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Cifras significativas y redondeo (Presentación PowerPoint)




Enviado por Arturo Gustavo Tajani



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    2 Supongamos, como es habitual, que estamos utilizando una
    calculadora electrónica para realizar operaciones
    aritméticas. Es también bastante común que
    operemos entre valores que tienen diferentes números de
    cifras, por ejemplo: 755,250 / 133,04 La calculadora normalmente
    expresa el resultado empleando todo su visor, es decir que el
    número final se presenta con 8, 10 ó 12
    dígitos, según la máquina. En nuestro caso
    el resultado es: Cifras significativas y redondeo
    5,676864101

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    3 La tendencia generalizada para expresar el resultado es tomar
    todos los decimales mostrados o bien efectuar un
    “redondeo” con cierta arbitrariedad. En nuestro
    planteo podría ser: 755,250 / 133,044 = 5,676864101 o bien
    7,55 / 1334 = 5,67 Veremos que ninguno de los dos métodos
    tiene un sentido claro, en especial cuando el valor final se
    obtiene con números medidos o calculados a partir de
    magnitudes obtenidas por determinaciones con instrumentos de
    medición. Se dará un concepto importante en los
    cálculos numéricos: es el de las “cifras
    significativas” de un número, (dígitos
    significativos ó cif.sig.), que debe ser siempre tenido en
    cuenta. Cifras significativas y redondeo

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    4 En efecto, sea un valor numérico cualquiera, resultado
    de una medición o de un cálculo aritmético.
    Estará compuesto en general por “n”
    dígitos y tendrá una parte entera y una decimal,
    separadas por la “coma” correspondiente. Tanto una
    parte como la otra pueden ser nulas y también puede valer
    “0” cualquier dígito intermedio. Del total de
    “n” valores, existe sin ninguna duda, un grupo menor
    de dígitos que se conocen o se deben conocer con
    seguridad. Se puede hablar en consecuencia de: Cifras
    Significativas El concepto señalado se asocia, ya sea con
    el tema de que se trate (geométrico, contable,
    físico, etc.) o bien con la “exactitud” de los
    datos del cálculo. La determinación de las cifras
    significativas de un número, para diferentes casos, se
    detalla en las siguientes reglas: Cifras significativas y
    redondeo

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    5 1. Los dígitos distintos de cero siempre son
    significativos, cualquiera sea su posición (sean de la
    parte entera o de la parte decimal): a) 137,4 4 cif.sig. b) c) d)
    3415,9 852, 283 45 5 6 2 “ “ “ 2. Los ceros a
    la izquierda del primer dígito distinto de cero nunca son
    significativos (tanto en la parte entera como en la decimal): e)
    0,375 3 cif.sig. f) g) h) 0,000375 0,002978 0,00085 3 4 2 “
    “ “ Cifras significativas y redondeo

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    i) 6 3. Los ceros, cuando están entre dígitos
    distintos de cero, siempre son significativos: 2008 4 cif.sig. j)
    k) l) 307,05 300,6 2,03 5 6 3 “ “ “ 4. Los
    ceros, cuando están a la derecha de un número
    entero, siempre son inciertos. No se deben tomar como
    significativos: m) 1 080 000 3 cif.sig. n) ñ) o) 58 600
    586 1 000 3 3 1 “ “ “ Cifras significativas y
    redondeo

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    coma t) 7 5. Los ceros, al final de un número, si
    están después de la decimal, siempre son
    significativos: p) 42,0 3 cif.sig. q) r) s) 42,000 206,0 1,020 5
    4 4 “ “ “ 6. En el caso de que un número
    cualquiera, esté expresado en notación
    científica de la forma: N = a . 10n , el número de
    cif.sig. siempre es el de las cifras significativas de
    “a”, pero deben incluirse en este caso, todos los
    ceros de “a”, en cualquier posición en que se
    encuentren: 7,31 . 104 3 cif.sig. u) v) w) 2,10 . 106 2,100. 106
    5,029 402 . 108 3 4 7 “ “ “ Cifras
    significativas y redondeo

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    10 • Si se efectuara un riguroso “cálculo de
    errores”, las afirmaciones que siguen podrían
    expresarse con mas propiedad. Pero lo que se quiere destacar es
    un comportamiento sencillo frente a la interpretación de
    los resultados antes señalados. Se puede enunciar la
    siguiente regla: “Cuando se realiza un cálculo
    aritmético y se opera con valores numéricos que
    tienen, cada uno de ellos, un número propio de cifras
    significativas, el resultado tendrá como máximo un
    valor de éstas, correspondiente al mas corto de los
    operandos. • De otra manera, si admitimos que la
    “exactitud” de un valor es mayor, cuanto mayor es el
    número de cif.sig., se puede afirmar: “el resultado
    no puede ser mas exacto, que el valor menos exacto involucrado en
    el cálculo”. Cifras significativas y redondeo

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    x) / / z) a) 11 Algunos Ejemplos de cálculos: 7,55 / 1334
    = 0,00565967 (forma incorrecta) 7,55 / 1334 = 0,0056 (forma
    incorrecta) 7,55 / 1334 = 0,00565 (forma correcta; 3 cif.sig.) y)
    89,3 89,3 0,210 = 425,238 095 2 (incorrecto) 0,210 = 425
    (correcto; 3 cif.sig) (9,29 . 102) x (2,62 . 103) = 2 433 980
    (incorrecto) (9,29 . 102) x (2,62 . 103) = 2,43 . 106 (correcto;
    3 cif.sig.) 0,12 x 1000 = 120 ( correcto; 2 cif.sig.) Cifras
    significativas y redondeo

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    • 12 Un tema íntimamente relacionado con lo anterior
    es el tratamiento de las cifras decimales de un número,
    con el objeto de reducir su longitud. Se suele hacer de dos
    maneras: 1. Truncado: simplemente se “eliminan” todos
    los dígitos significativos después de
    “k” de ellos: por ej. sea 2/3 = 0,666666666 si k = 4
    pero si k = 2 2/3 = 0,6666 2/3 = 0,66 2. Redondeo: para un dado
    valor de “k”, si el decimal “k+1” es 0;
    1; 2; 3 ó 4, se trunca en k; pero si “k+1”
    vale 5; 6; 7; 8; ó 9, el decimal “k” se
    incremente en 1 y se trunca en k. por ej. Sea 2/3 = 0,666666666
    Cifras significativas y redondeo si k = 4 ó si k = 2 2/3 =
    0,6667 2/3 = 0,67

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    13 • El método que conduce a mejores resultados y
    también el mas utilizado es el de redondeo. • Tomemos
    por ejemplo redondear el número p = 3,141592654 tal como
    lo expresa el visor de una calculadora, con 9 cifras decimales:
    redondeo a 8 cifras decimales: 3,14159265 “ “ 7
    “ 6 “ : : 3,1415927 3.141593 “ “ “
    “ “ 5 4 3 2 1 “ “ “ “ “
    “ “ “ “ “ : : : : : 3,14159 3,1416
    3,142 3,14 3,1 Cifras significativas y redondeo

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    14 • Si se tuviese que calcular la longitud de una
    circunferencia, teniendo como dato el diámetro, con un
    valor de 12,54 m (4 cif.sig.), de acuerdo con lo visto
    anteriormente, solo tendría sentido utilizar un valor de p
    = 3,142 (también de 4 cif.sig): Long.circunf. = p .
    Diám. = 3,142 x 12,54 m = 39,40068 m Valor que redondeado
    al 2º decimal es : 39,40 m (4 cif.sig.) • Por otra
    parte, si hubiésemos utilizado para el cálculo un
    valor de p con todos los decimales tendríamos:
    Long.circunf. = 3,141592654 x 12,54 m = 39,39557188 m Valor que
    redondeado al 2º decimal es nuevamente : 39,40 m • Se
    comprueba claramente que no se obtiene un valor
    “mejor” por utilizar un gran número de
    decimales. Se suele creer falsamente, que se mejora la
    “exactitud” de un cálculo empleando muchas
    cifras. Cifras significativas y redondeo

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    15 • Veamos otro ejemplo: 4,21 x 0,78508 = 3,3051868 4,21 x
    0,78535 = 3,3063235 4,21 x 0,78554 = 3,3071234 4,21 x 0,78573 =
    3.3079233 4,21 x 0,78592 = 3,3087232 • En todos estos
    productos el factor con menos cifras significativas es 4,21 (3
    cif.sig.), en consecuencia el resultado solo puede tener como
    máximo también 3 cif.sig. • Con el criterio de
    redondeo visto, el valor final sería: 3,31 Este valor es
    sensiblemente independiente de las cifras decimales de orden
    superior del segundo factor. Cifras significativas y redondeo

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