Resumen
El presente artículo expone una demostración directa a una relación matemática que se presenta en la correlación formal que asume la estructura secuencial de los elementos del Conjunto de los Números Enteros (Z), respaldada con causas propias y fundamentos matemáticos muy simples que conducen a justificar junto a los principios lógicos válidos con estructuración de hipótesis hasta asumir un conclusión. Aportes que animan a la búsqueda de otras relaciones que fomentan una propuesta en áreas más pequeñas de conjuntos (subconjuntos) con miras a profundizar en los logros y apuntalar el amplio mundo de los números como elementos con características muy particulares de los conjuntos
PALABRAS CLAVES: Conjunto, número, elemento, raíz cuadrada, relación de orden, propiedades, axiomas, ley.
ABSTRACT
This paper presents a direct demonstration of a mathematical relationship that occurs in formal correlation assumes sequential structure elements Set of Integers (Z), backed own causes and very simple mathematical fundamentals leading to justify together to logical principles apply when structuring hypothesis to assume a conclusion. There Contributions to encourage the search for other relationships that foster a proposal into smaller sets (subsets) to delve into the achievements and underpin the wide world of numbers as elements with very specific characteristics of the joint areas.
KEYWORDS: Set number, element, square root, ordering relation, properties, axioms, law.
Introducción
Al enfrentarse en la investigación de un problema es un deber situarse en el contexto apropiado, el requerimiento de herramientas indispensables que nos ayudan a simplificar las novedades y llegar a las metas propuestas. Todo orden se sujeta a leyes que rigen el mecanismo de un sistema, un conjunto es en sí una organización en la cual se conservan y se concatenan acciones holísticas en virtud de mantener la vida útil del mismo. Las dificultades que aparecen en un marco de referencia apropiado bien definido con sus propiedades y definiciones básicas se reducen, y se asumen los razonamientos lógicos simplificándose en los axiomas y teoremas.
Una de las cualidades propias de las ciencias Matemáticas es conducirse por medio de las definiciones, aportando términos nuevos que interactúan con los axiomas.
La Matemática es una ciencia abstracta que utiliza cosas abstractas, pero que no importa su naturaleza sino las relaciones que se puedan establecer entre ellas de acuerdo a los axiomas considerados.
Una de las cosas más interesante de los números es que iniciando desde un pequeño grupo de propiedades pueden derivarse todas las demás. Se pueden subrayar estas propiedades básicas que, evidentemente, se refieren a las dos operaciones fundamentales que se pueden realizar con los números, la suma y el producto.
Los números poseen, además de las propiedades algebraicas, otras propiedades que se denominan propiedades de orden. Así estos, se representan como puntos de una recta, a la cual se precisa un origen, el cero (0), con carácter arbitrario.
En tanto, que para todo subconjunto del conjunto de números enteros Z, se cumple que:
1.-Para todo número a,b que pertenecen
a este subconjunto de Z, a +b y
a.b están en este subconjunto.
2.-Existe al menos un elemento en este subconjunto.
3.-Ley de tricotomía.
Para todo entero a, se tiene una y sólo una de las siguientes afirmaciones:
a es igual a cero, a es positivo, a es negativo.
Si se usan los axiomas de orden, se define la siguiente relación:
Definición 1. Sean a y b dos enteros, diremos que a es menor o igual que b, y lo denotamos por a
b, si y sólo si a-b es positivo.
Definición 2. Sean a y b dos enteros, diremos que a es menor que b, y lo denotamos por a
b, si y sólo si 
El sistema de los números enteros…-3, -2, -1.0, 1, 2, 3 cumple dentro de sus operaciones básicas con propiedades muy importantes; en una operación binaria a+b, llamada suma de enteros se verifican tales como cerrada o de clausura, conmutativa, asociativa, elemento neutro, elemento opuesto o simétrico.
En otra operación cerrada en Z, llamada producto de números enteros y denotada por a.b cumple con las propiedades anteriormente citadas; entre estas dos operaciones existe un axioma que las combina denominado axioma de distributividad: (a+b).c= a.c + b.c
En los axiomas de orden, se citan los del elemento mínimo como existencia de una cota inferior en un subconjunto que pertenece a Z, así como también el axioma del elemento máximo como presencia de una cota superior en un subconjunto que pertenece a Z. Además se encuentran principios altamente significativos como el denominado "de inducción" que permite probar fórmulas e identidades que involucran un número positivo n.
La presente exposición permite comprobar la estabilidad que existe en el conjunto de los números enteros Z y propone nuevos elementos que se deben considerar para los axiomas de orden con miras a profundizar en el estudio de otros conjuntos y subconjuntos y en la búsqueda de fórmulas certeras y propuestas para demostrar conjeturas.
Necesario es rememorar que siempre hay una diferencia entre el planteamiento algebraico y el carácter numérico, donde se debe ser cuidadoso.
Definición 3.
Materiales y métodos
Investigación o análisis riguroso de las propiedades de los números enteros, consideración a los principios y operaciones de orden matemático y apego a las reglas de inferencia usuales, propias de las demostraciones directas
Resultados
Demostración directa.
Por otra parte, de la ecuación 1:
-Multiplicando y dividiendo por 2 en el segundo miembro de esta expresión y al utilizar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición de enteros:
-Introducimos ambos miembros en una raíz cuadrada:
Discusión
La atracción de las Matemáticas se ajusta a la desafiante actividad intelectual que se genera en torno a la investigación de los problemas que muchas veces tienen enunciados muy sencillos, pero que requieren de demostraciones coherentes, que ameritan un desafío permanente, unido al uso del tiempo y de recursos intelectuales que suponen una actitud apropiada con estrategias útiles para abordarlos. El mundo de las Matemáticas es un mundo real lleno de coherencias, sus herramientas deambulan involucrándose en las actividades humanas y haciendo la vida un poco más fácil. Algunas teorías matemáticas son en sí muy abstractas; en la vinculada con los números, se encuentran aplicaciones que contribuyen al desarrollo de software. Se unen al estudio de esta noble ciencia el desarrollo cultural que le impone el ritmo a la creación en cada instante de bienes y servicios que hacen más llevadera la existencia misma de la humanidad. La matemática se mezcla así como artífice o estructura de otras ciencias.
Un ejemplo inherente al enunciado planteado se puede señalar:
Sea a= -3, b= -2, c= –1 tres números consecutivos donde a
Entonces,
Este ejemplo resalta las igualdad descrita, sujeta a la demostración
planteada.
Referencias
[1]
http://casanchi.com/mat/enteros01.pdf
[2]
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
[3]
http://webdelprofesor.ula.ve/nucleovigia/gonzalojm/pages/calculo10/archivos/NUMEROS%20ENTEROS.pdf
[4]
http://www.clarionweb.es/6_curso/matematicas/tema5.pdf
Autor:
Ramon Freytez Oliveros
Ingeniero de Sistemas
Sanare. Estado Lara. Venezuela.
Noviembre 2014.