Propiedades de la potenciación, los factores primos y la notación cientifica
- Introducción
- La
potencia y sus propiedades - Factores primos
- La
notación científica - Conclusión
- Recomendaciones
- Bibliografía
Introducción
En esta investigación trataremos sobre
operaciones matemáticas, como son la potenciación y
sus propiedades, los factores primos y la notación
científica. El nivel básico en el Sistema Educativo
Dominicano orienta la formación integral del niño
dominicano y la niña dominicana, al propiciar el
desarrollo de sus potencialidades.
Las matemáticas son una materia básica en
una educación sólida, no sólo por los
conocimientos y técnicas que aportan, sino porque
desarrollan cualidades esenciales en el estudio, como el rigor,
las capacidades de abstracción y de resolución de
problemas.
Las matemáticas gozan de una presencia destacada
en la educación sin embargo, siguen sin ser valoradas
suficientemente porque apenas se percibe su papel como base de
los avances científicos y tecnológicos.
Por tanto hoy en día, las Matemáticas se
usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos
campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales,
la ingeniería, la medicina y
las ciencias sociales, e incluso disciplinas que,
aparentemente, no están vinculadas con ella, como
la música (por ejemplo, en cuestiones de
resonancia armónica).
La ventaja es que sus múltiples aplicaciones
pueden facilitar las acciones relacionadas con los textos y la
información; además de posibilitar la
indagación, la investigación, la creatividad y el
auto aprendizaje en forma dinámica.
Metodología.El método utilizado
para realizar el presente trabajo, fue el analítico. Pues
más que describir, nos concentramos en examinar y estudiar
el documento que establece las operaciones matemáticas
como son la potenciación y sus propiedades, los factores
primos y la notación científica.
Propósitos de la
Investigación.
Esta investigación, es de carácter
documental, porque las informaciones se obtendrán a
través de fuentes documentales tales como libros,
revistas, boletines, folletos, e Internet en donde las
investigadoras recopilarán toda la información
necesaria de otros estudios realizados, para ampliar los
conocimientos sobre el tema de la
investigación.
Objetivo General.
Analizar los componentes y las características de
la potenciación y sus propiedades, los factores primos y
la notación científica.
Objetivos Específicos:
Definir los conceptos de potenciación, los
factores primos y de la notación
científica.Establecer las características de las
operaciones matemáticas, como son la
potenciación y sus propiedades, los factores primos y
la notación científica.Identificar las operaciones matemáticas
basadas en la potenciación y sus propiedades, los
factores primos y la notación
científica.
TEMA:
LA POTENCIACIÓN Y SUS
PROPIEDADES, LOS FACTORES PRIMOS Y LA NOTACIÓN
CIENTIFICA
La potencia y sus
propiedades
Origen de las Potencia.
Entre el 400 A. C. y el 200 A. C.,
los matemáticos de la India, en especial
Jaina comienzan el estudio de las matemáticas
para el exclusivo propósito de las matemáticas.
Ellos fueron los primeros en desarrollar los números
transfinitos, la teoría de conjuntos,
los logaritmos, leyes fundamentales de
los índices, ecuaciones cúbicas
y cuárticas, sucesiones y
progresiones, permutaciones y combinaciones,
cuadrados y extracción de la raíz cuadrada
y potencias finitas e infinitas.
También pudieron encontrarse cálculos
exactos de números irracionales, que incluían
raíces cuadradas de números tan grandes como un
millón y con once decimales. Carl Friedrich Gauss
dio una explicación adecuada del concepto de número
complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo
del análisis. En su tesis doctoral presentó la
primera demostración apropiada del teorema fundamental del
álgebra. A menudo combinó investigaciones
científicas y matemáticas.
Por ejemplo, desarrolló métodos
estadísticos al mismo tiempo que investigaba la
órbita de un planetoide recién descubierto,
realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios
del magnetismo, o estudiaba la geometría de superficies
curvas a la vez que desarrollaba sus investigaciones
topográficas. Las potencias de un número se
obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número
por sí mismo. El término a elevado a la tercera
potencia, por ejemplo, se puede expresar como a· a·
a ó a3. Los factores primos de un cierto número son
aquellos factores en los que éste se puede descomponer de
manera que el número se puede expresar sólo como el
producto de números primos y sus potencias. Por ejemplo,
los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 2
× 3 × 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y
5.
1.2 Potenciación y sus
Propiedades.
Definición de potencia: La
potenciación es una operación matemática
entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se
escribe an y se lee usualmente como «a
elevado a n» ó «a elevado a la
n» y el sufijo en femenino correspondiente al
exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al
cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo.
Nótese que en el caso de la potenciación
la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes,
en un anillo totalmente general la base será un elemento
del anillo pero el exponente será un número natural
que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el
exponente puede ser un número entero o cero. Es decir
que:
Donde "a" se llama base y "n" se llama
exponente n veces a como factor. El factor
que se repite se llama base. El número de veces que se
repite el factor, o sea la base,
se llama exponente. Esto significa que si se tiene la
potencia 26 (dos elevado a seis o a la sexta), la base
será 2 y el exponente 6, lo cual dará como
resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2
· 2 · 2 · 2 · 2 · 2 =
64).
Ejemplos:
Aquí podemos concluir que:
a) Si la base es negativa y el exponente es par
el resultado de la potencia es positivo Ejemplo: ( -7)2 =-7
• – 7 = 49
b) Si la base es negativa y el exponente es impar el
resultado de la potencia es negativo Ejemplo: ( -2)3 = -2 •
-2 • -2 = -8
1.2.1 Propiedades de las
Potencias.
– Potencia de base entera y exponente
natural: Si la base a pertenece al conjunto de los
Números Enteros
(léase a pertenece a zeta) significa
que puede tomar valores positivos y negativos. Si el exponente
pertenece al conjunto de los Números Naturales, significa
que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2,
3,..n).
– Potencia de base entera positiva:
Si la base a es positiva, la potencia siempre será un
entero positivo, independiente de los valores que tome el
exponente, es decir, de que sea par o impar.
Ejemplos:
– Potencia de base entera negativa: Si la base a es
negativa el signo de la potencia dependerá de si el
exponente es par o impar.
En resumen:
-Potencia de una potencia: Se eleva la base al
producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se
conserva la base y se multiplican los exponentes.
Ejemplos:
1.3 Potencia Distributiva y su relación
con otras operaciones matemáticas.
Las mismas de antes, pero
además:
1.3.3 Multiplicación (Producto de
Potencias): Si tenemos que multiplicar dos potencias que
tienen la misma base te basta escribir la misma base y como
exponente escribes la suma de los exponentes:
1.3.4 División: Para dividir
potencias que tengan la misma base, se restan los exponentes.
Recuerda, para multiplicar se suman los exponentes, para dividir,
se restan:
Dividir potencias de base diferente:
Para dividir potencias que no tienen la misma base, calculas
el valor de cada una y divides sus cocientes:
Factores
primos
2.1 Máximo Común Divisor
(MCD): El Máximo común divisor,
de dos o más números es el mayor número que
divide a todos exactamente. Para el cálculo del
máximo común divisor:
1. Se descomponen los números en
factores primos.
2. Se toman los factores comunes con menor
exponente.
Ejemplo
Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y
60.
Es decir que el m. c. d. (72, 108, 60) = 22
· 3 = 12, donde 12 es el mayor número que divide a
72, 108 y 60. Si un número es divisor de otro, entonces
éste es el m. c. d. El número 12 es divisor de 36.
m. c. d. (12, 36) = 12
2.2 Mínimo Común Múltiplo
(MCM): Es el menor de todos múltiplos comunes a
varios números, excluido el cero. Cálculo del
mínimo común múltiplo:
1. Se descomponen los números en
factores primos
2. Se toman los factores comunes y no
comunes con mayor exponente.
Ejemplo:
72 = 23 · 32
108 = 22 · 33
60 = 22 · 3 · 5
m. c. m. (72, 108, 60) = 23 · 33
· 5 = 1080
2160 es el menor número que puede
ser dividido por: 72, 108 y 60. Si un número es un
múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de
ambos.
El número 36 es múltiplo de
12, donde m. c. m. (12, 36) = 36.
Relación entre el m. c. d. y
m. c. m.
m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) =
a · b
Ejercicios:
1- Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18
segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los
tres coinciden. Averigua las veces que volverán a
coincidir en los cinco minutos siguientes.
12 = 22 · 3
18 = 2· 32
60 = 22 · 3 · 5
m. c. m. (12 , 18, 60) = 22 · 32 · 5 =
180
180 : 60 = 3
Sólo a las 6.33 h.
2- Un viajero va a Santiago de los Caballeros cada 18
días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en
Santiago de los Caballeros. ¿Dentro de cuantos días
volverán a estar los dos a la vez en Santiago de los
Caballeros?
18 = 2 · 32
24 = 23 · 3
m. c. m. (18, 24) =23 · 32 = 72
Dentro de 72 días.
3- En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas
capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere
envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las
capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se
puedan envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el
número de garrafas que se necesitan.
m. c. d. (250, 360, 540) = 10
Capacidad de las garrafas = 10 l.
Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 =
25
Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 =
36
Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 =
54
Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115
garrafas.
4- El suelo de una habitación, que se quiere
embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho. Calcula el lado y
el número de la baldosas, tal que el número de
baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario
cortar ninguna de ellas.
3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5
5 m = 50 dm 50 = 2 · 52
A = 30 · 50 = 1500 dm2
m. c. d. (30 , 50) = 2· 5= 10 dm de
lado
A b = 102 = 100 dm2
1500 dm2 : 100 dm2 = 15 baldosas
5- Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y
12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo
número de manzanas o de naranjas y, además, el
mayor número posible. Hallar el número de naranjas
de cada caja y el número de cajas necesarias.
m. c. d. (12 028, 12 772) = 124
124 naranjas en cada caja.
Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103
Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97
Cajas necesarias = 103 + 97 = 200
La notación
científica
3.1 Origen de la notación
científica: Arquímedes, el padre de la
notación científica. El primer intento de
representar números demasiado grandes fue emprendido por
el matemático y filósofo griego Arquímedes,
descrito en su obra El contador de Arena en el siglo
III a. C. Ideó un sistema de
representación numérica para estimar cuántos
granos de arena existían en el universo.
El número estimado por él era de 1063
granos. Nótese la coincidencia del exponente con el
número de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores
positivos, el exponente es n-1 donde n es el número de
dígitos, siendo la última casilla la Nº 64 el
exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero de
ajedrez en que al último casillero le corresponde -2
elevado a la 63- granos).
A través de la notación científica
fue concebido el modelo de representación de los
números reales mediante coma flotante. Esa idea fue
propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936)
y George Robert Stibitz (1939).
Un número se escribe en notación
científica de la forma: x donde M es un número entre 1 y
10; y n es un número entero.
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1 000
104 = 10 000
105 = 100 000
106 = 1 000 000
107 = 10 000 000
108 = 100 000 000
109 = 1 000 000 000
1010 = 10 000 000 000
1020 =
100 000 000 000 000 000 0001030 =
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
10 elevado a una potencia entera negativa -n es
igual a 1/10n o, equivalentemente 0, (n–1 ceros)
1:
10–1 = 1/10 = 0,1
10–2 = 1/100 = 0,01
10–3 = 1/1 000 = 0,001
10–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000
00110-12 = 1/1 000 000 000 000 = 0,000 000 000
00110-15 = 1/1 000 000 000 000 000 = 0,000 000 000 000
00110-17 = 1/ 1 000 000 000 000 000 00 = 0,000 000 000
000 000 01
Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000
000 000 000 000 000 puede ser escrito como
1,56234×1029.
3.2 En multiplicación
Para multiplicar cantidades escritas en
notación científica se multiplican los coeficientes
y se suman los exponentes. Ejemplo:
(4×1012)×(2×105) =8×1017
3.3 En División
Para dividir cantidades escritas en notación
científica se dividen los coeficientes y se restan los
exponentes.
Ejemplo:
3.4 En Suma: Siempre que las potencias
de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes, dejando
la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el
mismo exponente, debe convertirse el coeficiente,
multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces
como se necesite para obtener el mismo exponente.
Ejemplos:
2×105 + 3×105 =
5×105
3×105 – 0.2×105 =
2.8×105
2×104 + 3 ×105 – 6 ×103 =
(tomamos el exponente 5 como referencia)
= 0,2 × 105 + 3 × 105 – 0,06
×105 = 3,14 ×105
3.5 En Resta: Siempre que las potencias
de 10 sean las mismas, se deben restan los coeficientes, dejando
la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el
mismo exponente, debe convertirse el coeficiente,
multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces
como se necesite para obtener el mismo exponente.
Ejemplo:
5×105 – 3×105 =
2×105
Ejercicios:
-Escribe en notación científica la
distancia de la Tierra al Sol, que es de 149680000000
m.
a. 1,4968 x 1011 m
b. 1,4968 x 1012 m
c. 14,968 x 1010 m
d. 1,4968 x 10-11 m
-Escribe en notación científica el
diámetro de un átomo de hidrógeno, que es de
0,0000000002 m.
a. 2 x 10-11 m
b. 2 x 1010 m
c. 2 x 10-9 m
d. 2 x 10-10 m
¿Cuál es el mayor de estos
números?
a. 1,06 x 10-6
b. 1,55 x 10-6
c. -1,65 x 106
d. 1,5 x10-6
Resuelve la siguiente operación
escribiendo previamente en notación científica los
términos que intervienen en ella: 20000000 x 320000
=
a. 6,4 x 1012
b. 64 x 1013
c. 64 x 1012
d. 6,4 x 1013
Planificación Mensual de
Matemática (Mes de Agosto) Año escolar
2014-2015
Profesoras: Alicia Sosa y
Escarlín Margarita Ynoa. Curso: 4to. de
Básica
Competencia (s) Especifica | Contenido | Indicadores de | Estrategias | Actividades |
*Razonar y Conoce las operaciones vinculadas a *Comunicar: Explica de forma *Modelar y Representar: *Resolución de | *Conceptos: – Potenciación, – Los Factores Primos, – La Notación -Explicación oral de los -Justificación de los procesos -Resolución de problemas *Actitudes y -Disfrute del trabajo en -Perseverancia en el trabajo en –Responsabilidad en sus actuaciones y -Valoración del trabajo | -Comprende el concepto de Potenciación, los -Comprende la diferencia entre -Reconoce las propiedades de Potenciación, -Efectúa operaciones vinculadas a la -Explora y deduce algunas propiedades | -Establecimiento de la –Exposición del docente sobre -Estudio dirigido sobre la -Elaborar estrategias de -Aplicación de los | *Experiencia Comunicativa: *Pre-Ejercicio: Reconoce e *Ejercicio: Realización |
Trabajo de Grupo | Trabajo de Grupo | Trabajo de | Evaluación: | Recursos | |
-Investigación | -Reunir los alumnos en varios grupos de 3 a 5, | -Hacer un conjunto de problemas para | -Se hará mediante la exposición de -Aplicación del formulario de -Aplicación de la Primera evaluación *Evaluación Diagnostica: -Lee textos expositivos y empleando tus -Escribe un texto expositivo corto tomando en *Evaluación Formativa: -Lee textos expositivos empleando estrategias para -Escribe un texto expositivo, usando las | -Textos técnicos y -Libros de texto del 3er. –Diccionarios y -Revistas y periódicos: -Redacciones de sus compañeros -Rúbrica de auto y -Rúbrica de evaluación *Bilibiograficos: -Fundamentos del Curriculum. Tomo -Fundamentos del Curriculum. Tomo –Diseño Curricular del Nivel |
Conclusión
Al finalizar esta investigación tratamos el tema
de las operaciones matemáticas como son la
potenciación y sus propiedades, los factores primos y la
notación científica. Las potencialidades y
capacidades de los niños y las niñas se desarrollan
de manera progresiva. Existen importantes teorías que dan
cuenta de esa progresión enfocando aspectos
distintos.
Las matemáticas como hemos vistos, son una
materia básica en una educación sólida, no
sólo por los conocimientos y técnicas que aportan,
sino porque desarrollan cualidades esenciales en el estudio, como
el rigor, las capacidades de abstracción y de
resolución de problemas. Las matemáticas gozan de
una presencia destacada en la educación sin embargo,
siguen sin ser valoradas suficientemente porque apenas se percibe
su papel como base de los avances científicos y
tecnológicos.
Por tanto hoy en día, las Matemáticas se
usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos
campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales,
la ingeniería, la medicina y
las ciencias sociales, e incluso disciplinas que,
aparentemente, no están vinculadas con ella, como
la música (por ejemplo, en cuestiones de
resonancia armónica). La ventaja es que sus
múltiples aplicaciones pueden facilitar las acciones
relacionadas con los textos y la información;
además de posibilitar la indagación, la
investigación, la creatividad y el auto aprendizaje en
forma dinámica.
Finalmente, gracias a la UTE, miles de adultos pueden
retomar sus estudios sin afectar su trabajo laboral y en si
mejorar uno mismo como ser humano. Es por tanto que nos
queda la satisfacción de haber realizado un trabajo
conciso que nos arrojó luz sobre la base teórica y
la aclaración de varios aspectos prácticos
relacionado con dicho tema.
Recomendaciones
Al Estado Dominicano:
– Eliminar el pago de aranceles fiscales (Itebis), en
base a todo lo relacionado con el uso de Hardware y Software,
para abaratar los costos de las computadoras, debido a que las
computadoras no son artículos de diversión, sino de
educación.
– Eliminar el cobro de los impuestos, por el uso del
internet, debido a que en los países del primer mundo, han
entendido el valor agregado del uso de esta tecnología,
para el desarrollo de las telecomunicaciones.
– Desarrollar más salas o centros
informáticos tanto en cada escuela y/o liceo de la
República Dominicana.
– Incentivar concursos, para la creación del
desarrollo de la tecnología didáctica
(Matemática), a través de software
interactivos.
– Establecer que cada libro de matemática,
deberá ser editado tanto en formato físico, como
digital, como de audio, con un formato de interface interactiva,
para incentivar la lectura.
– Facilitar el uso de Table, para cada estudiante
Dominicano, para que el Estado pueda ahorrar tanto la
impresión de libro fiscos, como de mascotas o
cuadernos.
A los Estudiantes:
– Dar un correcto uso a la tecnología de
información, adaptando su uso a la vida diaria.
A la Universidad de la Tercera Edad:
– Crear la base tecnológica, en la biblioteca
para que cada estudiante tenga las facilidades adecuadas a cada
carrera o profesión, por ejemplo en el caso de
educación, crear Seminarios-Talleres, sobre el uso de los
programas básico en todo los aspectos como son: Microsoft
Office Word, Microsoft Office Excel, Microsoft Office Access y
por ultimo Internet. Adaptando cada programa, con problemas a ser
aplicado a la vida diaria.
Bibliografía
Ley General de Educación 66-97, 1era.
Edición, Editora Corripio, Santo Domingo, Distrito
Nacional, República Dominicana.
Castillejo, J. L (1994), El Currículum
en la Escuela Infantil, Aula XXI, editorial
Santillana, Colombia.
Geroge J, (2000), Poner: Análisis del
Currículo, 2da. Edición, editora Emma
Ariza H, y Mc Graw- Hill, México.
Ministerio de Educación, (2013),
Diseño Curricular Nivel Inicial,
Versión preliminar. Serie Innova, Editora Corripio,
Santo Domingo, Distrito Nacional, República
Dominicana.
Ministerio de Educación, (2009),
Fundamento del Currículum, Tomo I.
Serie Innova, Editora Corripio, Santo Domingo, Distrito
Nacional, República Dominicana.
Págs.Ministerio de Educación, (2000),
Propuesta Curricular del Nivel Inicial, Serie
Innova, Editora Corripio, Santo Domingo, Distrito Nacional,
República Dominicana.
Zabalza, Miguel A, (2000), Diseño y
Desarrollo Curricular, 8va. Edición, editora
Narcea, Bogotá, Colombia.
Suhit, G. (2012) Seminario de ingreso
Matemática. Buenos Aires, Argentina.
Agrasar, M. y otros. (2013).
Matemática 9. Ed. Longseller. Buenos
Aires,Argentina.
Fuentes de Internet:
www.cajondeciencias.com
http://cidead.cnice.mec.es
Autor:
Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo
S.
Santiago de los Caballeros,
República Dominicana,
2014.