Introducción al cálculo aplicando la definición de límites y derivadas en las funciones reales

RESUMEN

El cálculo, son todas aquellas operaciones en su
mayoría matemáticas que nos permite llegar a una
solución partiendo solamente de algunos datos; por ende
tiene muchas herramientas fundamentales que permite la
resolución del mismo. Límites y derivadas son ejes
fundamentales para lograr una introducción al
cálculo, temas que brindan un conocimiento profundo de las
funciones con sus respectivos gráficos; siendo así,
la derivación es indispensable porque con ello podemos
llegar a tener resultados efectivos en las aplicaciones, una de
ellas la variación de velocidades en una trayectoria
circular. Los límites de una función son los puntos
críticos que se nos presentan al obtener cocientes por
ceros que prácticamente forman parte de elementos
indefinidos. Cuyos puntos se las demuestran con teorías
planteadas como: el teorema del sándwich; reconociendo los
diferentes casos de límites se nos hace más
fácil el problema. Las funciones reales son todas aquellas
relaciones entre conjuntos de valores tales que uno depende de
otro, de esta manera permite también enlazar en el
análisis de los límites y derivadas que son temas
exclusivamente de este trabajo.

El cálculo es una ciencia inventada por Newton
entre los años 1670 con el término fluxiones y fue
publicada en 1678 con el nombre (PhilosophiaeNaturalis Principia
Mathematica).

INTRODUCCIÓN

Con todas las metas planteadas para mi porvenir, siendo
uno de los temas muy necesarios para obtener la profesión
a la cual aspiro, me ha llevado a elegir este tema; sin olvidar
que también ayudaría a los estudiantes del
último año de bachillerato en cuanto a esta
materia, para poder entender con facilidad en los primeros pasos
de la universidad. Una de las razones también ha sido el
amor que tengo por los números, a pesar de tener muchos
vacíos, deseo seguir aprendiendo sobre muchos temas
novedosos. De esta manera presento esta investigación
resumida de algunas fuentes diferentes.

Dentro del marco investigativo para la
introducción al cálculo con límites,
teoremas de límites y derivadas, trataremos lo posible por
comprender como se gráfica una función real,
demostración de límite, la derivación de
funciones reales y sus aplicaciones. En el marco teórico
tratamos los conceptos generales que se mencionan en los
objetivos; general y específicos, ya que hay muchos
términos importantes para lograr una debida
comprensión. Prácticamente muchos conceptos no son
amplios pero juegan un papel importante para comprender
qué es una derivación; limites…

Después de cada concepto presentamos un ejemplo
de aplicación, de esta manera demostramos la importancia
de especificar el interés de la investigación. En
dicha especificación mostramos adjunto algunas
imágenes necesarias como es el caso de las gráficas
de las funciones reales, tipo de funciones, etc. En el
capítulo II se menciona específicamente sobre los
temas necesarios para comprender sobre límites en
distintas funciones que se pueden encontrar que justamente se
encuentra en el capítulo posterior. En el capítulo
V presentamos ejercicios resueltos de algunos casos de
derivación, de esta manera finalizando con las
aplicaciones de las derivadas dentro del
cálculo.

¿CÓMO APLICAMOS LA DEFINICIÓN DE
LÍMITES Y DERIVADAS EN LAS FUNCIONES REALES?

METODOLOGÍA DE
INVESTIGACIÓN:

· MÉTODO
CUANTITATIVO

o MÉTODO DESCRIPTIVO

· MÉTODO
CIENTÍFICO

o MÉTODO INDUCTIVO

OBJETIVO GENERAL

APLICAR LA DEFINICION DE LÍMITES Y
DERIVADAS EN LAS FUNCIONES REALES

OBJETIVOS
ESPECÍFICOS

· COMPRENDER COMO SE GRAFICA UNA
FUNCION REAL.

· INTERPRETAR LOS TEOREMAS DE LOS
LÍMITES Y DERIVADAS EN LAS FUNCIONES REALES.

· ANALIZAR TEOREMAS DE LOS
LÍMITES (TEOREMA DEL SANDWICH…)

· CONOCER LAS FÓRMULAS
BÁSICAS PARA LA DERIVACIÓN.

HIPÓTESIS

El tema educativo de tercer año de bachillerato,
demanda en todos los estudiantes con preferencia en las
asignaturas como: matemática y física, nutran de
una comprensión básica sobre el cálculo,
para relacionarse con algunos conceptos importantes; siendo
necesario desarrollar una destreza en funciones reales
principalmente. Tomando en cuenta la importancia de comprender
sobre todo los términos básicos para desarrollar un
adelanto importante en los estudiantes en la introducción
al cálculo.

La visión de todos los estudiantes de 3er
año de BGU debe ser lo suficientemente claro para poder
seguir un mismo patrón en los temas de preferencia. La
elección de todos los temas puede variar de acuerdo a su
preferencia y este trabajo está orientado a ser de gran
apoyo en la toma de decisiones de algunos estudiantes
según sea su afinidad con los números .En las
asignaturas preferidas, naturalmente y sin esperar, nace el deseo
investigativo y aún más cuando es acorde a la
carrera escogida por seguir.

El poder dominar los requisitos básicos para
afiliarse en el tema amplio que es el cálculo,
brindaría muchos beneficios a los estudiantes, tales como:
graficar una función real, conocer los limites en las
funciones reales, proceso de derivación de una
función… los cuales permitirán la facilidad
de llegar al cálculo diferencial e integral que son
propósitos en los primeros periodos de la
universidad.

MARCO
REFERENCIAL

CAPÍTULO I

1.0 DEFINICIÓN DE UNA
FUNCIÓN REAL:

Una función real contiene a todos los elementos
tanto del dominio como del codominio dentro de los números
reales (R). Por ejemplo, "el salario de una persona puede
depender del número de horas que trabaje" Podemos
representar de la siguiente manera:

f(x)= X+ n esta representación es muy
sencilla.

El valor de x puede ser todos los elementos del
conjunto (R) y de la misma manera n también;
por lo tanto, el resultado que se obtenga al remplazar a x
por una cantidad será y que depende y así
podemos entender que y depende de x.

2.0 TIPOS DE FUNCIONES
REALES.- tenemos muchos tipos de funciones reales,
por lo tanto, es indispensable lograr entender todos los
conceptos.

3.0 FUNCIONES POLINOMIALES.-

· 3.1 FUNCIONES LINEALES.- representamos:
f(x)= mx+b donde, para cada valor de x hay un solo
valor correspondiente f(x) y (m es la pendiente,
b la abscisa).

· 3.2 FUNCIONES CONSTANTES.- f(x)=
k es un solo valor correspondiente para todos los valores
de x siendo así, k la constante; en la
gráfica se muestra una línea perpendicular al eje
de las yy paralelas al eje de las x.

· 3.3 FUNCIONES CUADRÁTICAS.- se
conoce también como funciones de segundo grado, que es de
la forma f(x)= ax+bx+c donde, a,b, y c son
números reales. Remplazando los valores, la gráfica
es una parábola.

· 3.4 FUNCIONES
POLINÓMICAS.- f(x)=
anxn+an-1xn-1+…+a
donde
an,an-1,…,a son
constantes reales.

en este ejemplo se puede apreciar la
gráfica de y=x3-6×2-9x

FUNCIONES ESPECIALES

· 3.5 FUNCIONES DE VALORES ABSOLUTOS.- las
funciones se las representa como: f(x)=IxI. De esta
manera, si remplazamos con valores a x, la gráfica
será un parábola en forma de V.

3.6 FUNCIONES DE RAÍCES
CUADRADAS.–

es de la forma f(x) = √x donde el dominio
de las funciones son los valores de x cumpliendo con la
condición de que el radicando sea positivo. El rango es
mayor o igual a cero (≥) y la gráfica es una curva.

· 3.7 FUNCIONES
RACIONALES.-

son funciones de la forma "f(x) = p(x)/q(x) donde p(x) y
q(x) son polinomios y q(x)?0. La función racional no
está definida para valores de x en el cual q(x) se hace
diferente de cero, este valor al representarlo
gráficamente es una asíntota. La grafica que se
obtiene son curvas interrumpidas por la
asíntota"

FUNCIONES TRASCENDENTALES

· 3.8 FUNCIONES EXPONENCIALES.- "Es una
función de la forma f(x) = ax, donde a>o y a?1 .cuyo
dominio son los números reales y el rango son los reales
mayores que cero. La grafica que se obtiene es una
curva

ascendente si a>1 y
descendente

si o< a < 1 "

· 3.9 FUNCIONES
LOGARÍTMICAS.- "Es una función inversa a la
función exponencial".

f(x) = logax, donde a>0 y a?1. La
grafica que se obtiene es una curva simétrica a la
función exponencial

· 3.10 FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS.-"Las funciones trigonométricas
surgen de estudiar el triángulo rectángulo y
observar que las razones entre las longitudes de dos lados
cualesquiera dependen del valor de los ángulos del
triángulo."

o los principales son:

f(x) = sen x

f(x) = cos x

f(x) = tan x

Recuperado de
http://matematicas-funcionesreales.blogspot.com/p/clases-de-funciones.html

4.0 LÍMITE.- "E l lím ite d e la fu
n c ió n f( x) e n e l p u n to x0 , e s e l v a lo r a l
q u e s e a c e rc a n la s im á ge ne s (la s y) c u a nd
o lo s o rig in a le s ( la s x) s e a c e rc an a l v a lo r x0
." R e c u p e r a d o d e h t t p : / / w w w .v it u t o r
. c o m / f u n / 3 /a _ 1 . h tm l

V am os a e s tu d ia r e l lím ite
d e la fu n c ió n f(x) = x 2
e n e l p u n to x 0 = 2
.

P o dem os a c e rca ro s po r la d e re ch
a ta n to p o r la izq u ie rd a

S e p ue de a na liza r d e e s ta m a ne ra c om o en e
l c a s o d e l te o rem a d e l s á nd wic h , q u e n o
s p e rm ite v e r e l a c e rc am ie n to a l v a lo r re q u e
rid o tan to p o r la d e re c h a c om o p o r la izq u ie rd a
.

Entonces, podemos definir en este ejercicio que f (
x) t ie n e c o m o l í m it e e l n ú me r o L , c
u a n d o x t ie n d e a x0 , s i f ij a d o u n n úm e r
o r e a l p o s it iv o e , m a y o r qu e c e ro , e x is t e u
n n u m e r o p o s it iv o d d e p e n d ie n t e d e e , t a l
qu e , p a r a t o do s l o s v a l o r e s de x d is t in t o s
de x0 qu e c u m p l e n l a c on d ic ió n | x – x0 |
< d , s e c u m p l e qu e | f ( x) – L | < e
.

Hay una definición de límite.-
Límite de una función es la variación de
valores obtenidos como resultado cuando se aproxima a un valor
establecido.

5.0 TEOREMA.- teorema es un sistema
desarrollado con fin de afirmar o proponer algo.

5.1 EL TEOREMA DEL
EMPAREDADO por ejemplo, es un mecanismo de
demostración muy utilizado y se expresa como: si dos
funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier
otra función que pueda ser acotada entre las dos
anteriores tendrá el mismo límite en el
punto.

6.0 CÁLCULO.- Se puede decir
cálculo a todas aquellas operaciones (en su mayoría
matemática) que tiene un fin común. Este sistema
puede ser simple y muy complejo, dependiendo del grado de
dificultad que se nos presente obtener un resultado partiendo de
algunos datos conocidos.

Tenemos cálculo geométrico (que se
remplaza en muchas incógnitas, cantidades conocidas) y
aritmético cuando en su totalidad se trata de
números.

"Aritmética es la rama de las
matemáticas que estudia ciertas operaciones de los
números y sus propiedades elementales. Proviene del griego
arithmos y techne que quieren decir respectivamente
números y habilidad."

Recuperado de http://definicion.de/calculo/

"De hecho el cálculo más natural y
primitivo surge de la necesidad de contar y medir". ahora por el
mismo hecho de contar con muchas formas de numeración, se
puede interpretar de muchas maneras.

6.1 GEOMÉTRICO.- también se
entiende como un sistema complejo de resolver ecuaciones. Por lo
tanto, podemos encontrar diferentes métodos de
resolución tales como; método de Euclides para
calcular el máximo común divisor de dos enteros
positivos, o el método de Gauss que permite resolver un
sistema lineal de ecuaciones. .

6.2 ARITMÉTICO.- ayuda en técnicas
de números muy complejos y con secuencia.

CAPÍTULO II

VARIABLE

1.0 VARIABLE: se conoce como variable a la
cantidad al que se le puede dictar independientemente, al
analizar, obteniendo un ilimitado de valores.

Podemos decir que x, es mi variable y puedo
remplazarle por un valor conocido; en este caso puedo decir que
vale 2 o 3… de esta manera infinitamente. Entonces
representaremos x= IR

1.1 REPRESENTACIÓN DE UNA VARIABLE:
Usualmente se toma en cuenta por las últimas letras del
alfabeto castellano, las cuales pueden ser (x, y ó
z). en este punto dependiendo de las cantidades de variable
que se nos presenten en un problema matemático.

Cuando tenemos dos o más variables, el primero es
x al cual podemos dar un valor conocido entonces y
dependerá del valor de x. algebraicamente, no
tendremos a lo mejor ninguna de las dos o más variables,
para ello hay algunos métodos conocidos que más
adelante detallaremos.

1.2 INTERVALO DE UNA VARIABLE: En todo el sistema
de números representados en el plano cartesiano, solamente
nos fijamos en una porción.

Cuando es un intervalo abierto. (a , b) o ]a,
b[

Cuando es un intervalo cerrado. [a, b]

Puede variar como decir: cerrado un extremo pero abierto
el otro o viceversa. En un gráfico con intervalos se puede
apreciar:

x<<b>b>aes decir; en un
intervalo cerrado solo puedo tener valores desde a hasta b, pero
no puedo pasar de ese intervalo

1.3 Variable independiente: Tomamos en cuenta,
las variables sean: x, y. las cuales son denominadas de la
siguiente manera. "variable independiente" a x. a esta
variable (x) comprendemos que puede poseer diferentes
valores, los mismos que se designa.

X=2 o x=-4…

1.4 VARIABLE DEPENDIENTE: Al comprender una
variable independiente, es lo inverso a ello, puesto que al
designar un valor a nuestra variable independiente la
obtendremos. Podemos denominarlos "variable dependiente"
(y). En el ejemplo anterior sea la función f(x)=
x+ 5

Formando nuestra tabla de valores seria:

Si trasladamos estos valores al plano cartesiano
podremos ver la gráfica.

2.0 Variación continua: dicen que una variable es
continua cuando tenemos dos puntos entre A y B, es decir que
dentro de ese segmento varían los valores. Entonces puede
ser que A < X < B. decimos

CAPÍTULO III

CONSTANTES

1.0 CONSTANTE: cuando obtenemos una cantidad fija
durante todo el proceso de análisis, se denomina
"constante". Constante por ejemplo, es una constante, puede ser
una constante k en movimientos circularorios.

1.1 CONSTANTES NUMÉRICAS O ABSOLUTAS.-
podemos decir que son cantidades que mantienen los mismos valores
en todos los problemas. Puede ser (5,2, …)

1.2 CONSTANTES ARBITRARIAS O PARÁMETROS:
son todas aquellas que principalmente se puede remplazar por un
valor. A estas constantes se las puede representar generalmente
con las primeras letras del alfabeto. (a y
b).

Podemos representar en la recta numérica, de la
siguiente forma:

Donde a y b son constantes arbitrarias. El
5 es una constante numérica o
absoluta.

2.0 FUNCIÓN: función
es una "correspondencia" del primer conjunto de valores para
el segundo que específicamente
dependerá de ello.

Si presentamos en una tabla: esta
ecuación f(x)= x+3 obtendremos.

Comprendemos que para cada valor de
x hay un solo valor de y.

2.1 NOTACIÓN DE FUNCIONES.- a una
función podemos representar de varias formas:

f(x), nos permite designar una
función de x, se lee: f de x. cuando tenemos varias
funciones y queremos distinguir, simplemente nos permite cambiar
la letra inicial f´(x) o F(x)…

Cada símbolo tiene la misma
funcionalidad, es decir, en cada proceso un mismo símbolo
representa toda su funcionalidad que esta tiene y la ley de
dependencia.

Por ejemplo: si tenemos
f(x)=x2+2x-4, si es la función de y
sería; f(y)=y2+2y-4, si es en función de
(a+b) sería: f((a+b))=(a+b)
2+2(a+b) –4de esta forma
sucesivamente.

2.2 DIVISIÓN DE UNA FUNCIÓN POR CERO
(0).- debemos tomar en cuenta que no es posible dividir por
cero, cociente por cero es excluida. Puesto que cociente de
a/b=x, a=bx; si b=0 x no existe porque no podemos dividir por 0.
Esta presentación queda como indefinida.

Algunas representaciones carecen de sentido
por esta razón. no es posible división por cero.
Ejemplo: casos de dividir inadvertidamente por cero. En este
ejemplo suponen que: a=b

Entonces dicen también que debería ser lo
mismo decir que ab=a2

Restando b2 mi ecuación sería
ab-b2=a2-b2

Esta expresión prácticamente
no altera: b(a-b)=(a+b)(a-b) Dividen por (a-b) b=a+b

Pero decían que a=b !

Si seguimos el proceso sería a=2b

Como respuesta obtienen 1=2

El error está en dividir por (a-b) que
prácticamente es cero.

2.3 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL:
para graficar una función real simplemente conocemos la
ecuación, el tipo de función y procedemos con
reconocer la variable dependiente y la variable independiente.
Sea la ecuación y=x2

Si la gráfica es continua, es decir, si los
valore de x aumenta, los valores de y aumenta
continuamente. Podemos decir que la variable siempre es
parábola.

El nombre a estas gráficas las llamamos
"gráfica de la función x2". Con fin a
esto, si hacemos una tabla de valores sería:

CAPÍTULO IV
LÍMITES

1.0 LÍMITE DE UNA VARIABLE

Se refiere a una tendencia de una función cuando
las medidas de las mismas se acerquen a un valor, en este caso
infinito o cero. podemos concluir entonces que v es una variable
y z la función, es decir, z de v; z(v). cuando z
también presenta como v se define como límite de
z=a cuando v se aproxima a l. en ecuación
tenemos:

Se leerá siempre como: límite de z cuando
v tiende a l es a.

1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
real: para una función real los límites se
puede diferenciar mediante sus valores en las gráficas.
tales que la imagen anterior ilustra el concepto.

1.2 DEMOSTRACIÓN DE LÍMITE DE UNA
FUNCIÓN REAL

Con el ejemplo anterior podemos decir que;
z(v)=a cuando a=2 entonces el límite de z
también se aproxima a ese valor. de esta
manera:

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