? ? ? 2 La División y el Porcentaje. Nos proponemos decir
cosas sencillas y conocidas, pero dándoles el sentido que
realmente tienen. A veces, por ser conceptos de uso familiar, no
le prestamos la atención que corresponde. El resultado
numérico de una división o cociente,
independientemente de cómo hagamos la operación (
ya sea “a mano” o con calculadora), suele no ser
comprendido en forma clara. Asimismo un valor de uso tan
común como el “tanto porciento” (%, porciento
o porcentaje), algunas veces presenta dificultades tanto en su
interpretación como en su cálculo. Divisiones y
Porcentajes
? ? ? 3 La División. Si cuatro amigos consumen por 40
pesos en la mesa de un bar, resulta obvio que le corresponde
pagar 10 pesos a cada uno, ya que: 40 / 4 = 10 Asimismo el
número 10 puede dividirse por 1 sin que el valor se
altere: 40 / 4 = 10 / 1 = 10 Vemos que la división
corresponde a cada uno. Divisiones y Porcentajes 40 / 4 equivale
a calcular cuanto le
? ? ? 4 La División . Si hay cinco niños entre los
que deben repartirse 80 caramelos, es claro que a cada uno le
corresponden 16 caramelos puesto que: 80 / 5 = 16 Otra vez
podemos poner el resultado como : 80 / 5 = 16 /1 = 16 Y
nuevamente el resultado indica cuanto le corresponde a uno, o
cuanto le corresponde a la unidad. Divisiones y Porcentajes
? ? ? 5 La División . Podrá pensarse que estos
resultados son triviales debido a que los valores son
números enteros y sencillos, pero veamos otro ejemplo: Se
adquieren 25 cm (0,25 m) de una tela, en $ 12,50 y se pregunta
cuanto cuesta el metro de la misma: Se plantea una elemental
“regla de tres” : 0,25 m ———-$ 12,50 1 m
———- $ 12,50 / 0,25 m = 50 $/m resultado que nos lleva,
otra vez, por simple división, a “cuanto le
corresponde a la unidad”. Divisiones y Porcentajes
? ? ? ? 6 La División . Y ahora un ejemplo adicional
Supongamos que el peso de un trozo de mármol es de 229,5
kg y su volúmen es de 85 dm3 (0,085 m3) El peso
específico de un material se puede definir como el
cociente entre el peso de un cuerpo homogéneo y su
volúmen : Peso específico = Peso / Volúmen =
229,5 kg / 0,085 m3 = 2700 kg/m3 Por la anterior
interpretación de la división, también se
puede decir que el peso específico es el peso de la unidad
de volúmen Divisiones y Porcentajes
? ? 7 La División y el Porcentaje. Se concluye que el
resultado de una división, siempre es la cantidad que le
corresponde a la unidad Podemos adoptar una expresión que
encierre este concepto: “ tanto por uno ” Siempre
deberá interpretarse al tanto por uno como el resultado de
un cociente y viceversa, el resultado de una división
siempre es un tanto por uno. Si la división nos ha llevado
a la idea del tanto por uno, es lógico pensar que el
“tanto por ciento” (o “porcentaje”),
exigirá multiplicar por 100 el valor anterior. Valor del
porciento % = (tanto por uno) X 100 Divisiones y
Porcentajes
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 Aplicaciones La totalidad de las
constantes numéricas (ó coeficientes) que se
utilizan en física, tienen origen en cocientes entre
magnitudes medibles. Peso específico = Peso / volumen
(peso de la unidad de volumen). Velocidad = espacio / tiempo
(espacio recorrido en la unidad de tiempo). Aceleración =
variación de veloc. / tiempo (variac.veloc. por
unid.d/tiempo) Masa = fuerza / aceleración. Presión
= fuerza / superficie (fuerza por unidad de superficie). Coef.de
dilatación = aumento de longitud / longitud inic. /
variac.de temper. Calor específico = calor / masa / temp.
(calor entregado a la unidad de masa para elevar su temperatura
en 1º C.) Resistencia R = E / I Capacidad C = Q / V
Inductancia L = ? / I . . . y muchos otros. Divisiones y
Porcentajes
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 Aplicaciones Además gran cantidad de
datos tecnológicos o también de
“catálogos y folletos” comerciales, son
resultados de cocientes y en general suelen ser expresados en
“tanto por uno”: Peso de barras de metales por metro
lineal (kg/m) Peso de chapas de metales por metro cuadrado
(kg/m2) Cantidad de mosaicos o cerámicas por metro
cuadrado (n/m2) Longitud de un alambre por kg (m/kg) Resistencia
eléctrica de un conductor por metro lineal o por km (O/m o
O/km) Precio por unidad ($/n) Precio por kilogramo ($/kg) Precio
de una moneda extranjera ($/U$S); ($/Euro); etc. Cualquier
conversión de unidades: (60 seg/minuto) ; (25,4
mm/pulgada); . . . (1000 m/km) y muchos mas. Divisiones y
Porcentajes
? ? ? ? ? 10 Aplicaciones Plantearemos un problema simple, que
implica un cálculo de “tanto por ciento”, el
cual originará una pequeña discusión : Un
comerciante compra a $ 100 y vende a $ 150. Calcular el
porcentaje de ganancia que obtiene. 1º forma: 2º forma:
50 / 100 x 100 = 50% 50 / 150 x 100 = 33% ¿Cuál es
el resultado correcto? La respuesta es: ¡ambas son
correctas! ¡¡¡…!!! En efecto en la
primera forma se toma como referencia el capital invertido,
mientras que en la segunda, la referencia es el precio de venta.
En la determinación de porcentajes se debe tener muy en
cuenta el denominador de la división, es decir respecto de
qué magnitud se hace el cálculo (o referencia). No
especificar la referencia respecto de la cual se hace el
cálculo lleva a errores y/o falsas interpretaciones.
Divisiones y Porcentajes
? ? ? ? ? ? ? 11 Aplicaciones Veamos otro ejemplo: Supongamos que
el 1º / enero / 2006 el precio de un producto fue de $ 100;
luego tuvo varios aumentos durante el año y la
evolución se da a continuación:: 1/enero
/2006———$ 100 1/junio /2006———-$ 105 1/diciem./
2006——-$ 111 1/enero/2007———$ 112 Se puede decir que el
aumento del precio fue del 12 % ó bien del 0,9 %.
¿? ¿? ¿? En efecto, la variación
porcentual del precio con respecto al año anterior es:
((112 – 100) / 100)) x 100 = 12 % Mientras que la
variación porcentual del precio respecto del mes anterior
es: ((112 – 111) / 111)) x 100 = 0,9 % Resulta claro otra
vez, que si no se especifica en forma explícita la
referencia del cálculo del porcentaje, el valor
numérico obtenido no tiene ningún valor. Mas
aún, a veces el ocultamiento de la referencia puede formar
parte de un engaño. Divisiones y Porcentajes
? ? km2 ? ? 12 Aplicaciones Se plantea ahora el cálculo
que debe realizarse para determinar el valor porcentual de cada
“parte”, perteneciente a un “todo”.
Supongamos que se tienen como datos los valores de las
superficies de cada uno de los cinco continentes habitados (los
datos fueron obtenidos del Diccionario SALVAT – La
Nación – edición 1992):
América…………S1 = 42 090 655
Africa…………….S2 = 30 309 677
Asia………………S3 = 43 869
576 Europa……………S4 = 10 404 000
Oceanía………….S5 = 8 945 724 km2
km2 km2 km2 Se desea expresar el porcentaje de la superficie que
ocupa cada uno de ellos respecto de la superficie total (Stotal).
Se comienza por hacer la sumatoria de los valores parciales, que
en nuestro caso es: Stotal = 135 619 632 km2 Divisiones y
Porcentajes
? ? ? 13 Aplicaciones Los porcentajes habitualmente se escriben
solo con dos cifras decimales y por lo tanto, si expresamos por
comodidad los valores anteriores en “millones de
km2”, se puede redondear cada uno a la tercera cifra
decimal. Para redondear, recordemos el conocido criterio de que
para eliminar una cifra decimal de cierto orden, simplemente se
borra, si su valor está entre 0 y 4, pero si vale entre 5
y 9, se incrementa en una unidad el decimal de orden anterior.
Aplicando estos criterios los valores originales quedarían
así: S1 = 42,091 millones de km2 S2 = 30,310 S3 = 43,870
S4 = 10,404 “ “ “ “ “ “ S5 =
8,946 “ “ STotal = 135,621 Divisiones y Porcentajes
“ “
? ? ? ? ? ? ? ? 14 Aplicaciones Los porcentajes parciales
serían : S 1% = (S1 / S total) . 100 = (42,091 / 135,621)
.100 = 31,04 % S 2% = (S2 / S total) . 100 = (30,310 / 135,621)
.100 = 22,35 % S 3% = (S3 / S total) . 100 = (43,870 / 135,621)
.100 = 32,35 % S 4% = (S4 / S total) . 100 = (10,404 / 135,621)
.100 = 7,67 % S 5% = (S5 / S total) . 100 = ( 8,946 / 135,621)
.100 = 6,60 % La suma de los valores porcentuales parciales, debe
dar 100 ya que los “tanto por uno”, calculados en
cada caso, son fracciones de igual denominador, cuya suma
claramente es igual a 1. En nuestro planteo, la suma de los
porcentajes arroja un valor de 100,01. La supuesta inexactitud es
debida a los redondeos, ya que por haberse efectuado entre un
corto número de valores, no se compensaron entre sí
( como ocurre cuando hay una cantidad mayor de datos originales).
Divisiones y Porcentajes