Las leyes del Azar



Las Leyes del Azar
Un aparente contrasentido

Un aparente contrasentido: "Las Leyes del Azar"

Si habláramos de una "heladera calentita", o de una "rueda cuadrada", o de un "bote terrestre", la falacia saltaría a la vista.

Sin embargo con alguna frecuencia nos encontramos con la frase "las leyes del azar". En ella se incluyen los conceptos de "ley" y de "azar", en apariencia contradictorios.

Trataremos de aclarar este aparente contrasentido.

Estamos acostumbrados a utilizar, desde la escuela primaria, "fórmulas" para el cálculo de superficies y volúmenes para algunas figuras y cuerpos geométricos.

También la "Física de la escuela secundaria nos proveyó de otras "fórmulas" para calcular velocidades, tiempos, aceleraciones, tiempos de caída, pesos específicos, etc, para nombrar solo el capítulo que se estudia en forma infaltable.

En éstas y otras muchas situaciones, referidas a temas variados tales como calor, temperatura, luz, electricidad o magnetismo, el empleo de "formulas" nos permite obtener un resultado numérico en base a algunos datos, también numéricos, con los que efectuamos las operaciones aritméticas indicadas.

Este tipo de situaciones tales que, dados algunos valores numéricos, se obtiene por cálculo un resultado único, se llaman:

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En oposición, existen resultados que no pueden preverse. Son sucesos cuya ocurrencia es consecuencia de una serie grande de factores no perfectamente conocidos, medidos o relacionados.

Por ejemplo el número que saldrá en la siguiente jugada de ruleta podría calcularse conociendo, la velocidad de giro del tambor, el momento exacto y la velocidad con que es arrojada la bolilla, el comportamiento elástico tanto de la bolilla como de la propia ruleta, la temperatura del ambiente y del sistema mecánico y algunos otros valores físicos.

Pero, ¿pueden todos estos datos ser conocidos con exactitud en cada caso?

La respuesta obviamente es: NO.

Por este motivo, los resultados que son consecuencia de la acción de muchas variables y cuyos valores no están perfectamente determinados, se dicen que dependen del "azar".

Estos casos se llaman también:

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En lo que sigue trataremos de mostrar la "ley" que rige el comportamiento de estos últimos.

En primer lugar consideremos una forma teórica de estudiar un suceso aleatorio. Esto se logra introduciendo el concepto de "Probabilidad" de ocurrencia del mismo.

Supongamos que una determinada situación se puede presentar de diferentes maneras y que todas ellas tengan igual posibilidad de ocurrir.

Se define el cociente:

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Esta es la definición clásica de probabilidad, que se ha objetado afirmando que los términos "posible" y "probable" aluden a la misma idea. Conviene suponer, en cambio, que ambas palabras tienen un significado ligeramente diferente.

Citamos al Dr. Rey Pastor, cuando dice en su libro "… también es posible aunque poco probable que un mono, golpeando el teclado de una máquina, escriba "La Divina Comedia".

Evitamos así definiciones puramente matemáticas, que nos apartarían de nuestro propósito.

Apliquemos la definición a un caso concreto: calculemos la probabilidad (teórica) de que, al arrojar un dado, salga el número "2"

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En este caso la probabilidad es un número fraccionario (expresado también en forma decimal).

Y un ejemplo algo mas complicado será:

¿Cuál es la probabilidad de que encendiendo al azar un receptor de radio, en una estación que emita la señal de la hora oficial, se escuche al menos un "pip" en el momento inicial?

Las señales horarias son de " 6 pips ", uno por segundo, los últimos 5 segundos de las horas y de " 3 pips " los últimos 2 segundos de las medias horas. En consecuencia la probabilidad buscada será:

p = 9 segundos con "pip", durante una hora / 3600 segundos en toda la hora

p = 9 / 3600 = 0,0025

La probabilidad tiene como valores extremos, "0" como mínimo y "1" como máximo.

En efecto, p=0 implica la "imposibilidad", es decir que el numerador de la fracción valga 0; mientras que p=1 determina la "certeza" o sea que todos los resultados posibles sean favorables.

El primer caso ( p=0 ), podría ser la probabilidad de que al tirar el dado salga "7" (imposible) y el segundo ( p=1 ) que el resultado fuera "1"; "2"; "3"; "4"; "5" ó "6" (alguna cara del dado se presentará).

Así, probabilidades muy bajas serán valores cercanos a "0" (acertar el premio mayor de la lotería), mientras que números cercanos a "1" serán sucesos de muy fácil aparición (por ej. la extracción al azar, de un maso de 50 cartas, de una de ellas que no sea el "as de espadas" ).

p = 49 / 50 = 0,98.

Supongamos ahora que se quisiera estudiar la probabilidad de que la siguiente persona que aparezca, tenga una altura menor que 1,50 m, o bien la probabilidad de que el tiempo que demorará el colectivo en pasar por la parada, sea mayor que 3 minutos o sino la de que un producto sea defectuoso, a la salida de una línea de fabricación.

Estos enunciados y la gran mayoría de las situaciones reales, si bien son de naturaleza aleatoria, sus probabilidades no son calculables en forma teórica por la aplicación de la expresión vista.

En estos casos, la producción de un suceso puede estudiarse en forma experimental.

Para ello se realiza un cierto número de pruebas reales y se cuenta la cantidad de veces que se presenta en forma favorable.

Se define así el cociente empírico o experimental llamado "frecuencia relativa (fr) del suceso:

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En el caso de nuestro dado, (donde p = 0,1666…en forma teórica), puede ocurrir que experimentalmente se efectúen por ejemplo 10 tiradas y el número "2" se presente 3 veces.

En este caso será:

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Resulta obvio que la probabilidad teórica ( p = o.1666…) y la frecuencia relativa ( fr = 0,3 ) son valores diferentes.

Pero si se realiza el ensayo un número grande de veces y se calcula en cada caso la correspondiente frecuencia relativa tendremos:

Cantidad de tiradas

Nº de apariciones del "2"

Frecuencia relativa ( fr )

10

3

3 / 10 = 0,3

30

6

6 / 30 = 0,2

60

9

9 / 60 = 0,15

120

21

21 / 120 = 0,175

600

99

99 / 600 = 0,165

1200

199

199 / 1200 = 0,16585

6000

1001

1001 / 6000 = 0,16683

Observando la tabla se puede apreciar que conforme aumenta el número de ensayos, el valor de la frecuencia relativa se va pareciendo cada vez mas al valor expresado por la probabilidad.

Pese a que el ejemplo del dado ha sido descripto para un caso particular, el comportamiento es semejante para todo fenómeno aleatorio, cualquiera sea la situación planteada.

Este tema se viene estudiando desde hace mas de 300 años por Jaques Bernouilli (1654-1705); Abrahan de Moivre (1665-1754); Piere Simón Laplace ( 1749-1827); Karl Friedrich Gauss ( 1777-1827) y otros grandes matemáticos.

La experiencia acumulada nos permite pensar que, cuando la cantidad de ensayos es un número pequeño, el "azar" desordena los resultados.

En cambio en la medida que el número de pruebas se incrementa, el resultado aparece como protegido por las misteriosas leyes del "azar".

Un enunciado que permite resumir todo lo anterior, es la llamada :

"Ley de los Grandes Números" que expresa:

Cuando el número de ensayos es grande, la frecuencia relativa de aparición de un suceso, tiende al valor de su probabilidad.

Matemáticamente se puede escribir:

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Es decir que el límite de la frecuencia relativa, cuando el número de ensayos (n) tiende a infinito, es igual al valor de la probabilidad.

Existe actualmente una muy desarrollada teoría matemática alrededor del concepto de probabilidad, por lo que es deseable conocer su valor numérico.

Pero cuando no exista forma natural o matemática de calcularla, se puede realizar una serie de experiencias o determinaciones empíricas y calcular la frecuencia relativa para un número grande de casos.

Se puede tomar así el valor de "probabilidad" teórica, como el de la "frecuencia relativa" experimental obtenida.

Por otra parte recordemos que la "Estadística" es la ciencia encargada de recoger, analizar e interpretar los datos numéricos relativos a una situación o conjunto cualquiera.

Pero para que las conclusiones estadísticas tengan validez deben apoyarse en una masa de datos suficientemente grande para que los valores de frecuencias relativas que maneja, puedan ser tomados como valores de probabilidad.

Intuitivamente a nadie se le ocurriría obtener la altura media de los habitantes de una ciudad, promediando las alturas de las tres primeras personas que encontrara.

Ellos podrían ser los enanos de un circo cercano, o los jugadores de basket de un equipo visitante .

Para acercarnos a la verdadera altura media deberíamos en realidad considerar el promedio de las alturas de un número grande de habitantes.

Es clásico el jugador de ruleta que dice: "al principio gané, pero seguí jugando y perdí todo".

Naturalmente, tiene en su contra la ley de los grandes números ya que ese juego está pensado con una probabilidad de ganancia que favorece al "casino". Si bien en alguna jugada acertó, en muchas jugadas necesariamente habrá perdido.

Cabe destacar que el "casino" tiene todas las jugadas de la noche, todas las "mesas" y toda la "temporada", es así que su ganancia está asegurada por la ley de los grandes números.

Como conclusión se señala que existe una abundante y excelente bibliografía, tanto en el tema "Probabilidades" como en "Estadística", por lo que el presente artículo solo pretende destacar tres frases aplicables a cualquier suceso aleatorio:

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Autor:

Arturo Gustavo Tajani