Introducción
El propósito de este artículo
es desarrollar una aproximación teórica sencilla
que, en una primera instancia, proporcione datos significativos
del grado de achatamiento de la superficie terrestre con respecto
a una esfera como consecuencia de la rotación diurna de la
Tierra. A tal efecto consideraremos la forma de la Tierra como la
determinada por superficie de los océanos que, en ausencia
de rotación de la Tierra adoptara una forma
esférica , y que por efecto de rotación diurna
sufre un achatamiento polar.
Fundamento
teórico
Consideremos como se modifica la forma de
la superficie horizontal aparente, entendida esta como la
perpendicular a la plomada en cada punto, por efecto de la
rotación de la Tierra.
Para un cuerpo sometido a la acción
de la gravedad en reposo la fuerza necesaria para mantenerla en
esa situación sería igual y de sentido contrario a
la acción de la gravedad y estaría dirigida siempre
hacia el centro de la Tierra ( F=mg). La línea horizontal
aparente del meridiano local sería un círculo, tal
como se muestra en la figura 1A.
Para un cuerpo que describe una
circunferencia de forma periódica a velocidad constante la
situación cambia dado que la resultante de F y mg es ahora
la fuerza centrípeta de la rotación. Tal como
muestra la figura 1B la fuerza F necesaria para mantener el
cuerpo en ese estado no es igual en módulo a mg y solo
tendría la misma dirección cuando cuando mg tenga
la misma dirección o perpendicular al eje de
rotación.
Figura 1.- Fuerza necesaria para el
equilibrio de un punto material en reposo (1A) o sometido a
rotación alrededor de un eje (1B)
La diferente dirección del vector F
en la figura 1B con respecto a la 1A indica que la horizontal
aparente siempre mantendrá una inclinación menor
con respecto al eje de rotación que la correspondiente a
la correspondiente al punto en reposo, excepto en los casos en
que la dirección de mg sea la del eje de giro o
perpendicular al mismo, lo que podría corresponderse con
el achatamiento de la superficie terrestre con respecto a una
esfera.
Formulación del
modelo
La figura 2 muestra la disposición
de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de masa m
situado en un punto de la superficie terrestre teniendo en cuenta
la rotación de la Tierra. En ella se indican las
siguientes magnitudes
x, y coordenadas del punto m sobre la
superficie de la Tierra con respecto al centro de la
misma
mg Fuerza gravitatoria de la Tierra sobre
la masa m
T Fuerza de sustentación
necesaria para mantener el cuerpo en equilibrio teniendo en
cuenta la rotación de la Tierra
R Fuerza centrípeta de la
masa m sometida a la rotación de la Tierra ( resultante de
las dos fuerzas anteriores)
Re radio ecuatorial de la Tierra
Rp radio polar de la Tierra
Figura 2
Los vectores mg, T y R
cumplen la siguiente relación
mg + T = R (1)
Si los vectores T y R los sustituimos por
las expresiones
T = mg´ (2) R =
-m w2 x i (3)
donde g´ es erl vector
aceleración de la gravedad aparente en un punto de la
superficie terrestre, w es la velocidad angular de
rotación de la Tierra y x es la distancia de la masa m al
eje de rotación de la Tierra la expresión (1) toma
la forma
mg + mg´ = -m w2 x
i (4)
Dividiendo por m la expresión
anterior obtenemos
g + g´ = – w2 x i
(5)
Las expresiones de las componentes
horizontal y vertical de la ecuación vectorial anterior
toman la forma
-gy + g´y = 0 (6)
-gx + g´x = -w2 x (7)
Si en una primera aproximación, a
efectos de cálculo, consideramos constante la distancia
del punto materia al centro de la Tierra (Rm) la figura 2
proporciona las siguientes relaciones entre gy, gx, las
coordenadas x,y del punto material m y el valor de Rm
gy = g ·y/Rm (8) gx= g · x/Rm
(9)
Introduciendo estas expresiones en las
ecuaciones (6) y (7) y despejando de las mismas g´y y
g´x obtenemos las siguientes igualdades
g´y = g ·y/Rm (10) g´x =
x( (g/Rm) – w2 ) (11)
Dividiendo miembro a miembro las igualdades
(10) y (11) obtenemos
g´y /g´x = (y/x) / (1 – w2
Rm/g) (12)
El primer miembro de la ecuación
anterior nos indica la tangente del ángulo que forma el
vector mg´ con respecto al eje OX o, lo que es lo
mismo, la dirección de la vertical aparente en dicho
punto. La dirección de la horizontal aparente
correspondiente al meridiano que pasa por el punto x,y
será perpendicular a la de este vector por lo que la
pendiente local de ese meridiano dy/dx cumplirá la
igualdad
g´y /g´x = – dx/dy
(13)
Sustituyendo la igualdad (13) en la
ecuación (12) obtenemos
– dx/dy = (y/x) / (1 – w2 Rm/g)
(14)
Reordenando la igualdad anterior
obtenemos
-xdx = (1/(1 – w2 Rm/g)) ydy
(15)
Integrando los dos miembros de la
ecuación diferencial anterior obtenemos
– x 2 /2 + C = y2 /2(1 – w2 Rm/g)
(16)
Reordenando la ecuación anterior
obtenemos
x 2 + y2 /(1 – w2 Rm/g) = 2C
(17)
Haciendo
2C = D
la ecuación (17) toma la
forma
x 2 + y2 /(1 – w2 Rm/g) = D (18)
ecuación de una elipse
correspondiente al meridiano que pasa por el punto
x,y.
En la igualdad anterior w, Rm y g se
determinan respectivamente por la velocidad angular de
rotación de la Tierra, el radio medio de la Tierra y el
valor de la aceleración de la gravedad en ausencia de
rotación.
En la ecuación (18) es posible hacer
una estimación aproximada de la constante D si, como
aproximación válida, identificamos el valor de Rm
con el radio de la Tierra considerada esférica y con el
valor de la distancia de un punto de la elipse a su centro cuando
x=y, tal como muestra la figura 3
Figura 3.- Identificación del
radio vector de la elipse para un ángulo de 45º con
el radio de una circunferencia de igual longitud
Teniendo en cuenta esta
identificación si en la ecuación (18) hacemos x=y
obtenemos
x 2 + x2 /(1 – w2 Rm/g) = D (19)
Por otra parte cuando x=y se cumple
también la relación
x2 = Rm 2 /2 (20)
Sustituyendo la igualdad (20) en la
ecuación (19) obtenemos
D = (Rm 2 /2 )(1 + 1/(1 – w2 Rm/g) )
(21)
Introduciendo este valor de D en la
ecuación (18) obtenemos
x 2 + y2 /(1 – w2 Rm/g) = (Rm 2 /2 )(1 +
1/(1 – w2 Rm/g) ) (22)
Aplicación
numérica
En la ecuación (22) introduciremos
los siguientes valores relativos a la rotación de la
Tierra, radio medio de la superficie terrestre y valor de la
gravedad media en la superficie terrestre
w = 2p /(24 · 3600) = 7,2722·
10 -5 rad/s
Rm = 10 7 · 4 / 2p = 6,366182
· 10 6 m
g = 9,8 m/s 2
obteniendo la siguiente igualdad
x 2 + y2 /(1 – 0,003435479 ) =
2,0264· 10 13 (1 + 1/(1 – 0,003435479 ) ) (22)
Simplificando la ecuación anterior
obtenemos
x 2 + y2 /0,996564= 4,0598 · 10 13
(23)
La ecuación anterior describe una
elipse correspondiente a un meridiano que, teóricamente,
es una aproximación aceptable a la superficie terrestre al
nivel medio del mar,considerada como un elipsoide de
revolución, en cualquier punto del planeta.
Reordenando la ecuación (23)
obtenemos
x 2 / (4,0598 · 10 13) + y2
/(4,0459· 10 13) = 1 (23)
En la ecuación anterior el valor de
x para y=0 corresponde al radio ecuatorial (Re) mientras que el
valor de para x=0 indica la longitud del radio polar (Rp).
Obtenemos de esta forma
Re = 6,371655 · 10 6 m Rp = 6,360738
· 10 6 m
El achatamiento recíproco (Ar) de la
elipse definida por la ecuación (23) y del elipsoide de
revolución asociado (elipsoide de referencia del modelo)
vendrá dado por
Ar = Re/(Re-Rp) = 583,6
Una consecuencia digna de reseñar
del modelo es que la dirección de la vertical local de un
punto (recta normal a la tangente) de la elipse descrita por la
ecuación (23) no pasa por el centro de la elipse o,
expresado en términos geográficos, la latitud
aparente de un punto asociada a la dirección de la
vertical local, no coincide con la latitud geocéntrica
correspondiente a la de una esfera en reposo.
La figura (4) muestra, a partir de la
figura (2a), la relación geométrica que hay entre
el ángulo que determina la latitud aparente (ángulo
La) y el correspondiente a latitud real o geocéntrica
(ángulo Lr). Como puede observarse en esa figura el valor
de La siempre es apreciablemente mayor que Lr salvo en los polos
y en el ecuador
Figura 4.-
Las relaciones de La y Lr con las
magnitudes descritas en el modelo son las siguientes
tagLa = g´y / g´x (24) tagLr =
y/x (25)
Teniendo en cuenta las igualdades (12) la
ecuación (24) puede ponerse en la forma
tagLa = (y/x) / (1 – w2 Rm/g)
(26)
Si en esta ecuación introducimos el
valor de x/y dado por la ecuación (25) y reordenamos
obtenemos
tagLr = (tagLa) · (1 – w2 Rm/g)
(27)
Teniendo en cuenta los valores
numéricos asignados a las magnitudes de la
expresión anterior la ecuación anterior toma la
forma
tagLr = (tagLa) · 0,996564
(28)
expresión que permite el
cálculo aproximado de la latitud real de un punto situado
en la superficie de la Tierra a partir de la latitud aparente
determinada por la vertical local. De acuerdo con la igualdad
(28) la longitud real será menor que la longitud aparente
definida por la vertical local. La gráfica 1 muestra el
grado de divergencia entre La y Lr en función de la
latitud real de acuerdo con la ecuación (28). En ella
puede apreciarse como esta diferencia varía con la latitud
y alcanza su máximo valor a la latitud de 45º y en
ningún caso alcanza un valor superior a
0,1º.
Gráfica 1.- Diferencia entre la
latitud aparente y la latitud real (La – Lr) a diferentes
latitudes reales (Lr)
La rotación de la Tierra y su
achatamiento afecta también al valor aparente de la
aceleración de la gravedad sobre su superficie. En efecto
en el tratamiento considerado no solo se modifica la
dirección de la gravedad sino también el valor
aparente del peso de un cuerpo que pasa a ser de mg a mg´
(figura 4). Cualquier medida de la aceleración
gravitatoria realizada localmente por un observador ligado a la
rotación de la Tierra nos proporciona el valor de
g´.
Para obtener una estimación
aproximada de la variación de g´ con la latitud real
de un punto de la superficie de la Tierra consideremos en la
figura 4 las proyecciones sobre la dirección del vector
mg´ de los vectores mg, R y mg´.Teniendo en cuenta su
valor y su relación con los ángulos La y Lr se
cumplirá la igualdad
mg cos(La – Lr) – mg´ = mw2 Rm cosLr
cosLa (29)
Simplificando y reordenando la
ecuación anterior obtenemos
g´ = g cos(La – Lr) – w2 Rm cosLr
cosLa (30)
Teniendo en cuenta la ecuación (28)
podemos poner
La = artg((tgLr)/ 0,996564) (31)
Introduciendo esta expresión en la
ecuación (30) obtenemos una igualdad que permite calcular
g´ en función de la latitud de un punto de la
superficie terrestre . La gráfica 2 muestra la
aplicación de este procedimiento de cálculo a la
obtención del valor de g´ a diferentes valores de la
latitud real (Lr)
Gráfica 2.- Variación del
módulo de la gravedad aparente g´ con la latitud
real de un punto de la superficie terrestre.
Comentario
final
El modelo descrito es una
aproximación teórica simplificada de la
obtención de un elipsoide de referencia geodésico.
El resultado obtenido difiere apreciablemente del actualmente
aceptado como el más adecuado a la forma de la Tierra a
nivel del mar. La determinación más precisa de
dicho elipsoide requiere la concurrencia de los valores obtenidos
por procedimientos tanto exclusivamente teóricos como
gravimétricos y geodésicos. El desarrollo de estos
estudios, que ha ocupado a la comunidad científica desde
el siglo XVIII, proporciona la base de los sistemas de
posicionamiento global (GPS) limitándose el alcance de
este artículo a una exposición académica a
nivel de Física General del estudio de la rotación
de la Tierra.
Temas relacionados
elipsoide de referencia
geodesia
geoide
gravedad
gravimetría
sistemas de posicionamiento
global
Autor:
A. Quirante Candel