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Divisibilidad en semigrupos y anillos




Enviado por Aladar Peter Santha



Partes: 1, 2

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    (1.6) 1 Divisibilidad en semigrupos y anillos. Aladar Peter
    Santha Résumée: Dans ce travaille on expose: des
    connaissances élémentaires sur les demie-groupes,
    groupes, les anneaux, la constructions de l’anneau des
    polynômes d’un seul variable, la théorie de la
    divisibilité dans le demi-groupe des nombres naturelles et
    dans les anneaux intègres (en particulier dans Z, Q[X],
    R[X], Z[i], Z[i][X]), les fonctions de Visual-Basic
    nécessaires pour les calcules algébriques et pour
    déterminer le plus grand diviseur commun et le plus petit
    multiple commun dans les structures algébrique
    énumérés avant. Finalement, comme une
    application de la plus grand commun diviseur dans l’anneau
    Q[X] on expose aussi le calcule des zéros réels des
    polynômes avec des coefficients dans Z[i] ou Z [ ? ] ( ? ?
    0, ? 2 ? 0 ).
    ===========================================================================
    §.1. Nociones preliminares. Una ley de composición
    interna (operación) en el conjunto no vacío G es
    una aplicación del tipo f : G ? G ? G . Si D f es el
    dominio de definición de f y D f ? G ? G la
    operación es posible siempre. En vez de f ?x, y ? se
    suelen utilizar las notaciones más diversas, como x ? y,
    xy, x ? y, x * y, x ? y, x ? y, x ? y, x ? y, ? Definición
    1.1: Un grupoide es un conjunto no vacío G, donde se ha
    definido una ley de composición (operación)
    interna. Para indicar un grupoide, se puede utilizar la
    notación (G,*), donde G es el conjunto de base y *
    simboliza la ley de composición. Sin embargo, cuando no
    hay duda sobre la ley de composición, se puede hablar
    sencillamente del grupoide G. El grupoide (G,*) es conmutativo o
    asociativo si para cualquier a, b, c ? G a * b ? b * a (1.1)
    ,ó (a * b) * c ? a * (b * c) , (1.2) , respectivamente. En
    el grupoide (G,*), e ? G es un elemento neutro a la derecha si
    para cualquier a ? G , a * e ? a (1.3) De manera análoga,
    e ? G es un elemento neutro a la izquierda si, para cualquier a ?
    G , e * a ? a (1.4) Luego, e ? G es un elemento neutro
    (bilateral) del grupoide si e es tanto un elemento neutro a la
    derecha como a la izquierda. En este caso, para cualquier a ? G a
    * e ? e * a ? a (1.5) Un grupoide no puede tener más de un
    elemento neutro, puesto que si existieran dos, e y e' , entonces
    de e * e' ? e y e * e' ? e' , resultaría que e ? e ' .
    Definición 1.2: Un semigrupo es un grupoide asociativo. En
    un semigrupo (G,*) con el elemento neutro e , a'? G es un
    elemento simétrico de a ? G si a * a' ? a'*a ? e En un
    semigrupo con elemento neutro, un elemento no puede tener
    más de un elemento simétrico. En efecto, si a ' y a
    " fueran dos elementos simétricos del elemento a ,
    entonces a" ? a"*e ? a"*(a * a' ) ? (a"*a) * a' ? e * a' ? a' Si
    la ley de composición del semigrupo se llama
    adición, su elemento neutro será designado con el
    símbolo 0, el elemento simétrico de a se
    llamará elemento opuesto de a y será designado por
    ? a . Cuando la ley de composición de del semigrupo se
    llama multiplicación, el elemento neutro será
    designado por e , el

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    ?1 ?1 (1.7) ?1 2 elemento simétrico de a se llamará
    el elemento inverso de a y será designado por a ?1 .
    Definición 1.3: Un grupo es un semigrupo con elemento
    neutro, donde todos los elementos tienen elemento
    simétrico. Si el semigrupo en cuestión es
    conmutativo, se dice que el grupo es conmutativo (abeliano).
    Teorema 1.1.: Si ?G, ?? es un semigrupo con el elemento neutro e
    y los elementos a, b ? G son invertibles, entonces los elementos
    a ?1 y a ? b son también invertibles y ?a ? ? a (a ? b) ?
    b ?1 ? a ?1 (1.8) En efecto, si el elemento a es invertible,
    entonces a ? a ?1 ? a ?1 ? a ? e , de donde resulta que a ?1 ? a
    ? a ? a ?1 ? e , y así a ?1 es el inverso de a . Para
    demostrar la segunda parte del teorema, se observa que ?a ? b??
    ?b ?1 ? a ?1 ? ? a ? ?b ? b ?1 ?? a ?1 ? a ? e ? a ?1 ? (a ? e) ?
    a ?1 ? a ? a ?1 ? e ?b ?1 ? a ?1 ?? ?a ? b? ? b ?1 ? ?a ?1 ? a??
    b ? b ?1 ? e ? b ? b ?1? ? (e ? b) ? b ?1 ? b ? e , de donde
    resulta que b ?1 ? a ?1 es el elemento inverso de a ? b . En un
    grupo aditivo, las igualdades (1.7) y (1.8) se transforman en: ?
    ?? a ? ? a y ? ?a ? b? ? ?? a ? ? ?? b? , respectivamente.
    Teorema 1.2: Si G es un semigrupo con elemento neutro y U es el
    conjunto de todos los elementos invertibles de G, entonces U es
    un grupo respecto a la ley de composición de G.
    Demostración: Dado que e ? U , U no es el conjunto
    vacío. Por otra parte, según el teorema 1.1, U es
    una parte estable de G, es decir, la composición de dos
    elementos de U pertenece a U. Finalmente, si a ? U entonces,
    según el teorema 1.1, a ?1 ? U y así U será
    un grupo. Definición 1.4: Un anillo es un conjunto A en el
    cual se han definido dos leyes de composición internas,
    llamadas, de manera convencional, adición y
    multiplicación, y que cumplen las condiciones: 1) (A,+) es
    un grupo abeliano. 2) Cualesquiera que sean a, b, c ? A , a ? ?b
    ? c ? ? a ? b ? a ? c (1.9) ?a ? b? ? c ? a ? c ? b ? c (1.10) Si
    la multiplicación es asociativa (conmutativa), el anillo ?
    A,?, ?? es asociativo (conmutativo). Las leyes (1.9) y (1.10) se
    llaman las leyes de distributividad de la multiplicación
    respecto a la adición, a la izquierda y a la derecha,
    respectivamente. El elemento neutro del grupo (A,+) será
    designado con 0 y se llamará el elemento nulo (cero) del
    anillo. El grupoide multiplicativo ?A, ?? del anillo ? A,?, ??
    puede tener también un elemento neutro y, cuando esto es
    así, será designado con 1, diciendo que es el
    elemento neutro del anillo. Si no hay ninguna duda sobre las
    operaciones, el anillo ? A,?, ?? podría ser designado
    simplemente por A. Poniendo b ? c ? 0 en la igualdad (1.9), se
    obtiene que a ? 0 ? a ? 0 ? a ? 0 , , de donde, sumando ? a ? 0
    en las dos partes de la igualdad, resulta que a ? 0 ? 0 ,
    cualquiera que sea a ? A . De manera análoga, de (1.10) se
    obtiene que 0 ? a ? 0 , cualquiera que sea a ? A . Así
    pues, cualquiera que sea a ? A , a ? 0 ? 0 ? a ? 0 (1.11) Si a ?
    0 y b ? 0 pero a ? b ? 0 , se dice que a y b son divisores de
    cero. Definición 1.5: El anillo ? A,?, ?? es un anillo
    íntegro si es asociativo y conmutativo, tiene elemento
    neutro y no tiene divisores de cero. Ejemplo 1.1: Sea F el
    conjunto de todas las funciones reales. Si f , g ? F , las
    funciones f ? g y f ? g se definen por

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    f ( x) ? ? y g ( x) ? ? 3 ? f ? g ?( x) ? f ( x) ? g ( x) y ? f ?
    g ??x ? ? f ?x ? g ?x ? , respectivamente. Es fácil de
    verificar que ?F ,?, ?? es un anillo asociativo y conmutativo,
    con el elemento neutro ? y con el elemento unidad u, definidas
    por ?x ? R, ? ( x) ? 0 y u( x) ? 1 , respectivamente. Este anillo
    no es íntegro, puesto que si las funciones f y g se
    definen por ?1 si x ? 2 ?0 si x ? 2 ?0 si x ? 2 ?3 si x ? 2 ,
    respectivamente, entonces f ? ? , g ? ? y f ? g ? ? . Teorema
    1.3: Si ? A,?, ?? es un anillo y a, b ? A , entonces a ? (?b) ?
    (?a) ? b ? ?a ? b (?a) ? (?b) ? a ? b (?1) ? a ? ?a (1.12) (1.13)
    (1.14) Demostración: Obviamente a ? ?b ? (?b)? ? a ? 0 ? 0
    , , de donde, según (1.9), a ? b ? a ? (?b) ? 0 y
    así, a ? ?? b)? es el elemento opuesto de a ? b De manera
    similar, de ?a ? (?a)?? b ? 0 , y de (2.1.10), resultará
    que Por fin, (?a) ? b ? ?a ? b ?? a ? ? (?b) ? ??a ? (?b)? ? ?(?a
    ? b) ? a ? b (1.15) , y poniendo a ? 1 en (1.15), se obtiene la
    igualdad (1.14). Definición 1.6: Si ? A,?, ?? es un anillo
    y a, b ? A , entonces a ? b ? a ? (?b) La ley de
    composición así definida se llama
    sustracción. Teorema 1.4: La multiplicación es
    distributiva respecto a la sustracción, es decir,
    cualesquiera que sean a, b, c ? A a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c ?a
    ? b? ? c ? a ? c ? b ? c (1.16) (1.17) En efecto, a ? ?b ? c ? ?
    a ? ?b ? (?c)? ? a ? b ? a ? (?c) ? a ? b ? ?? a ? c ? ? a ? b ?
    a ? c La demostración de (1.17) es análoga. Teorema
    1.5 (Regla de simplificación): Si ? A,?, ?? es un anillo
    íntegro y a ? A ? ?0?, entonces a ? b ? a ? c ? b ? c En
    efecto, si a ? b ? a ? c entonces a ? ?b ? c ? ? 0 y, dado que a
    ? 0 , resulta que b ? c ? 0 , es decir, b = c. Definición
    1.7: El anillo ?K ,?, ?? es un cuerpo si y solamente si, ?K – {0}
    , ?? es un grupo. Teorema 1.6: Un cuerpo conmutativo es un anillo
    integro. En efecto, si a, b ? K y a ? b ? 0 , entonces de a ? 0
    resulta que b ? e ? b ? ?a ?1 ? a?? b ? a ?1 ? ?a ? b? ? a ?1 ? 0
    ? 0 Definición 1.8: Si ?G, ?? y ?H ,*? son semigrupos
    (grupos) y la aplicación f : G ? H cumple la
    condición f (a ? b) ? f (a) ? f (b) , cualesquiera que
    sean a, b ? G , f es un homomorfismo de semigrupos (de grupos).Si
    el homomorfismo f es biyectiva, entonces se dice que f es un
    isomorfismo de semigrupos (de grupos).

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    ' 4 Teorema 1.7: Sea f : G ? H un isomorfismo entre los grupos
    ?G, ?? y ?H ,*? . Entonces, a) Siendo e y e’ los elementos
    neutros de ?G, ?? y ?H ,*? , f (e) ? e' b) Si a ' es el elemento
    simétrico de a en ?G, ?? , f ?a '? es el elemento
    simétrico , de f ?a ? en ?H ,*? . c) Si ?G, ?? es un grupo
    conmutativo, ?H ,*? lo es también. Demostración: a)
    Cualquiera que sea a ? G , e ? a ? a ? e ? a f ?e ? a ? ? f ?a ?
    e? ? f (e) f (e) * f (a) ? f (a) * f (e) ? f (e) , , y teniendo
    en cuenta que f ?a ? es un elemento cualquiera de H, resulta que
    f ?e? es un elemento neutro en ?H ,*? . Puesto que en un grupo el
    elemento neutro es único f (e) ? e' . b) Dado que a' ? a ?
    a ? a' ? e , , cualquiera que sea a ? G , resulta que f (a' ) * f
    (a) ? f (a) * f (a' ) ? f (e) ? e' . Por tanto, f ?a '? es un
    elemento simétrico de f ?a ? en ?H ,*? Luego, según
    la unicidad del elemento simétrico en un grupo ? f (a)? ?
    f ?a'? . c) Puesto que ?G, ?? es un grupo conmutativo a ? b ? b ?
    a , cualesquiera que sean a, b ? G . Al ser f un isomorfismo, f
    ?a ? y f ?b? serán dos elementos cualesquiera de ?H ,*? y
    así, de f (a) * f ?b ? ? f ?b ?* f ?a ? , resulta que
    (H,*) es un grupo conmutativo. Es fácil de observar que
    las afirmaciones del teorema anterior quedarán
    válidas también en un semigrupo. Teorema 1.8: Si
    ?G, ?? es un semigrupo con el elemento neutro e , ?H ,*? es un
    grupoide y existe una biyección f : G ? H tal que f ?a ?
    b? ? f (a) ? f (b) , , cualesquiera que sean a, b ? G , entonces
    ?H ,*? es un semigrupo con el elemento neutro f ?e? .
    Demostración: Dado que f es una aplicación
    biyectiva, cualesquiera que sean x, y, z ? H , existirán
    a, b, c ? G , tales que x ? f ?a ? , y ? f ?b ? , z ? f ?c ? .
    Entonces, x * ? y * z ? ? f ?a ?* ? f ?b?* f ?c ?? ? f ?a ?* f ?b
    ? c ? ? f ?a ? ?b ? c ?? ? ? f ??a ? b? ? c? ? f ?a ? b?* f ?c ?
    ? ? f ?a ?* f ?b??* f ?c ? ? ?x * y ?* z , y así ?H ,*? es
    un semigrupo. Por otra parte, f ?e? es un elemento neutro del
    semigrupo ?H ,*? , puesto que para cualquier x ? H , x * f (e) ?
    f (a) * f (e) ? f ?a ? e? ? f (a) f (e) * x ? f (e) * f (a) ? f
    ?e ? a ? ? f (a) Luego, f ?e? es el único elemento neutro
    de ?H ,*? ya que en un semigrupo el elemento neutro es
    único. Teorema 1.9: Si ?G, ?? es un grupo con el elemento
    neutro e , ?H ,*? es un grupoide y existe una aplicación
    biyectiva f : G ? H tal que f ?a ? b? ? f (a) * f (b) ,
    cualesquiera que sean a, b ? G , entonces ?H ,*? es un grupo. Si
    ?G, ?? es un grupo conmutativo entonces ?H ,*? lo es
    también. Demostración: Según el teorema 1.8,
    ?H ,*? es un semigrupo con el elemento neutro f ?e? . Si x ? f ?a
    ? ?a ? G ? es un elemento cualquiera de H y a ' es el elemento
    simétrico de a en ?G, ?? , entonces f ?a '? es un elemento
    simétrico de x en el semigrupo ?H ,*? . En efecto, x * f
    (a' ) ? f (a) * f ?a'? ? f ?a ? a'? ? f (e)

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    5 f ?a'?* x ? f ?a'?* f (a) ? f (a' ? a) ? f (e) Teniendo en
    cuenta que en un semigrupo un elemento no puede tener más
    de un elemento simétrico f ?a '? será el
    único elemento simétrico de x ? f ?a ? .
    Así, todos los elementos de H tienen elemento
    simétrico en el semigrupo ?H ,*? y, por tanto, ?H ,*? es
    un grupo. Si ?G, ?? es un grupo conmutativo, entonces x * y ? f
    (a) * f (b) ? f ?a ? b? ? f ?b ? a ? ? f (b) * f (a) ? y * x ,
    cualquiera que sean x, y ? H y así, ?H ,*? es un grupo
    conmutativo. Definición 1.9: Si ?A,?, ?? y ?B,?,*? son
    anillos, una aplicación f : A ? B es un homomorfismo entre
    ellos si, para cualquier x, y ? A , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)
    f ( x ? y) ? f ( x) * f ( y) Si la aplicación f es
    biyectiva, f es un isomorfismo de anillos. Observación
    1.1: Si 0 y 0’ son los elementos neutros en los grupos
    aditivos de los anillos ?A,?, ?? y ?B,?,*?, respectivamente, y f
    es un isomorfismo entre estos dos anillos, entonces, aplicando el
    teorema 1.7 para los semigrupos ? A,? ? y ?B,? ? f (0) ? 0' y f
    (?a) ? ? f (a) , , cualquiera que sea a ? A . De manera
    análoga, aplicando el teorema 1.7 para los semigrupos
    multiplicativos ?A, ?? y ?B,*? , si existe el elemento neutro e
    en ?A, ?? y el elemento a posee el elemento simétrico a '
    , entonces e ' ? f ?e ? es el elemento neutro en ?B,*? y f ?a '?
    es el elemento simétrico de f ?a ? . Teorema 1.10: Si en
    el conjunto H se han definido dos leyes de composición
    internas ? y * y, f : A ? H es una aplicación biyectiva
    entre el anillo ?A,?, ?? y el conjunto H, tal que f ( x ? y) ? f
    ( x) ? f ( y) (1.18) f ( x ? y) ? f ( x) * f ( y) , (1.19) ,
    cualesquiera que sean x, y ? A , entonces ?H ,?,*? es un anillo
    isomorfo con el anillo ? A,?, ? ? . Si existe el elemento neutro
    e en el anillo ?A,?, ?? , entonces f ?e? es el elemento neutro
    del anillo ?H ,?,*? . Demostración: Puesto que f cumple la
    condición (1.18), aplicando el teorema 1.8 para el grupo
    aditivo ? A,? ? y el grupoide ?H ,? ? , resulta que ?H ,? ? es un
    grupo abeliano. Luego, aplicando el mismo teorema para el
    semigrupo ?A, ?? y el grupoide ?H ,*? y, teniendo en cuenta que f
    verifica la condición (1.18), resultará que ?H ,*?
    es un semigrupo con el elemento neutro f ?e? y es conmutativo si
    lo era ?A, ?? . Para que ?H ,?,*? sea un anillo, hay que
    comprobar que se cumplen las leyes distributivas. En efecto, dado
    que f es una aplicación biyectiva, para cualquier x, y, z
    ? H , existirán a, b, c ? A tal que x ? f ?a ? , y ? f ?b
    ? y z ? f . Entonces, x * ( y ? z) ? f (a) * ? f (b) ? f (c)? ? f
    (a) * f (b ? c) ? f ?a ? (b ? c)? ? f (a ? b ? a ? c) ? f (a ? b)
    ? f (a ? c) ? f (a) * f (b) ? f (a) * f (b) ? x * y ? x * z ,
    cualesquiera que sean x, y, z ? H . Igual se demuestra la
    distributividad a la derecha. Así pues ?H ,?,*? es un
    anillo y según las relaciones (1.18) y (1.19) f es un
    isomorfismo, luego, según la observación 1.1, f ?e?
    es el elemento neutro de este anillo. Teorema 1.11: Si ?A,?, ??
    es un anillo íntegro y f : A ? B es un ismorfismo entre
    los anillos ?A,?, ?? y ?B,?,*?, entonces ?B,?,*? es
    también un anillo íntegro. Demostración: Si
    x, y ? A cumplen la relación x * y ? f ?0?, donde f ?0? es
    el elemento nulo del anillo ?B,?,*?, entonces f (a) * f (b) ? f
    (0)

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    q p q p ? ? ? ? ? ? ? y ? ? ? ? ? ? ? qx q px p ? . ? ? ? ? ? ? ?
    ? ? ? ? ? ? 6 f ?a ? b ? ? f (0) , de donde resultará que
    a ? b ? 0 , puesto que f es una aplicación biyectiva.
    Teniendo ahora en cuenta que ?A,?, ?? es un anillo
    íntegro, de la última igualdad resulta que a ? 0
    ó b ? 0 , es decir, f ?a ? ? f ?0? , ó f ?b? ? f
    ?0? . Así, ?B,?,*? será también un anillo
    íntegro. Teorema 1.12: Si f : A ? B es un isomorfismo
    entre los anillos ?A,?, ?? y ?B,?,*? , entonces f ?1 : B ? A lo
    es también. En efecto, cualesquiera que sean los elementos
    x ? f ?a ? e y ? f ?b ? de B, f ?1 ( x ? y) ? f ?1 ? f (a) ? f
    (b)? ? f ?1 ? f (a ? b)? ? a ? b ? f ?1 ( x) ? f ?1 ( y f ?1 ( x
    * y) ? f ?1 ? f (a) * f (b)? ? f ?1 ? f (a ? b)? ? a ? b ? f ?1 (
    x) ? f ?1 ( y) Si A??,?? es un anillo íntegro con el
    elemento neutro e , sea F ? ? p, q) / p ? A, q ? A ? ?0?? . En F
    se puede considerar la relación ? , definida de la manera
    siguiente: ? p, q? ? ? p ' , q '? ? p ? q ' ? p ' q Es
    fácil verificar que esta relación es de
    equivalencia. Por tanto dividirá el conjunto F en clases
    de equivalencia. La fración es el conjunto de todos los
    elementos de F equivalentes al par ? p, q? , es decir, ? ??x, y ?
    / ?x, y ?? F y ?x, y ? ? ? p, q ?? . Obviamente, p s q t ? ? p, q
    ? ? ?s, t ? ? p ? t ? q ? s En el conjunto de las fracciones del
    anillo, designado por FCr (A) , se pueden introducir la
    addición y la multiplicación de la manera
    siguiente: a c ad ? bc b d bd Estas definiciones son correctas
    puesto que si a c ac b d bd (1.20) a a' b b ' c c' d d ' ? ab' ?
    ba' y cd ' ? dc' , y entonces b' d ' ?ad ? bc ? ? adb' d '?bcb' d
    ' ? bdda'?bb' dc' ? bd ?a`d '?b' c'? ? a c a' c' b d b' d¡
    acb' d ' ? ba' dc' ? a' c' bd a c a' c' b d b' d ' Teorema 1.13
    (Regla de la simplificación ó
    amplificación): Cualquiera que sea x ? A ? ?0?, En efecto
    px p qx q ? ? px, qx ? ? ? p, q ? ? pqx ? qxp .
    Observación 1.2: Si dos fracciones tienen el mismo
    denominador, para sumarlas se conserva se suman los numeradores y
    se conserva el denominador común. En efecto, según
    el teorema 1.13, a b ac ? bc ?a ? b?c a ? b c c c 2 cc c Teorema
    1.14: Si A??,?? es un anillo íntegro con el elemento
    neutro e , CFr ?A? es un cuerpo conmutativo con repecto la
    addición y multiplicación definidas en (1.20) y A
    será un subanillo en el cuerpo de sus fracciones. En
    efecto, la adición y la multiplicación son
    comutativas puesto que a c ad ? bc c a b d bd d b a c ac c a b d
    bd d b De las igualdades siguientes resulta que son
    también asociativas:

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    ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
    ? ? ? ? ? ? ? ? ? a e 0 0 a e ? 0 ? ? ? ? p e p , ? ? ? ? ? p q
    pq ? p ? ? q ? ? ? y 7 ? a c ? u ad ? bc u adv ? bcv ? bdu ? b d
    ? v bd v bdv a ? c u ? a cv ? du adv ? bcv ? bdu b ? d v ? b dv
    adv ? a c ? u ac u ?ac?u a?cu ? a ? c u ? ? b d ? v bd v ?bd ?v
    b?dv? b ? d v ? La multiplicación es distributiva respecto
    la adición: Utilizando el teorema 1.13. u ? a c ? u ad ?
    bc uad ? ubc uad ubc ua uc u a u c v ? b d ? v bd vbd vbd vbd vb
    vd v b v d Admitiendo que para a ? A, ? a resultará que A
    ? CFr?A? . Así para a ? 0 tenemos también 0 ? ? , y
    ? ? e e a a e Finalmente, CFr ?A? es un cuerpo puesto que: p q p
    0 p ? 0 p q q q q p q ? e ? ? ? q e q ?a ? 0? p ? p ? pq ? pq q q
    pq ? 0 pq ? 0 ? ? p ? p q q ? p ? ? q ? ?1 ? q p , puesto que ? ?
    q p qp ? e ? ? p ? ? ? ?1 ? q §.2. Construcción del
    anillo de los polinomios. Si A es un anillo conmutativo sea A?S ?
    el conjunto de todas las sucesiones ?uk ?k?N , donde uk ? 0 solo
    para un número finito de k ? N . Si ? , ? ? A(S ) , es
    decir, ? ? ?uk ?k?N y ? ? ?vk ?k?N , entonces las sucesiones ? ?
    ? ? ?uk ? vk ?k?N y ? ? ? ? ?wk ?k?N , donde wk ? ?u ? v? ,
    pertenecen al conjunto A?S ?. ? ? ? ? k En efecto, si ? , ? ? A(S
    ) , entonces existen k? , k ? ? N tales que uk? ? 0 , uk? ? 0 k ?
    k? ? u k ? 0 Si k* ? max ?k? , k ? ? , entonces k ? k ? ? vk ? 0
    , y así ? ? ? ? A(S ). Por otra parte, si , entonces k ? k
    * ? uk ? 0 y vk ? 0 k ? ? ? ? ? k? ? k ? ? ? k? ó ? ? k ?
    , , es decir u? ? 0 ó v? ? 0 . Así pues, si k ? k?
    ? k ? , entonces wk ? 0 y, por tanto ? ? ? ? A(S ) . Por
    consiguiente, en A?S ? se pueden considerar las leyes de
    composición: ?? , ? ? ? ? ? ? y ?? , ? ? ? ? ? ? Teorema
    2.1: ?A(S ),?, ?? es un anillo. Demostración: Si ? , ? , ?
    ? A(S ) y

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    ,y ' ' ? k q j ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?k ? j ? ? ?? ?? ?k ? ? ? ? ??
    ? j k ' ' y ? ? ?k ?? ?k ' " ' " 8 ? ? ?ak ?k?N , ? ? ?bk ?k?N y
    ? ? ?ck ?k?N , , entonces, puesto que la adición en el
    anillo A es conmutativa y asociativa, ?? ? ? ? ? ? ? ??ak ? bk ?
    ? ck ?k?N ? ?ak ? ?bk ? ck ??k?N ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?ak ? bk
    ?k?N ? ?bk ? ak ?k?N ? ? ? ? Así (A(S),+) es un semigrupo
    conmutativo. Obviamente, O ? ?ak ?k?N , , donde ak ? 0 para
    cualquier k ? N , es el elemento neutro de este semigrupo y ? ? ?
    ?? ak ?k?N , es el opuesto de ? . Por tanto (A(S),+) es un grupo
    conmutativo con el elemento neutro 0. La multiplicación de
    A?S ? es asociativa puesto que si ? ? ? ? ? pk ?k?N ; ? ? ? ? ?pk
    ?k?N ?? ? ? ?? ? ? ?q j ?j?N ; ? ? ?? ? ? ? ? ?q 'j ?j?N ,
    entonces pk ? ? a? b? ? ? ? ?k pk ? ?b? c? ? ?? ?k ? ? k ? jp c?
    ? k ? j ?? ? a? b? ? ? ? ? ? ?? a? b? c? q 'j ? ? ? a? p ? k ? j
    ? ? ? ? k ? j a? ? ? b? c? ? ? ? a? b? c? , y así, para
    cualquier j ? N q j ? q'j , es decir, cualesquiera que sean ? , ?
    , ? ? A(S ) , ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? La
    multiplicación de A?S ? es también conmutativa,
    puesto que si ? ? ? ? ? pk ?k?N ? ? ? ? ?pk ?k?N , entonces pk ?
    ? ? a? b? ? ??b? a? , cualquiera que sea k ? N y así, ? ?
    ? ? ? ? ? , cualesquiera que sean ? , ? ? A(S ) . Para demostrar
    que A?S ? es un anillo queda verificar que la
    multiplicación es distributiva respecto a la
    adición. Si , entonces ? ? ? ? ?pk ?k?N , ? ? ? ? ?pk ?k?N
    y ?? ? ? ?? ? ? ? pk ?k?N pk ? ? ?a? ? b? ?c? ? ? a? c? ? ?b? c?
    ? pk ? pk ? ? ? ?k ? ? ? ?k ? ? ? ?k , cualquiera que sea k ? N y
    así ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , cualesquiera que sean ?
    , ? , ? ? A(S ) . Teorema 2.2: Si e es el elemento neutro del
    anillo A, entonces e* ? ?uk ?k?N , donde u0 ? e y uk ? 0 para k ?
    0 , es el elemento neutro del anillo A?S ?.

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    ek ? ? bk ? ? ?e si k ? n ? 1 ?0 si k ? n ? 1 (2.1) ? ? (2.2) ? ?
    (2.3) 9 En efecto, si ? ? ?ak ?k?N es un elemento cualquiera de
    A(S), entonces e * ?? ? ?bk ?k?N , donde bk ? ? u? a? ? ak ? ? ?
    ?k , cualquiera que sea k ? N y así e * ?? ? ? . En los
    siguientes supondremos que el anillo A posee un elemento neutro e
    y sea E ? ?ek ?k?N , donde Lema 2.1: S ? ? ?ak ?k?N ?0 si k ? 1
    ?e si k ? 1 ? A(S ) y ? ? ?bk ?k?N ? ? ? E , entonces ? 0 si k ?
    0 ?ak ?1 si k ? 0 En efecto, , y si k ? 1, entonces bk ? b0 ? ?
    a? e? ? a0 e0 ? 0 ? ? ? ?k ? a? e? ? ak e0 ? ak ?1e1 ? ? ? a0 ek
    ? ? ? ?k Luego, puesto que e0 ? 0 , e1 ? e y ei ? 0 para i ? 1 ,
    resulta que bk ? ak ?1 . Teorema 2.3: Si E 0 ? ?e,0,0, ?? y E1 ?
    ?0, e,0,0, ?? , entonces E n ? ?ak ,n ?k?N n ? 1 y ak ,n ? ?
    Demostración: En efecto, E 2 ? E ? E ? ?ak , 2 ?k?N , ,
    donde según el lema 2.1, a2, 2 ? e y para k ? 2 tenemos ak
    , 2 ? 0 . Así, la igualdad (2.1) se verifica para n ? 2 .
    Suponiendo que el teorema se verifica para n, demostraremos que
    será verdadera también para n+1. En efecto, E n?1 ?
    E n ? E ? ?ak ,n ?k?N ? E Según el lema 2.1, an ? 2,n ?1 ?
    an ?1,n ? e . Si k ? n ? 2 , entonces k ? 1 ? n ? 1 y ak ,n?1 ?
    ak ?1,n ? 0. Así la relación (2.1) es verdadera
    también cuando n se sustituye por n ? 1 ; por tanto el
    teorema queda demostrado. Observación 2.1: Cualquiera que
    sea n, E n ? ? 0,0,…,0, e,0,0,?? ? n?ceros ? Lema 2.2: Si ? ?
    ?a,0,0, ?? , entonces E n ? ? 0,0,…,0, a,0,0,?? ? n?ceros ? En
    efecto, sea ? ? ?ak ?k?N , donde a0 ? a y ak ? 0 para k ? 0 .
    Entonces, ? ? E ? ?bk ?k?N , , donde bk ? ? a? a? , n ? a0 ak , n
    ? a1ak ?1, n ? ? ? ak a0 , n ? a ak , n ? ? ? ?k , puesto que ak
    ? 0 para k ? 0 . Así, según el teorema 2.1.9, bn?1
    ? a y bk ? 0 para k ? n ? 1. Teorema 2.4: Si ? ? ?ai ?i?N ? A(S )
    , entonces existirá n ? N tal que

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    (2.5) ? a ? bi 10 ? ? ?a0 ,0, ?? ? ?a1 ,0, ?? ? E ? ? ? ?an ,0,
    ?? ? E n (2.4) y si ? ? ?0,0, ?? , esta escritura de ? es
    única . En efecto, si ? ? ?0,0, ?? , entonces la
    relación (2.2.4) se verifica o bien para n ? 0 y a0 ? 0 ,
    o bien para n cualquiera y a0 ? a1 ? ? ? an ? 0 . En el caso
    contrario, teniendo en cuenta que ak ? 0 solamente para un
    número finito de valores de k, existirá n ? N tal
    que an ? 0 y ? ? ?a0 , a1 , ? , an ,0,0, ?? ? ?a0 ,0, ?? ? ?0, a1
    ,0, ?? ? ? ? ?0,0, ? , an ,0, ?? Así, según el lema
    2.2.2, a tendrá la forma siguiente: ? ? ?a0 ,0, ?? ? ?a1
    ,0, ?? ? E ? ? ? ?an ,0, ?? ? E n Si para ? ? ?0,0, ??
    tendríamos también ? ? ?b0 ,0, ?? ? ?b1 ,0, ??? E ?
    ? ? ?bn ,0, ??? E n , entonces resultaría que ? ? ?b0 ,0,
    ?? ? ?0, b1 ,0, ?? ? ? ? ?0,0, ? , bn ,0, ?? ? ?b0 , b1 , ? , bn
    ,0, ?? (2.6) , y la comparación entre (2.5) y (2.6)
    daría que m ? n y ak ? bk ?k ? 1,2, ? , n? . Sea ahora A?X
    ? el conjunto de todas las expresiones de la forma: a0 ? a1 X ? ?
    ? an X n (2.7) , donde ak ? A , n ? N y an ? 0 ? a0 ? a1 ? ? ?
    an?1 ? 0 Se dice que la expresión (2.7) es un polinomio en
    la indeterminada X y con los coeficientes ak , pertenecientes al
    anillo A. Si an ? 0 , se dice que el polinomio es de grado n.
    Cuando todos los coeficientes son nulos se trata del polinomio
    nulo, notado con ? ( X ) ó 0, cuyo grado es indeterminado.
    Definición 2.1: Dos polinomios son iguales si los dos son
    nulos, ó bien si tienen el mismo grado y los coeficientes
    correspondientes a las mismas potencias de X son iguales. Si P( X
    ) ? a0 ? a1 X ? ? ? an X n (2.8) Q( X ) ? b0 ? b1 X ? ? ? bm X m
    (2.9) , son dos polinomios de grado n y m, respectivamente ?n ?
    m? , entonces en A?X ? se puede definir una adición y una
    multiplicación de la manera siguiente: P( X ) ? Q( X ) ?
    c0 ? c1 X ? ? ? cm X m P( X ) ? Q( X ) ? d0 ? d1 X ? ? ? d p X p
    , donde p ? mn , ci ? ? i ?bi si i ? n si i ? n y d i ? ?a j bk j
    ?k ?i Sea ahora f : A(S ) ? A[ X ] (2.10) , la aplicación
    definida por: f (? ) ? a0 ? a1 X ? ? ? an X n , donde ? ? ?a0 ,0,
    ?? ? ?a1 ,0, ?? ? E ? ? ? ?an ,0, ?? ? E n Evidentemente, f es
    suprayectiva y, para demostrar que f es inyectiva, sea ? ? ?b0
    ,0, ?? ? ?b1 ,0, ??? E ? ? ? ?bm ,0, ??? E m , tal que f (? ) ? f
    (? ) (2.11) Si f (? ) y f (? ) son nulos, según la
    definición 2.2.1, a0 ? a1 ? ? an ? b0 ? b1 ? ? bm ?
    0

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    , y así 11 , así ? ? ? . Si f (? ) y f (? ) no son
    nulos, entonces según la definición (2.1), n ? m y
    ak ? bk , cualquiera que sea k ? ?1,2, ? n?. Por tanto ? ? ? .
    Así pues, f (? ) ? f (? ) ? ? ? ? , y por consiguiente, f
    es inyectiva. Al ser f inyectiva y suprayectiva a la vez, resulta
    que f es biyectiva. Por otra parte, si ? ? ?a0 , a1 , ? , an ,0,
    ?? y ? ? ?b0 , b1 , ? , bm ,0, ?? , donde n ? m , entonces f (? )
    ? P( X ) y f (? ) ? Q( X ) , donde P?X ? y Q?X ? son los
    polinomios definidos en (2.2.8) y (2.2.9), respectivamente.
    Puesto que f (? ) ? f (? ) ? P( X ) ? Q( X ) ? f (? ? ? ) f (? )
    ? (? ) ? P( X ) ? Q( X ) ? f ?? ? ? ? , , según el teorema
    1.10 A?X ? es un anillo y f es un isomorfismo entre los anillos
    A?S ? y A?X ?. Observación 2.1: Los anillos A?X ? y A?Y ?
    son isomorfos puesto que los dos son isomorfos con el anillo A?S
    ?. Definición 2.2: Un polinomio M ?X ? se llama monomio si
    M ?X ? ? a ó M ?X ? ? aX n , donde a ? A y n ? N ? ?0?.
    Los monomios aX n y bX m son semejantes si y solamente si n ? m .
    Obviamente, ?aX n ? ? ?bX m ? ? abX n?m y aX n ? bX n ? (a ? b) X
    n Observación 2.2: Cualquier polinomio, que no es un
    monomio, es una suma de monomios. Teniendo en cuenta que la
    multiplicación es distributiva respecto a la
    adición en el anillo A?X ?, resulta que el producto de dos
    polinomios se puede calcular sumando a todos los monomios,
    obtenidos multiplicando todos los monomios del primer polinomio
    con todos los monomios del segundo polinomio. Observación
    2.3: Conviene saber que la suma de dos polinomios de grado n
    podría no ser un polinomio de grado n. Por ejemplo, si n ?
    3 , P?X ? ? 2 ? 3X ? 5 X 2 ? 2 X 3 y Q?X ? ? ?5 ? 2 X 3 ,
    entonces P?X ? ? Q?X ? ? ?3 ? 3X ? 5 X 2 , que es un polinomio de
    grado 2. En general, grado ?P( X ) ? Q( X )? ? max ?grado ?P( X
    )?, grado ?Q( X )?? , , donde la igualdad tiene lugar cuando los
    polinomios son de grados distintos, o bien si son de mismo grado
    y la suma de los coeficientes de los monomios de más alto
    grado no es cero. Observación 2.4: Si A es un anillo
    íntegro, grado ?P( X ) ? Q( X )? ? grado ?P( X )? ? grado
    ?Q( X )? . En efecto, an ? 0 y bm ? 0 ? an bm ? 0 grado ?P( X ) ?
    Q( X )? ? n ? m ? grado ?P( X )? ? grado ?Q)( X )? . Teorema 2.5:
    Si A es un anillo íntegro, entonces A?X ? es
    también un anillo íntegro. Demostración: Si
    ? ?X ? es el polinomio nulo, hay que demostrar que P( X ) ? ? ( X
    ) y Q( X ) ? ? ( X ) ? P( X ) ? Q( X ) ? ? ( X ) Puesto que P?X ?
    y Q?X ? no son polinomios nulos, se puede suponer que P( X ) ? a0
    ? a1 X ? ? ? an X n y Q( X ) ? b0 ? b1 X ? ? ? bm X m

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    12 , donde an ? 0 y bm ? 0 . Dado que P( X ).Q( X ) ? c0 ? c1 X ?
    ? ? cn? m X n? m , , donde cn?m ? an bm ? 0 , resulta que P( X )
    ? Q( X ) ? ? ( X ) . Observación 2.5: Puesto que Z, Q, R,
    C son anillos íntegros, resulta que Z ?X ?, Q?X ? R?X ? y
    C ?X ? son también anillos íntegros.
    Observación 2.6: Trabajando con ordenadores, los
    coeficientes del polinomio P( X ) ? a 0 ? a1 X ? ? ? a n X n ? a
    n X n ? a n ?1 X n ?1 ? ? ? a1 X ? a 0 , se introducen siempre en
    una matriz unidimensional (designado, por ejemplo, con A ) de
    dimensión n , de la maera siguiente: A?0? ? an , A?1? ?
    an?1 , ? , A?n ?1? ? a1 , A?n? ? a0 Utilizando en un ordenador el
    Lenguaje Visual-Basic, las operaciones con polinomios se pueden
    realizar mediante las funciones siguientes: Public Function
    MultPol(ByRef p1() As Double, ByRef p2() As Double) As Variant
    Dim i As Integer, j As Integer, g1 As Integer, g2 As Integer, p
    () As Double g1 = Ubound (p1()):g2 = Ubound(p2()) ReDim p(g1 +
    g2) For i = 0 To g1 If p1(i) <> 0 Then For j = 0 To g2 If
    p2(j) <> 0 Then p(i + j) = p(i + j) + p1(i) * p2(j) End If
    Next j End If Next i MultPol = p() End Function
    ‘———————————————————————————————————-
    Public Function SumPol(ByRef p1() As Double, ByRef p2() As
    Double) As Variant Dim gg As Integer, g1 As Integer, g2 As
    Integer, gp As Integer, gr As Integer Dim pt() As Double, r() As
    Double g1 = UBound(p1()): g2 = UBound(p2()) If g1 >= g2 Then
    gp = g1 Else gp = g2 ReDim pt(gp) gg = Abs(gp – g1) For i = 0 To
    g1 pt(i + gg) = p1(i) Next i gg = Abs(gp – g2) For i = 0 To g2
    pt(i + gg) = pt(i + gg) + p2(i) Next i 'Grado de la suma For i =
    0 To gp If pt(i) <> 0 Then Exit For Next i If i <= gp
    Then gr = gp – i ReDim r(gr) For j = 0 To gr r(j) = pt(i + j)
    Next j Else gr = -1 cxp = "Polinomio nulo" End If SumPol = r()
    End Function
    ‘——————————————————————————————————–
    Public Function RestPol(ByRef p1() As Double, ByRef p2() As
    Double) As Variant Dim gg As Integer, g1 As Integer, g2 As
    Integer, gp As Integer, gr As Integer Dim pt() As Double, r() As
    Double g1 = UBound(p1()): g2 = UBound(p2())

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    13 If g1 >= g2 Then gp = g1 Else gp = g2 ReDim pt(gp) gg =
    Abs(gp – g1) For i = 0 To g1 pt(i + gg) = p1(i) Next i gg =
    Abs(gp – g2) 'Grado de la diferencia For i = 0 To gp If pt(i)
    <> 0 Then Exit For Next i If i <= gp Then gr = gp – i
    ReDim r(gr) For j = 0 To gr r(j) = pt(i + j) Next j Else gr = 0
    ReDim r(0) r(0) = 0 cxp = "Polinomio nulo" End If RestPol = r()
    End Function
    ‘———————————————————————————————————-
    Public Function MultPolNum(ByVal r As Double, ByRef x() As
    Double) As Variant Dim m() As Double, i As Integer, g As Integer
    g = UBound(x()) ReDim m(g) For i = 0 To g m(i) = r * x(i) Next i
    MultPolNum = m() End Function
    ‘————————————————————————————————————————————
    Public FunctionTransfOpPol(ByVal cf As Double, ByRef x() As
    Double, ByVal ex As Integer) As Variant Dim i As Integer, j As
    Integer, g3 As Integer Dim x1() As Double, x2() As Double, p() As
    Double If ex > 1 Then x1() = x(): x2() = x() For j = 1 To ex –
    1 x1() = ProductoPol(x1(), x2()) Next j p() = ProductoNumPol(cf,
    x1()) Else If ex = 0 Then gp = 0 ReDim p(0) p(0) = cf Else p() =
    ProductoNumPol(cf, x()) End If End If TransfOpPol = p() End
    Function
    ‘——————————————————————————————————————
    Public Function FormatoPol(ByRef x() As Double) As String Dim i
    As Integer, j As Integer, cd As String, cm As String gx =
    UBound(x()) For i = 0 To gx If x(i) <> 0 Then If i = 0 Then
    If Abs(x(0)) <> 1 Then cm = FormatoNumero(x(0)) Else If gx
    <> 0 Then If x(0) = -1 Then cm = "-" End If Else If x(0) =
    -1 Then

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    n 3 l 4 4 l l 14 cm = Str$(-1) Else cm = Mid$(Str$(1), 2) End If
    End If End If If gx <> 0 Then If gx = 1 Then cm = cm + " X"
    Else cm = cm + " X^" + Mid$(Str$(gx), 2) End If End If Else If
    x(i) > 0 Then cd = " + " Else cd = " – " End If If Abs(x(i))
    <> 1 Or i = gx Then cd = cd +
    FormatoNumero(Val(Mid$(Str$(x(i)), 2))) End If If gx > 1 Then
    If i < gx – 1 Then cd = cd + " X^" cd = cd + Mid$(Str$(gx –
    i), 2) Else If i = gx – 1 Then cd = cd + " X" End If End If End
    If cm = cm + cd: cd = "" End If End If Next i FormatoPol = cm End
    Function La función CalculoOperando evalúa una
    expresión de la forma r ? ?P?X ?? . Si n ? 1 y r ? 1
    entonces se trata solamente de la multiplicación del
    polinomio con un número. Si r ? 1 y n ? 1 se trata de la
    potencia de un polinomio. Finalmente, en el caso general r ? 1 y
    n ? 1 se calcula la potencia del polinomio y el resultado se
    multiplica por el número. Ejemplo 2.1: Utilizando la
    función TransfOpPo se obtiene el desarrollo del operando
    Q( X ) ? 7 ? ?2 X 3 ? 5 X 2 ? 3X ? 4? , que es la siguiente: 56 X
    9 ? 420X 8 ? 1302X 7 ? 2471X 6 ? 3633X 5 ? 4053X 4 ? 3381X 3 ?
    2436X 2 ? 1008X ? 448 Ejemplo 2.3: Utilizando la función
    TransfOpPo se obtiene el desarrollo del operando S ( x) ? ?5x 2 ?
    3x ? 2? ? 1? ?5x 2 ? 3x ? 2? , que es la siguiente: R ( x ) ?
    625x 12 ? 1500x 10 ? 1000x 9 ? 1350x 8 ? 1800x 7 ? 60 x 6 ? 1080x
    5 ? 639x 4 ? 56 x 3 ? 216x 2 ? 96 x ? 16 El desarrollo de los
    operandos de los ejemplos anteriores podría ser
    útil, por ejemplo, para hallar las funciones primitivas de
    las funciones x ? Q(x) ó x ? S (x) . Si se quiere escribir
    un programa para operar con polinomios, la introducción de
    los datos desde el teclado es mejor hacerlo en forma de
    operandos, aunque para esto hay que introducir coeficientes y
    exponentes iguales a 1. Después de introducir los
    operandos, estos se transforman en polinomios con la
    función TransfOpPo y luego las operaciones se hacen con
    las funciones para operar con polinomios.

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    ?1 15 §.3. Divisibilidad en un semigrupo conmutativo con
    elemento neutro , y con la regla de simplificación.
    Definición 3.1: En el semigrupo ?G, .? es válida la
    regla de simplificación si a .b ? a . c ? a ? c ,
    cualesquiera que sean a, b, c ? G . Definición 3.2: a ? G
    es un divisor de b ? G ( b es un múltiplo de a ) si existe
    c ? G tal que b ? a . c . Observación 4.1: Los divisores
    del elemento neutro e del semigrupo G son los elementos
    invertibles de este semigrupo. Observación 3.2: Un
    elemento invertible ? (en particular el elemento neutro e ) es
    divisor de cualquier elemento a del semigrupo G. En efecto, a ? ?
    . ?? ?1 . a?. Observación 3.3: Cualquier elemento a del
    semigrupo G es divisor (múltiplo) de si mismo puesto que a
    ? a.e . Sean D y M las relaciones definidas en el semigrupo G por
    bDa ? b es divisiblecon a ? a es divisor de b bMa ? b es
    múltiplo de a Obviamente, D ?1 ? M y, según la
    observación 2.4.3, D es reflexiva. Es también
    transitiva. En efecto, si cDb y bDa entonces existirán q y
    q' tales que b ? a . q y c ? b. q ' , de donde resulta que c ? a
    . ?q. q'? , y así cDa . Definición 3.3: Los
    elementos a y b del semigrupo G están asociados si a ? b .
    q y q es un elemento invertible. La relación de
    asociación es una relación reflexiva,
    simétrica y transitiva y, por tanto, una relación
    de equivalencia. En efecto, a ? a . e y e?1 ? e a ? b . q y ?q ?1
    ? b ? a . q ?1 a ? b . q , b ? c . r y ?q ?1 , r ?1 ? a ? c . ?r
    . q ? y ?r . q ? ? q ?1 . r ?1 Teorema 3.1: Si bDa y aDb entonces
    los elementos a y b están asociados. En efecto, de bDa y
    aDb resulta que b ? a . q y a ? b .q ' . Así, a . e ? a ?
    b . q ' ? ?a . q ?. q ' ? a . ?q . q '? , de donde, aplicando la
    regla de simplificación, resulta que e ? q . q ' ? q y q '
    son inversible . Por tanto, a y b están asociados. Teorema
    3.2: Si a y b están asociados entonces bDa y aDb . En
    efecto, existe un elemento invertible q tal que b ? a . q ? a ? b
    . q ?1 Observación 3.4: Si en el semigrupo G el
    único elemento invertible es el elemento neutro, entonces
    la relación D (M) será anti-simétrica y
    así será una relación de orden parcial en G.
    Observación 3.5: Si a y b son dos elementos asociados y a
    es un divisor de c, entonces b es también un divisor de c.
    En efecto, c ? a . q ? ?b .u ?. q ? b . ?u . q ? donde u es un
    elemento invertible. Definición 3.4: c ? G es un divisor
    común de a ? G y b ? G si c es tanto un divisor de a como
    de b . Definición 3.5: d ? G es un máximo
    común divisor de a ? G y b ? G si d es un divisor
    común de estos elementos y cualquier otro divisor
    común d ' de a y b es un divisor de d . De costumbre, un
    máximo común divisor de los elementos a y b se nota
    con ?a , b ? . Definición 3.6: c ? G es un múltiplo
    común de a, b ? G si tanto a como b son divisores de
    c.

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    ' 16 Definición 3.7: c ? G es un mínimo
    común múltiplo de a, b ? G si m es un
    múltiplo común de estos elementos y cualquier otro
    múltiplo común de a y b es un divisor de m. Un
    mínimo común múltiplo de a y b se nota con
    ?a, b?. Teorema 3.3: Si tanto d como d 1 es un máximo
    común divisor de a y b , entonces d y d 1 están
    asociados. En efecto, d1 Dd y dDd 1 y así, según el
    teorema 2.4.2, d y d1 están asociados. Teorema 3.4: Si d
    es un máximo común divisor de a y b , y d 1
    está asociado con d , entonces d 1 es también un
    máximo común divisor de a y b .
    Demostración: Puesto que d y d 1 están asociados,
    existirá un elemento invertible q tal que d ? d1 . q .
    Entonces a ? d . c1 ? ?d1.q?. c1 ? d1.?q .c1 ? ? d1.c1' b ? d .c2
    ? ?d1 . q?.c2 ? d1 .?q .c2 ? ? d1 .c2 y por tanto, d 1 es un
    divisor común de a y b . Si d 0 es un otro divisor
    común de a y b , entonces d ? d 0 .q0 puesto que d es un
    máximo común divisor de a y b . Así d1 ? d .
    q ?1 ? ?d 0 . q0 ?. q ?1 ? d 0 . ?q0 . q ?1 ? , y así d 0
    es un divisor de d 1 . Por tanto, d 1 es un máximo
    común divisor de a y b . Teorema 3.5: Si tanto m como m1
    es un mínimo común múltiplo de a y b
    entonces m y m1 están asociados. Teorema 3.6: Si m es un
    mínimo común múltiplo de a y b y m1
    está asociado con m , entonces m1 es también un
    mínimo común múltiplo de a y b . Las
    demostraciones de los dos últimos teoremas son
    análogas a la demostración del teorema 2.4.4.
    Observación 3.6: En un semigrupo conmutativo con elemento
    neutro y donde es válida la regla de
    simplificación, no es seguro la existencia del
    máximo común divisor o del mínimo
    común múltiplo de dos elementos, pero si existen,
    son determinados hasta un factor invertible. En el semigrupo de
    los números naturales no nulos no existe otro elemento
    invertible que el elemento neutro 1 y, por tanto, el
    máximo común divisor y el mínimo
    común múltiplo son únicos. Definición
    3.8: Los elementos a, b ? G son primos entre sí, si su
    máximo común divisor está asociado con el
    elemento neutro e , es decir, si es un elemento invertible.
    Teorema 3.7: Si d es un máximo común divisor de a y
    b , a ? d .a ' y b ? d .b ' , entonces a ' y b ' son primos entre
    sí. Demostración: Si c es un máximo
    común divisor de a ' y b ' , entonces a ? d . a ' ? d . ?c
    . a1 ? ? ?d . c ?. a1 b ? d .b ' ? d . ?c .b1 ? ? ?d . c ?.b1 , y
    así, d . c es un divisor común de a y b . Al ser d
    un máximo común divisor de estos elementos, d ? ?d
    . c ?. q ? d . e ? d .?c . q ? . Según la regla de
    simplificación, de aquí resulta c . q ? e y
    así, c es un elemento invertible (asociado con e ).
    Teorema 3.8: Si a, b, t ? G , d ? ?a , b? y existe un
    máximo común divisor de t . a y t . b , entonces d
    .t es un máximo común divisor de t . a y t . b .
    Demostración: Si d ' es un máximo común
    divisor de t . a y t . b , entonces teniendo en cuenta las
    igualdades siguientes, t . a ? t . ?d . a '? ? ?t . d ?. a ' t .b
    ? t . ?d .b '? ? ?t . d ?.b ' (3.1) (3.2) , resulta que t . d es
    un divisor común de t . a y t . b y así,
    será un divisor también de d ' . Por tanto, d '? t
    . d . q y dado que d ' es un máximo común divisor
    de t . a y t . b , t . a ? d '. q1 ? t . d . q . q1 t .b ? d '.
    q2 ? t . d . q . q2 (3.3) (3.4)

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    (3.5) (3.6) ? ? 1 17 Combinando (3.3) con (3.1) y (3.4) con
    (3.2), resulta que ?t . d ?a ' ? ?t . d ?. ?q . q1 ? ?t . d ?.b '
    ? ?t . d ?. ?q . q2 ? , de donde, utilizando la regla de la
    simplificación, resulta que a ' ? q . q1 y b ' ? q . q 2 .
    Por tanto, q es un divisor común de a ' y b ' , primos
    entre sí según el teorema 3.7. Así q es un
    divisor de un elemento invertible y por tanto q mismo es un
    elemento invertible. Así, según el teorema 3.4, t .
    d será un máximo común divisor de t . a y t
    . b . Teorema 3.9: Si dos elementos cualesquiera del semigrupo G
    tienen máximo común divisor, entonces existe
    también el mínimo común múltiplo de
    dos elementos cualesquiera y ?a , b?.?a , b? está asociado
    con el producto a.b . Demostración: Si d ? ?a , b? , a ? d
    .a ' , b ? d .b ' y t ? d . a '.b ' es obvio que t es un
    múltiplo común de a y b . Sea ahora t ' un
    múltiplo común cualquiera de a y b . Entonces, t '
    ? a . q1 ? d . a '.q1 t ' ? b . q2 ? d .b '.q2 , de donde resulta
    que b '. t ' ? d . a '.b '.q1 ? t . q1 a '. t ' ? d . a '.b '.q2
    ? t . q2 , y así t es un divisor común de a '. t y
    b '. t . Por tanto, t es un divisor del máximo
    común divisor de a '.t y b '.t . Teniendo en cuenta los
    teoremas 3.7 y 3.8, un máximo común divisor de a '.
    t y b '. t debe tener la forma ?a ' , b '?.t ' ? u .t ' , donde u
    es un elemento invertible. Así pues, t es un divisor de t
    '.u y así, existirá s ? G tal que t '.u ? t . s ? t
    ' ? t . s .u ?1 así, t es un divisor de t ' y por tanto, t
    es un mínimo común múltiplo de a y b .
    Observación 3.7: Si en el semigrupo G el elemento neutro
    es el único elemento invertible y existe el máximo
    común divisor de dos elementos cualesquiera, entonces ?a ,
    b ? y ?a , b? son únicas y ?a , b?.?a , b? ? a .b (3.7) ,
    cualesquiera que sean a, b ? G . Teorema 3.10: Si los elementos a
    y b están asociados con los elementos a ' y b ' ,
    respectivamente, y d ?d '? es un máximo común
    divisor de a y b (de a ' y b ' ), entonces d y d ' están
    asociados. Demostración: Si a ' está asociado con a
    y b ' con b , entonces a ' ? a .u y b ' ? b .u 2 , donde u1 y u 2
    son dos elementos invertibles. Puesto que d ' es un máximo
    común divisor de a ' y b ' , a ' ? d '. q1 y b ' ? d '. q2
    , es decir, a .u1 ? d '. q1 y b .u 2 ? d ..q2 Así, a ? d
    '.?q1 .u ?1 ? y b ? d '.?q2 .u2 1 , y por tanto, d ' es un
    divisor común de a y b . Puesto que d es un máximo
    común divisor de a y b , d ' es un divisor de d . Por otra
    parte, d es un máximo común divisor de a y b y
    así a ? d . r1 y b ? d . r2 , de donde resulta que a ' ? a
    .u1 ? d . ?r1 .u1 ? y b ' ? b .u 2 ? d . ?r2 .u 2 ? De esta
    manera, d es un divisor común de a ' y b ' y puesto que d
    ' es un máximo común divisor

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