b ? c ?? ? ? f ??a ? b? ? c? ? f ?a ? b?* f ?c ?
? ? f ?a ?* f ?b??* f ?c ? ? ?x * y ?* z , y así ?H ,*? es
un semigrupo. Por otra parte, f ?e? es un elemento neutro del
semigrupo ?H ,*? , puesto que para cualquier x ? H , x * f (e) ?
f (a) * f (e) ? f ?a ? e? ? f (a) f (e) * x ? f (e) * f (a) ? f
?e ? a ? ? f (a) Luego, f ?e? es el único elemento neutro
de ?H ,*? ya que en un semigrupo el elemento neutro es
único. Teorema 1.9: Si ?G, ?? es un grupo con el elemento
neutro e , ?H ,*? es un grupoide y existe una aplicación
biyectiva f : G ? H tal que f ?a ? b? ? f (a) * f (b) ,
cualesquiera que sean a, b ? G , entonces ?H ,*? es un grupo. Si
?G, ?? es un grupo conmutativo entonces ?H ,*? lo es
también. Demostración: Según el teorema 1.8,
?H ,*? es un semigrupo con el elemento neutro f ?e? . Si x ? f ?a
? ?a ? G ? es un elemento cualquiera de H y a ' es el elemento
simétrico de a en ?G, ?? , entonces f ?a '? es un elemento
simétrico de x en el semigrupo ?H ,*? . En efecto, x * f
(a' ) ? f (a) * f ?a'? ? f ?a ? a'? ? f (e)
5 f ?a'?* x ? f ?a'?* f (a) ? f (a' ? a) ? f (e) Teniendo en
cuenta que en un semigrupo un elemento no puede tener más
de un elemento simétrico f ?a '? será el
único elemento simétrico de x ? f ?a ? .
Así, todos los elementos de H tienen elemento
simétrico en el semigrupo ?H ,*? y, por tanto, ?H ,*? es
un grupo. Si ?G, ?? es un grupo conmutativo, entonces x * y ? f
(a) * f (b) ? f ?a ? b? ? f ?b ? a ? ? f (b) * f (a) ? y * x ,
cualquiera que sean x, y ? H y así, ?H ,*? es un grupo
conmutativo. Definición 1.9: Si ?A,?, ?? y ?B,?,*? son
anillos, una aplicación f : A ? B es un homomorfismo entre
ellos si, para cualquier x, y ? A , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)
f ( x ? y) ? f ( x) * f ( y) Si la aplicación f es
biyectiva, f es un isomorfismo de anillos. Observación
1.1: Si 0 y 0’ son los elementos neutros en los grupos
aditivos de los anillos ?A,?, ?? y ?B,?,*?, respectivamente, y f
es un isomorfismo entre estos dos anillos, entonces, aplicando el
teorema 1.7 para los semigrupos ? A,? ? y ?B,? ? f (0) ? 0' y f
(?a) ? ? f (a) , , cualquiera que sea a ? A . De manera
análoga, aplicando el teorema 1.7 para los semigrupos
multiplicativos ?A, ?? y ?B,*? , si existe el elemento neutro e
en ?A, ?? y el elemento a posee el elemento simétrico a '
, entonces e ' ? f ?e ? es el elemento neutro en ?B,*? y f ?a '?
es el elemento simétrico de f ?a ? . Teorema 1.10: Si en
el conjunto H se han definido dos leyes de composición
internas ? y * y, f : A ? H es una aplicación biyectiva
entre el anillo ?A,?, ?? y el conjunto H, tal que f ( x ? y) ? f
( x) ? f ( y) (1.18) f ( x ? y) ? f ( x) * f ( y) , (1.19) ,
cualesquiera que sean x, y ? A , entonces ?H ,?,*? es un anillo
isomorfo con el anillo ? A,?, ? ? . Si existe el elemento neutro
e en el anillo ?A,?, ?? , entonces f ?e? es el elemento neutro
del anillo ?H ,?,*? . Demostración: Puesto que f cumple la
condición (1.18), aplicando el teorema 1.8 para el grupo
aditivo ? A,? ? y el grupoide ?H ,? ? , resulta que ?H ,? ? es un
grupo abeliano. Luego, aplicando el mismo teorema para el
semigrupo ?A, ?? y el grupoide ?H ,*? y, teniendo en cuenta que f
verifica la condición (1.18), resultará que ?H ,*?
es un semigrupo con el elemento neutro f ?e? y es conmutativo si
lo era ?A, ?? . Para que ?H ,?,*? sea un anillo, hay que
comprobar que se cumplen las leyes distributivas. En efecto, dado
que f es una aplicación biyectiva, para cualquier x, y, z
? H , existirán a, b, c ? A tal que x ? f ?a ? , y ? f ?b
? y z ? f . Entonces, x * ( y ? z) ? f (a) * ? f (b) ? f (c)? ? f
(a) * f (b ? c) ? f ?a ? (b ? c)? ? f (a ? b ? a ? c) ? f (a ? b)
? f (a ? c) ? f (a) * f (b) ? f (a) * f (b) ? x * y ? x * z ,
cualesquiera que sean x, y, z ? H . Igual se demuestra la
distributividad a la derecha. Así pues ?H ,?,*? es un
anillo y según las relaciones (1.18) y (1.19) f es un
isomorfismo, luego, según la observación 1.1, f ?e?
es el elemento neutro de este anillo. Teorema 1.11: Si ?A,?, ??
es un anillo íntegro y f : A ? B es un ismorfismo entre
los anillos ?A,?, ?? y ?B,?,*?, entonces ?B,?,*? es
también un anillo íntegro. Demostración: Si
x, y ? A cumplen la relación x * y ? f ?0?, donde f ?0? es
el elemento nulo del anillo ?B,?,*?, entonces f (a) * f (b) ? f
(0)
q p q p ? ? ? ? ? ? ? y ? ? ? ? ? ? ? qx q px p ? . ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? 6 f ?a ? b ? ? f (0) , de donde resultará que
a ? b ? 0 , puesto que f es una aplicación biyectiva.
Teniendo ahora en cuenta que ?A,?, ?? es un anillo
íntegro, de la última igualdad resulta que a ? 0
ó b ? 0 , es decir, f ?a ? ? f ?0? , ó f ?b? ? f
?0? . Así, ?B,?,*? será también un anillo
íntegro. Teorema 1.12: Si f : A ? B es un isomorfismo
entre los anillos ?A,?, ?? y ?B,?,*? , entonces f ?1 : B ? A lo
es también. En efecto, cualesquiera que sean los elementos
x ? f ?a ? e y ? f ?b ? de B, f ?1 ( x ? y) ? f ?1 ? f (a) ? f
(b)? ? f ?1 ? f (a ? b)? ? a ? b ? f ?1 ( x) ? f ?1 ( y f ?1 ( x
* y) ? f ?1 ? f (a) * f (b)? ? f ?1 ? f (a ? b)? ? a ? b ? f ?1 (
x) ? f ?1 ( y) Si A??,?? es un anillo íntegro con el
elemento neutro e , sea F ? ? p, q) / p ? A, q ? A ? ?0?? . En F
se puede considerar la relación ? , definida de la manera
siguiente: ? p, q? ? ? p ' , q '? ? p ? q ' ? p ' q Es
fácil verificar que esta relación es de
equivalencia. Por tanto dividirá el conjunto F en clases
de equivalencia. La fración es el conjunto de todos los
elementos de F equivalentes al par ? p, q? , es decir, ? ??x, y ?
/ ?x, y ?? F y ?x, y ? ? ? p, q ?? . Obviamente, p s q t ? ? p, q
? ? ?s, t ? ? p ? t ? q ? s En el conjunto de las fracciones del
anillo, designado por FCr (A) , se pueden introducir la
addición y la multiplicación de la manera
siguiente: a c ad ? bc b d bd Estas definiciones son correctas
puesto que si a c ac b d bd (1.20) a a' b b ' c c' d d ' ? ab' ?
ba' y cd ' ? dc' , y entonces b' d ' ?ad ? bc ? ? adb' d '?bcb' d
' ? bdda'?bb' dc' ? bd ?a`d '?b' c'? ? a c a' c' b d b' d¡
acb' d ' ? ba' dc' ? a' c' bd a c a' c' b d b' d ' Teorema 1.13
(Regla de la simplificación ó
amplificación): Cualquiera que sea x ? A ? ?0?, En efecto
px p qx q ? ? px, qx ? ? ? p, q ? ? pqx ? qxp .
Observación 1.2: Si dos fracciones tienen el mismo
denominador, para sumarlas se conserva se suman los numeradores y
se conserva el denominador común. En efecto, según
el teorema 1.13, a b ac ? bc ?a ? b?c a ? b c c c 2 cc c Teorema
1.14: Si A??,?? es un anillo íntegro con el elemento
neutro e , CFr ?A? es un cuerpo conmutativo con repecto la
addición y multiplicación definidas en (1.20) y A
será un subanillo en el cuerpo de sus fracciones. En
efecto, la adición y la multiplicación son
comutativas puesto que a c ad ? bc c a b d bd d b a c ac c a b d
bd d b De las igualdades siguientes resulta que son
también asociativas:
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? a e 0 0 a e ? 0 ? ? ? ? p e p , ? ? ? ? ? p q
pq ? p ? ? q ? ? ? y 7 ? a c ? u ad ? bc u adv ? bcv ? bdu ? b d
? v bd v bdv a ? c u ? a cv ? du adv ? bcv ? bdu b ? d v ? b dv
adv ? a c ? u ac u ?ac?u a?cu ? a ? c u ? ? b d ? v bd v ?bd ?v
b?dv? b ? d v ? La multiplicación es distributiva respecto
la adición: Utilizando el teorema 1.13. u ? a c ? u ad ?
bc uad ? ubc uad ubc ua uc u a u c v ? b d ? v bd vbd vbd vbd vb
vd v b v d Admitiendo que para a ? A, ? a resultará que A
? CFr?A? . Así para a ? 0 tenemos también 0 ? ? , y
? ? e e a a e Finalmente, CFr ?A? es un cuerpo puesto que: p q p
0 p ? 0 p q q q q p q ? e ? ? ? q e q ?a ? 0? p ? p ? pq ? pq q q
pq ? 0 pq ? 0 ? ? p ? p q q ? p ? ? q ? ?1 ? q p , puesto que ? ?
q p qp ? e ? ? p ? ? ? ?1 ? q §.2. Construcción del
anillo de los polinomios. Si A es un anillo conmutativo sea A?S ?
el conjunto de todas las sucesiones ?uk ?k?N , donde uk ? 0 solo
para un número finito de k ? N . Si ? , ? ? A(S ) , es
decir, ? ? ?uk ?k?N y ? ? ?vk ?k?N , entonces las sucesiones ? ?
? ? ?uk ? vk ?k?N y ? ? ? ? ?wk ?k?N , donde wk ? ?u ? v? ,
pertenecen al conjunto A?S ?. ? ? ? ? k En efecto, si ? , ? ? A(S
) , entonces existen k? , k ? ? N tales que uk? ? 0 , uk? ? 0 k ?
k? ? u k ? 0 Si k* ? max ?k? , k ? ? , entonces k ? k ? ? vk ? 0
, y así ? ? ? ? A(S ). Por otra parte, si , entonces k ? k
* ? uk ? 0 y vk ? 0 k ? ? ? ? ? k? ? k ? ? ? k? ó ? ? k ?
, , es decir u? ? 0 ó v? ? 0 . Así pues, si k ? k?
? k ? , entonces wk ? 0 y, por tanto ? ? ? ? A(S ) . Por
consiguiente, en A?S ? se pueden considerar las leyes de
composición: ?? , ? ? ? ? ? ? y ?? , ? ? ? ? ? ? Teorema
2.1: ?A(S ),?, ?? es un anillo. Demostración: Si ? , ? , ?
? A(S ) y
,y ' ' ? k q j ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?k ? j ? ? ?? ?? ?k ? ? ? ? ??
? j k ' ' y ? ? ?k ?? ?k ' " ' " 8 ? ? ?ak ?k?N , ? ? ?bk ?k?N y
? ? ?ck ?k?N , , entonces, puesto que la adición en el
anillo A es conmutativa y asociativa, ?? ? ? ? ? ? ? ??ak ? bk ?
? ck ?k?N ? ?ak ? ?bk ? ck ??k?N ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?ak ? bk
?k?N ? ?bk ? ak ?k?N ? ? ? ? Así (A(S),+) es un semigrupo
conmutativo. Obviamente, O ? ?ak ?k?N , , donde ak ? 0 para
cualquier k ? N , es el elemento neutro de este semigrupo y ? ? ?
?? ak ?k?N , es el opuesto de ? . Por tanto (A(S),+) es un grupo
conmutativo con el elemento neutro 0. La multiplicación de
A?S ? es asociativa puesto que si ? ? ? ? ? pk ?k?N ; ? ? ? ? ?pk
?k?N ?? ? ? ?? ? ? ?q j ?j?N ; ? ? ?? ? ? ? ? ?q 'j ?j?N ,
entonces pk ? ? a? b? ? ? ? ?k pk ? ?b? c? ? ?? ?k ? ? k ? jp c?
? k ? j ?? ? a? b? ? ? ? ? ? ?? a? b? c? q 'j ? ? ? a? p ? k ? j
? ? ? ? k ? j a? ? ? b? c? ? ? ? a? b? c? , y así, para
cualquier j ? N q j ? q'j , es decir, cualesquiera que sean ? , ?
, ? ? A(S ) , ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? La
multiplicación de A?S ? es también conmutativa,
puesto que si ? ? ? ? ? pk ?k?N ? ? ? ? ?pk ?k?N , entonces pk ?
? ? a? b? ? ??b? a? , cualquiera que sea k ? N y así, ? ?
? ? ? ? ? , cualesquiera que sean ? , ? ? A(S ) . Para demostrar
que A?S ? es un anillo queda verificar que la
multiplicación es distributiva respecto a la
adición. Si , entonces ? ? ? ? ?pk ?k?N , ? ? ? ? ?pk ?k?N
y ?? ? ? ?? ? ? ? pk ?k?N pk ? ? ?a? ? b? ?c? ? ? a? c? ? ?b? c?
? pk ? pk ? ? ? ?k ? ? ? ?k ? ? ? ?k , cualquiera que sea k ? N y
así ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , cualesquiera que sean ?
, ? , ? ? A(S ) . Teorema 2.2: Si e es el elemento neutro del
anillo A, entonces e* ? ?uk ?k?N , donde u0 ? e y uk ? 0 para k ?
0 , es el elemento neutro del anillo A?S ?.
ek ? ? bk ? ? ?e si k ? n ? 1 ?0 si k ? n ? 1 (2.1) ? ? (2.2) ? ?
(2.3) 9 En efecto, si ? ? ?ak ?k?N es un elemento cualquiera de
A(S), entonces e * ?? ? ?bk ?k?N , donde bk ? ? u? a? ? ak ? ? ?
?k , cualquiera que sea k ? N y así e * ?? ? ? . En los
siguientes supondremos que el anillo A posee un elemento neutro e
y sea E ? ?ek ?k?N , donde Lema 2.1: S ? ? ?ak ?k?N ?0 si k ? 1
?e si k ? 1 ? A(S ) y ? ? ?bk ?k?N ? ? ? E , entonces ? 0 si k ?
0 ?ak ?1 si k ? 0 En efecto, , y si k ? 1, entonces bk ? b0 ? ?
a? e? ? a0 e0 ? 0 ? ? ? ?k ? a? e? ? ak e0 ? ak ?1e1 ? ? ? a0 ek
? ? ? ?k Luego, puesto que e0 ? 0 , e1 ? e y ei ? 0 para i ? 1 ,
resulta que bk ? ak ?1 . Teorema 2.3: Si E 0 ? ?e,0,0, ?? y E1 ?
?0, e,0,0, ?? , entonces E n ? ?ak ,n ?k?N n ? 1 y ak ,n ? ?
Demostración: En efecto, E 2 ? E ? E ? ?ak , 2 ?k?N , ,
donde según el lema 2.1, a2, 2 ? e y para k ? 2 tenemos ak
, 2 ? 0 . Así, la igualdad (2.1) se verifica para n ? 2 .
Suponiendo que el teorema se verifica para n, demostraremos que
será verdadera también para n+1. En efecto, E n?1 ?
E n ? E ? ?ak ,n ?k?N ? E Según el lema 2.1, an ? 2,n ?1 ?
an ?1,n ? e . Si k ? n ? 2 , entonces k ? 1 ? n ? 1 y ak ,n?1 ?
ak ?1,n ? 0. Así la relación (2.1) es verdadera
también cuando n se sustituye por n ? 1 ; por tanto el
teorema queda demostrado. Observación 2.1: Cualquiera que
sea n, E n ? ? 0,0,…,0, e,0,0,?? ? n?ceros ? Lema 2.2: Si ? ?
?a,0,0, ?? , entonces E n ? ? 0,0,…,0, a,0,0,?? ? n?ceros ? En
efecto, sea ? ? ?ak ?k?N , donde a0 ? a y ak ? 0 para k ? 0 .
Entonces, ? ? E ? ?bk ?k?N , , donde bk ? ? a? a? , n ? a0 ak , n
? a1ak ?1, n ? ? ? ak a0 , n ? a ak , n ? ? ? ?k , puesto que ak
? 0 para k ? 0 . Así, según el teorema 2.1.9, bn?1
? a y bk ? 0 para k ? n ? 1. Teorema 2.4: Si ? ? ?ai ?i?N ? A(S )
, entonces existirá n ? N tal que
(2.5) ? a ? bi 10 ? ? ?a0 ,0, ?? ? ?a1 ,0, ?? ? E ? ? ? ?an ,0,
?? ? E n (2.4) y si ? ? ?0,0, ?? , esta escritura de ? es
única . En efecto, si ? ? ?0,0, ?? , entonces la
relación (2.2.4) se verifica o bien para n ? 0 y a0 ? 0 ,
o bien para n cualquiera y a0 ? a1 ? ? ? an ? 0 . En el caso
contrario, teniendo en cuenta que ak ? 0 solamente para un
número finito de valores de k, existirá n ? N tal
que an ? 0 y ? ? ?a0 , a1 , ? , an ,0,0, ?? ? ?a0 ,0, ?? ? ?0, a1
,0, ?? ? ? ? ?0,0, ? , an ,0, ?? Así, según el lema
2.2.2, a tendrá la forma siguiente: ? ? ?a0 ,0, ?? ? ?a1
,0, ?? ? E ? ? ? ?an ,0, ?? ? E n Si para ? ? ?0,0, ??
tendríamos también ? ? ?b0 ,0, ?? ? ?b1 ,0, ??? E ?
? ? ?bn ,0, ??? E n , entonces resultaría que ? ? ?b0 ,0,
?? ? ?0, b1 ,0, ?? ? ? ? ?0,0, ? , bn ,0, ?? ? ?b0 , b1 , ? , bn
,0, ?? (2.6) , y la comparación entre (2.5) y (2.6)
daría que m ? n y ak ? bk ?k ? 1,2, ? , n? . Sea ahora A?X
? el conjunto de todas las expresiones de la forma: a0 ? a1 X ? ?
? an X n (2.7) , donde ak ? A , n ? N y an ? 0 ? a0 ? a1 ? ? ?
an?1 ? 0 Se dice que la expresión (2.7) es un polinomio en
la indeterminada X y con los coeficientes ak , pertenecientes al
anillo A. Si an ? 0 , se dice que el polinomio es de grado n.
Cuando todos los coeficientes son nulos se trata del polinomio
nulo, notado con ? ( X ) ó 0, cuyo grado es indeterminado.
Definición 2.1: Dos polinomios son iguales si los dos son
nulos, ó bien si tienen el mismo grado y los coeficientes
correspondientes a las mismas potencias de X son iguales. Si P( X
) ? a0 ? a1 X ? ? ? an X n (2.8) Q( X ) ? b0 ? b1 X ? ? ? bm X m
(2.9) , son dos polinomios de grado n y m, respectivamente ?n ?
m? , entonces en A?X ? se puede definir una adición y una
multiplicación de la manera siguiente: P( X ) ? Q( X ) ?
c0 ? c1 X ? ? ? cm X m P( X ) ? Q( X ) ? d0 ? d1 X ? ? ? d p X p
, donde p ? mn , ci ? ? i ?bi si i ? n si i ? n y d i ? ?a j bk j
?k ?i Sea ahora f : A(S ) ? A[ X ] (2.10) , la aplicación
definida por: f (? ) ? a0 ? a1 X ? ? ? an X n , donde ? ? ?a0 ,0,
?? ? ?a1 ,0, ?? ? E ? ? ? ?an ,0, ?? ? E n Evidentemente, f es
suprayectiva y, para demostrar que f es inyectiva, sea ? ? ?b0
,0, ?? ? ?b1 ,0, ??? E ? ? ? ?bm ,0, ??? E m , tal que f (? ) ? f
(? ) (2.11) Si f (? ) y f (? ) son nulos, según la
definición 2.2.1, a0 ? a1 ? ? an ? b0 ? b1 ? ? bm ?
0
, y así 11 , así ? ? ? . Si f (? ) y f (? ) no son
nulos, entonces según la definición (2.1), n ? m y
ak ? bk , cualquiera que sea k ? ?1,2, ? n?. Por tanto ? ? ? .
Así pues, f (? ) ? f (? ) ? ? ? ? , y por consiguiente, f
es inyectiva. Al ser f inyectiva y suprayectiva a la vez, resulta
que f es biyectiva. Por otra parte, si ? ? ?a0 , a1 , ? , an ,0,
?? y ? ? ?b0 , b1 , ? , bm ,0, ?? , donde n ? m , entonces f (? )
? P( X ) y f (? ) ? Q( X ) , donde P?X ? y Q?X ? son los
polinomios definidos en (2.2.8) y (2.2.9), respectivamente.
Puesto que f (? ) ? f (? ) ? P( X ) ? Q( X ) ? f (? ? ? ) f (? )
? (? ) ? P( X ) ? Q( X ) ? f ?? ? ? ? , , según el teorema
1.10 A?X ? es un anillo y f es un isomorfismo entre los anillos
A?S ? y A?X ?. Observación 2.1: Los anillos A?X ? y A?Y ?
son isomorfos puesto que los dos son isomorfos con el anillo A?S
?. Definición 2.2: Un polinomio M ?X ? se llama monomio si
M ?X ? ? a ó M ?X ? ? aX n , donde a ? A y n ? N ? ?0?.
Los monomios aX n y bX m son semejantes si y solamente si n ? m .
Obviamente, ?aX n ? ? ?bX m ? ? abX n?m y aX n ? bX n ? (a ? b) X
n Observación 2.2: Cualquier polinomio, que no es un
monomio, es una suma de monomios. Teniendo en cuenta que la
multiplicación es distributiva respecto a la
adición en el anillo A?X ?, resulta que el producto de dos
polinomios se puede calcular sumando a todos los monomios,
obtenidos multiplicando todos los monomios del primer polinomio
con todos los monomios del segundo polinomio. Observación
2.3: Conviene saber que la suma de dos polinomios de grado n
podría no ser un polinomio de grado n. Por ejemplo, si n ?
3 , P?X ? ? 2 ? 3X ? 5 X 2 ? 2 X 3 y Q?X ? ? ?5 ? 2 X 3 ,
entonces P?X ? ? Q?X ? ? ?3 ? 3X ? 5 X 2 , que es un polinomio de
grado 2. En general, grado ?P( X ) ? Q( X )? ? max ?grado ?P( X
)?, grado ?Q( X )?? , , donde la igualdad tiene lugar cuando los
polinomios son de grados distintos, o bien si son de mismo grado
y la suma de los coeficientes de los monomios de más alto
grado no es cero. Observación 2.4: Si A es un anillo
íntegro, grado ?P( X ) ? Q( X )? ? grado ?P( X )? ? grado
?Q( X )? . En efecto, an ? 0 y bm ? 0 ? an bm ? 0 grado ?P( X ) ?
Q( X )? ? n ? m ? grado ?P( X )? ? grado ?Q)( X )? . Teorema 2.5:
Si A es un anillo íntegro, entonces A?X ? es
también un anillo íntegro. Demostración: Si
? ?X ? es el polinomio nulo, hay que demostrar que P( X ) ? ? ( X
) y Q( X ) ? ? ( X ) ? P( X ) ? Q( X ) ? ? ( X ) Puesto que P?X ?
y Q?X ? no son polinomios nulos, se puede suponer que P( X ) ? a0
? a1 X ? ? ? an X n y Q( X ) ? b0 ? b1 X ? ? ? bm X m
12 , donde an ? 0 y bm ? 0 . Dado que P( X ).Q( X ) ? c0 ? c1 X ?
? ? cn? m X n? m , , donde cn?m ? an bm ? 0 , resulta que P( X )
? Q( X ) ? ? ( X ) . Observación 2.5: Puesto que Z, Q, R,
C son anillos íntegros, resulta que Z ?X ?, Q?X ? R?X ? y
C ?X ? son también anillos íntegros.
Observación 2.6: Trabajando con ordenadores, los
coeficientes del polinomio P( X ) ? a 0 ? a1 X ? ? ? a n X n ? a
n X n ? a n ?1 X n ?1 ? ? ? a1 X ? a 0 , se introducen siempre en
una matriz unidimensional (designado, por ejemplo, con A ) de
dimensión n , de la maera siguiente: A?0? ? an , A?1? ?
an?1 , ? , A?n ?1? ? a1 , A?n? ? a0 Utilizando en un ordenador el
Lenguaje Visual-Basic, las operaciones con polinomios se pueden
realizar mediante las funciones siguientes: Public Function
MultPol(ByRef p1() As Double, ByRef p2() As Double) As Variant
Dim i As Integer, j As Integer, g1 As Integer, g2 As Integer, p
() As Double g1 = Ubound (p1()):g2 = Ubound(p2()) ReDim p(g1 +
g2) For i = 0 To g1 If p1(i) <> 0 Then For j = 0 To g2 If
p2(j) <> 0 Then p(i + j) = p(i + j) + p1(i) * p2(j) End If
Next j End If Next i MultPol = p() End Function
‘———————————————————————————————————-
Public Function SumPol(ByRef p1() As Double, ByRef p2() As
Double) As Variant Dim gg As Integer, g1 As Integer, g2 As
Integer, gp As Integer, gr As Integer Dim pt() As Double, r() As
Double g1 = UBound(p1()): g2 = UBound(p2()) If g1 >= g2 Then
gp = g1 Else gp = g2 ReDim pt(gp) gg = Abs(gp – g1) For i = 0 To
g1 pt(i + gg) = p1(i) Next i gg = Abs(gp – g2) For i = 0 To g2
pt(i + gg) = pt(i + gg) + p2(i) Next i 'Grado de la suma For i =
0 To gp If pt(i) <> 0 Then Exit For Next i If i <= gp
Then gr = gp – i ReDim r(gr) For j = 0 To gr r(j) = pt(i + j)
Next j Else gr = -1 cxp = "Polinomio nulo" End If SumPol = r()
End Function
‘——————————————————————————————————–
Public Function RestPol(ByRef p1() As Double, ByRef p2() As
Double) As Variant Dim gg As Integer, g1 As Integer, g2 As
Integer, gp As Integer, gr As Integer Dim pt() As Double, r() As
Double g1 = UBound(p1()): g2 = UBound(p2())
13 If g1 >= g2 Then gp = g1 Else gp = g2 ReDim pt(gp) gg =
Abs(gp – g1) For i = 0 To g1 pt(i + gg) = p1(i) Next i gg =
Abs(gp – g2) 'Grado de la diferencia For i = 0 To gp If pt(i)
<> 0 Then Exit For Next i If i <= gp Then gr = gp – i
ReDim r(gr) For j = 0 To gr r(j) = pt(i + j) Next j Else gr = 0
ReDim r(0) r(0) = 0 cxp = "Polinomio nulo" End If RestPol = r()
End Function
‘———————————————————————————————————-
Public Function MultPolNum(ByVal r As Double, ByRef x() As
Double) As Variant Dim m() As Double, i As Integer, g As Integer
g = UBound(x()) ReDim m(g) For i = 0 To g m(i) = r * x(i) Next i
MultPolNum = m() End Function
‘————————————————————————————————————————————
Public FunctionTransfOpPol(ByVal cf As Double, ByRef x() As
Double, ByVal ex As Integer) As Variant Dim i As Integer, j As
Integer, g3 As Integer Dim x1() As Double, x2() As Double, p() As
Double If ex > 1 Then x1() = x(): x2() = x() For j = 1 To ex –
1 x1() = ProductoPol(x1(), x2()) Next j p() = ProductoNumPol(cf,
x1()) Else If ex = 0 Then gp = 0 ReDim p(0) p(0) = cf Else p() =
ProductoNumPol(cf, x()) End If End If TransfOpPol = p() End
Function
‘——————————————————————————————————————
Public Function FormatoPol(ByRef x() As Double) As String Dim i
As Integer, j As Integer, cd As String, cm As String gx =
UBound(x()) For i = 0 To gx If x(i) <> 0 Then If i = 0 Then
If Abs(x(0)) <> 1 Then cm = FormatoNumero(x(0)) Else If gx
<> 0 Then If x(0) = -1 Then cm = "-" End If Else If x(0) =
-1 Then
n 3 l 4 4 l l 14 cm = Str$(-1) Else cm = Mid$(Str$(1), 2) End If
End If End If If gx <> 0 Then If gx = 1 Then cm = cm + " X"
Else cm = cm + " X^" + Mid$(Str$(gx), 2) End If End If Else If
x(i) > 0 Then cd = " + " Else cd = " – " End If If Abs(x(i))
<> 1 Or i = gx Then cd = cd +
FormatoNumero(Val(Mid$(Str$(x(i)), 2))) End If If gx > 1 Then
If i < gx – 1 Then cd = cd + " X^" cd = cd + Mid$(Str$(gx –
i), 2) Else If i = gx – 1 Then cd = cd + " X" End If End If End
If cm = cm + cd: cd = "" End If End If Next i FormatoPol = cm End
Function La función CalculoOperando evalúa una
expresión de la forma r ? ?P?X ?? . Si n ? 1 y r ? 1
entonces se trata solamente de la multiplicación del
polinomio con un número. Si r ? 1 y n ? 1 se trata de la
potencia de un polinomio. Finalmente, en el caso general r ? 1 y
n ? 1 se calcula la potencia del polinomio y el resultado se
multiplica por el número. Ejemplo 2.1: Utilizando la
función TransfOpPo se obtiene el desarrollo del operando
Q( X ) ? 7 ? ?2 X 3 ? 5 X 2 ? 3X ? 4? , que es la siguiente: 56 X
9 ? 420X 8 ? 1302X 7 ? 2471X 6 ? 3633X 5 ? 4053X 4 ? 3381X 3 ?
2436X 2 ? 1008X ? 448 Ejemplo 2.3: Utilizando la función
TransfOpPo se obtiene el desarrollo del operando S ( x) ? ?5x 2 ?
3x ? 2? ? 1? ?5x 2 ? 3x ? 2? , que es la siguiente: R ( x ) ?
625x 12 ? 1500x 10 ? 1000x 9 ? 1350x 8 ? 1800x 7 ? 60 x 6 ? 1080x
5 ? 639x 4 ? 56 x 3 ? 216x 2 ? 96 x ? 16 El desarrollo de los
operandos de los ejemplos anteriores podría ser
útil, por ejemplo, para hallar las funciones primitivas de
las funciones x ? Q(x) ó x ? S (x) . Si se quiere escribir
un programa para operar con polinomios, la introducción de
los datos desde el teclado es mejor hacerlo en forma de
operandos, aunque para esto hay que introducir coeficientes y
exponentes iguales a 1. Después de introducir los
operandos, estos se transforman en polinomios con la
función TransfOpPo y luego las operaciones se hacen con
las funciones para operar con polinomios.
?1 15 §.3. Divisibilidad en un semigrupo conmutativo con
elemento neutro , y con la regla de simplificación.
Definición 3.1: En el semigrupo ?G, .? es válida la
regla de simplificación si a .b ? a . c ? a ? c ,
cualesquiera que sean a, b, c ? G . Definición 3.2: a ? G
es un divisor de b ? G ( b es un múltiplo de a ) si existe
c ? G tal que b ? a . c . Observación 4.1: Los divisores
del elemento neutro e del semigrupo G son los elementos
invertibles de este semigrupo. Observación 3.2: Un
elemento invertible ? (en particular el elemento neutro e ) es
divisor de cualquier elemento a del semigrupo G. En efecto, a ? ?
. ?? ?1 . a?. Observación 3.3: Cualquier elemento a del
semigrupo G es divisor (múltiplo) de si mismo puesto que a
? a.e . Sean D y M las relaciones definidas en el semigrupo G por
bDa ? b es divisiblecon a ? a es divisor de b bMa ? b es
múltiplo de a Obviamente, D ?1 ? M y, según la
observación 2.4.3, D es reflexiva. Es también
transitiva. En efecto, si cDb y bDa entonces existirán q y
q' tales que b ? a . q y c ? b. q ' , de donde resulta que c ? a
. ?q. q'? , y así cDa . Definición 3.3: Los
elementos a y b del semigrupo G están asociados si a ? b .
q y q es un elemento invertible. La relación de
asociación es una relación reflexiva,
simétrica y transitiva y, por tanto, una relación
de equivalencia. En efecto, a ? a . e y e?1 ? e a ? b . q y ?q ?1
? b ? a . q ?1 a ? b . q , b ? c . r y ?q ?1 , r ?1 ? a ? c . ?r
. q ? y ?r . q ? ? q ?1 . r ?1 Teorema 3.1: Si bDa y aDb entonces
los elementos a y b están asociados. En efecto, de bDa y
aDb resulta que b ? a . q y a ? b .q ' . Así, a . e ? a ?
b . q ' ? ?a . q ?. q ' ? a . ?q . q '? , de donde, aplicando la
regla de simplificación, resulta que e ? q . q ' ? q y q '
son inversible . Por tanto, a y b están asociados. Teorema
3.2: Si a y b están asociados entonces bDa y aDb . En
efecto, existe un elemento invertible q tal que b ? a . q ? a ? b
. q ?1 Observación 3.4: Si en el semigrupo G el
único elemento invertible es el elemento neutro, entonces
la relación D (M) será anti-simétrica y
así será una relación de orden parcial en G.
Observación 3.5: Si a y b son dos elementos asociados y a
es un divisor de c, entonces b es también un divisor de c.
En efecto, c ? a . q ? ?b .u ?. q ? b . ?u . q ? donde u es un
elemento invertible. Definición 3.4: c ? G es un divisor
común de a ? G y b ? G si c es tanto un divisor de a como
de b . Definición 3.5: d ? G es un máximo
común divisor de a ? G y b ? G si d es un divisor
común de estos elementos y cualquier otro divisor
común d ' de a y b es un divisor de d . De costumbre, un
máximo común divisor de los elementos a y b se nota
con ?a , b ? . Definición 3.6: c ? G es un múltiplo
común de a, b ? G si tanto a como b son divisores de
c.
' 16 Definición 3.7: c ? G es un mínimo
común múltiplo de a, b ? G si m es un
múltiplo común de estos elementos y cualquier otro
múltiplo común de a y b es un divisor de m. Un
mínimo común múltiplo de a y b se nota con
?a, b?. Teorema 3.3: Si tanto d como d 1 es un máximo
común divisor de a y b , entonces d y d 1 están
asociados. En efecto, d1 Dd y dDd 1 y así, según el
teorema 2.4.2, d y d1 están asociados. Teorema 3.4: Si d
es un máximo común divisor de a y b , y d 1
está asociado con d , entonces d 1 es también un
máximo común divisor de a y b .
Demostración: Puesto que d y d 1 están asociados,
existirá un elemento invertible q tal que d ? d1 . q .
Entonces a ? d . c1 ? ?d1.q?. c1 ? d1.?q .c1 ? ? d1.c1' b ? d .c2
? ?d1 . q?.c2 ? d1 .?q .c2 ? ? d1 .c2 y por tanto, d 1 es un
divisor común de a y b . Si d 0 es un otro divisor
común de a y b , entonces d ? d 0 .q0 puesto que d es un
máximo común divisor de a y b . Así d1 ? d .
q ?1 ? ?d 0 . q0 ?. q ?1 ? d 0 . ?q0 . q ?1 ? , y así d 0
es un divisor de d 1 . Por tanto, d 1 es un máximo
común divisor de a y b . Teorema 3.5: Si tanto m como m1
es un mínimo común múltiplo de a y b
entonces m y m1 están asociados. Teorema 3.6: Si m es un
mínimo común múltiplo de a y b y m1
está asociado con m , entonces m1 es también un
mínimo común múltiplo de a y b . Las
demostraciones de los dos últimos teoremas son
análogas a la demostración del teorema 2.4.4.
Observación 3.6: En un semigrupo conmutativo con elemento
neutro y donde es válida la regla de
simplificación, no es seguro la existencia del
máximo común divisor o del mínimo
común múltiplo de dos elementos, pero si existen,
son determinados hasta un factor invertible. En el semigrupo de
los números naturales no nulos no existe otro elemento
invertible que el elemento neutro 1 y, por tanto, el
máximo común divisor y el mínimo
común múltiplo son únicos. Definición
3.8: Los elementos a, b ? G son primos entre sí, si su
máximo común divisor está asociado con el
elemento neutro e , es decir, si es un elemento invertible.
Teorema 3.7: Si d es un máximo común divisor de a y
b , a ? d .a ' y b ? d .b ' , entonces a ' y b ' son primos entre
sí. Demostración: Si c es un máximo
común divisor de a ' y b ' , entonces a ? d . a ' ? d . ?c
. a1 ? ? ?d . c ?. a1 b ? d .b ' ? d . ?c .b1 ? ? ?d . c ?.b1 , y
así, d . c es un divisor común de a y b . Al ser d
un máximo común divisor de estos elementos, d ? ?d
. c ?. q ? d . e ? d .?c . q ? . Según la regla de
simplificación, de aquí resulta c . q ? e y
así, c es un elemento invertible (asociado con e ).
Teorema 3.8: Si a, b, t ? G , d ? ?a , b? y existe un
máximo común divisor de t . a y t . b , entonces d
.t es un máximo común divisor de t . a y t . b .
Demostración: Si d ' es un máximo común
divisor de t . a y t . b , entonces teniendo en cuenta las
igualdades siguientes, t . a ? t . ?d . a '? ? ?t . d ?. a ' t .b
? t . ?d .b '? ? ?t . d ?.b ' (3.1) (3.2) , resulta que t . d es
un divisor común de t . a y t . b y así,
será un divisor también de d ' . Por tanto, d '? t
. d . q y dado que d ' es un máximo común divisor
de t . a y t . b , t . a ? d '. q1 ? t . d . q . q1 t .b ? d '.
q2 ? t . d . q . q2 (3.3) (3.4)
(3.5) (3.6) ? ? 1 17 Combinando (3.3) con (3.1) y (3.4) con
(3.2), resulta que ?t . d ?a ' ? ?t . d ?. ?q . q1 ? ?t . d ?.b '
? ?t . d ?. ?q . q2 ? , de donde, utilizando la regla de la
simplificación, resulta que a ' ? q . q1 y b ' ? q . q 2 .
Por tanto, q es un divisor común de a ' y b ' , primos
entre sí según el teorema 3.7. Así q es un
divisor de un elemento invertible y por tanto q mismo es un
elemento invertible. Así, según el teorema 3.4, t .
d será un máximo común divisor de t . a y t
. b . Teorema 3.9: Si dos elementos cualesquiera del semigrupo G
tienen máximo común divisor, entonces existe
también el mínimo común múltiplo de
dos elementos cualesquiera y ?a , b?.?a , b? está asociado
con el producto a.b . Demostración: Si d ? ?a , b? , a ? d
.a ' , b ? d .b ' y t ? d . a '.b ' es obvio que t es un
múltiplo común de a y b . Sea ahora t ' un
múltiplo común cualquiera de a y b . Entonces, t '
? a . q1 ? d . a '.q1 t ' ? b . q2 ? d .b '.q2 , de donde resulta
que b '. t ' ? d . a '.b '.q1 ? t . q1 a '. t ' ? d . a '.b '.q2
? t . q2 , y así t es un divisor común de a '. t y
b '. t . Por tanto, t es un divisor del máximo
común divisor de a '.t y b '.t . Teniendo en cuenta los
teoremas 3.7 y 3.8, un máximo común divisor de a '.
t y b '. t debe tener la forma ?a ' , b '?.t ' ? u .t ' , donde u
es un elemento invertible. Así pues, t es un divisor de t
'.u y así, existirá s ? G tal que t '.u ? t . s ? t
' ? t . s .u ?1 así, t es un divisor de t ' y por tanto, t
es un mínimo común múltiplo de a y b .
Observación 3.7: Si en el semigrupo G el elemento neutro
es el único elemento invertible y existe el máximo
común divisor de dos elementos cualesquiera, entonces ?a ,
b ? y ?a , b? son únicas y ?a , b?.?a , b? ? a .b (3.7) ,
cualesquiera que sean a, b ? G . Teorema 3.10: Si los elementos a
y b están asociados con los elementos a ' y b ' ,
respectivamente, y d ?d '? es un máximo común
divisor de a y b (de a ' y b ' ), entonces d y d ' están
asociados. Demostración: Si a ' está asociado con a
y b ' con b , entonces a ' ? a .u y b ' ? b .u 2 , donde u1 y u 2
son dos elementos invertibles. Puesto que d ' es un máximo
común divisor de a ' y b ' , a ' ? d '. q1 y b ' ? d '. q2
, es decir, a .u1 ? d '. q1 y b .u 2 ? d ..q2 Así, a ? d
'.?q1 .u ?1 ? y b ? d '.?q2 .u2 1 , y por tanto, d ' es un
divisor común de a y b . Puesto que d es un máximo
común divisor de a y b , d ' es un divisor de d . Por otra
parte, d es un máximo común divisor de a y b y
así a ? d . r1 y b ? d . r2 , de donde resulta que a ' ? a
.u1 ? d . ?r1 .u1 ? y b ' ? b .u 2 ? d . ?r2 .u 2 ? De esta
manera, d es un divisor común de a ' y b ' y puesto que d
' es un máximo común divisor
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