El uso aplicado de las matemáticas

I. JUSTIFICACIÒN

El enfoque acumulativo ha sido adoptado tradicionalmente
para la elaboración y diseño de los
currículos. Supone que la formación del estudiante
se va dando mediante una serie de Actividades académicas
básicas. Cuando el conocimiento matemático se hace
objeto del discurso didáctico, es indispensable tomar en
consideración la acción de los procesos de
transposición, así como las diferentes dimensiones
del conocimiento, propias de la disciplina. La educación
matemática reconoce que el análisis
histórico critico, las teorías cognitivas, la
teoría de la información, suministran elementos
substanciales que deben ser incorporados como parte de la
reflexión permanente sobre nuestro campo.

El sentido de estas actividades, es permitir al
estudiante revisar sus bases y fundamentos matemáticos,
buscando una nivelación de los conceptos básicos
indispensables para emplearlos en las demás actividades
académicas que requieren de la matemática como
herramienta para su estructuración y comprensión.
El estudiante en este nivel debe hacer conciencia, que realiza
una carrera profesional, la cual requiere de un amplio dominio de
la matemática y que sus deficiencias deben ser superadas
de una u otra forma, mediante la consulta permanente de textos,
solución de talleres, discusión en clase,
retroalimentación y cualquier otro mecanismo que le
permita la apropiación, relación y
utilización de los conocimientos.

II. OBJETIVOS:

1. OBJETIVOS GENERALES

Empleando modelos matemáticos, desarrollar
habilidades y destrezas que le permitan razonar lógica,
critica y objetivamente; adquiriendo independencia en su
actividad intelectual y personal, perseverando en la
búsqueda del conocimiento y su relación con el
medio.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

1. Identificar los conjuntos numéricos en
diferentes contextos. Representarlos en diversas formas y
establecer relaciones entre ellos; redefinir las operaciones
básicas entre estos números establecer
relación entre ellos.

2. Comprender y utilizar los fundamentos de
lógica matemática básicos necesarios para la
carrera.

• 3. Construir e interpretar fórmulas,
  ecuaciones, desigualdades e inecuaciones para representar
  situaciones que requieren variables, operar con cualquiera de
  ellos.

• 4. Aplicar los sistemas de ecuaciones lineales
  n x n en situaciones cotidianas resolviéndolo mediante
  matrices, determinantes, regla de cramer y gauss
  Jordán.

5. Representar y analizar funciones, utilizando para
ello criterios tablas, expresiones algebraicas, ecuaciones,
gráficas e interpretar estas representaciones.

6. Adquirir habilidad y destreza en el planteamiento y
solución de problemas cotidianos.

III. LOGROS ESPERADOS DEL PROGRAMA

Al finalizar el curso el estudiante debe estar en la
capacidad de comprender y aplicar los conceptos y experiencias
adquiridas en situaciones de la vida real y poder plantear un
modelo matemático con habilidad y destreza que pueda dar
soluciones a problemas que se le presenten en el transcurso de su
vida profesional.

IV. METODOLOGÍA DEL TRABAJO
ACADÉMICO

• A través de la apropiación por parte
  del estudiante de algunas propiedades, se construirán
  modelos matemáticos aplicados a la
  administración de negocios (AA).

• Teniendo en cuenta los conceptos teóricos
  adquiridos y las condiciones del entorno el estudiante
  resolverá problemas prácticos de
  aplicación a su especialidad (AH).

• Partiendo de talleres y actividades colectivas el
  estudiante desarrollará la capacidad del trabajo en
  equipo y la tolerancia necesaria para una mejor convivencia.
  (AC).

• Establecer el marco teórico, que otorgue las
  herramientas necesaria para que el estudiante desarrolle su
  iniciativa y creatividad. (AS).

• V. EJES TEMATICOS Y ENCUENTROS
  TUTORIALES.

UNIDAD No 1:

SISTEMAS NUMERICOS

• Números reales

Propiedades

• Razones y proporciones

Propiedades

Cálculo de términos
desconocidos en una proporción

• Aplicación de
  transposición de términos en ecuaciones y
  fórmulas

• Potenciación

Propiedades

• Notación
  científica

• Radicales

Propiedades

Simplificación

Multiplicación de radicales de igual
índice

Multiplicación de radicales de
diferente índice

Racionalización de
radicales.

• Exponentes racionales

Relación entre la
potenciación y la radicación.

• Logaritmos

Propiedades de los logaritmos

Relación entre potenciación y
logaritmos

UNIDAD No 2:

• Expresiones algebraicas.

Clasificación

Monomio

Binomio

Polinomio

Términos Semejantes.

Reducción de términos
semejantes.

• Valor numérico do una
  expresión algebraica.

• Operaciones con polinomios
  algebraicos:

Suma

Resta

Multiplicación

División.

• Productos Notables

Producto de la suma y la diferencia de dos
cantidades

Cuadrado de un binomio o

Cubo de un binomio o

Producto de dos binomios de la forma

Producto de dos binomios de la forma

Forma

Forma

• Cocientes notables

• Factorización

Factor común monomio y
polinomio

Factor común por agrupación
de términos

Trinomio cuadrado perfecto

Diferencia de cuadrados
perfectos

Trinomio de la forma

Trinomio de la forma

Cubo perfecto de binomios

Suma o diferencia de cubos
perfectos

Casos especiales

• Operaciones con fracciones
  algebraicas

Suma

Resta

Multiplicación

División

Fracciones complejas

UNIDAD No 3:.

RELACIONES Y FUNCIONES

• Pareja ordenada.

• Producto cartesiano de
  conjuntos

Representación
gráfica

• Concepto de relación

• Funciones

Concepto de función

Elementos de una función

Conjunto de partida

Conjunto de llegada

Dominio

Codominio

Rango

• Álgebra de funciones

Suma

Resta.

Multiplicación

División

Funciones compuestas

• Gráfica de funciones

Dominio

Rango

Intercepto o puntos de corte

Simetrías

Asintotas

Tabla

• Función Inversa

Procedimiento para hallar la inversa de una
función

• Función Lineal

Pendiente

intersecto

Gráfica

• Función cuadrática o de
  segundo grado

Gráfica

• Aplicaciones

UNIDAD No 4:

ÁLGEBRA LINEAL

• Matrices

• Operaciones con matrices, sumas,
  resta

• Producto punto, producto
  cruz

• Tipos de matrices

• Solución de matrices mediante el
  método de Gauss –Jordan

• Determinantes

• Regla de Cramer

• Aplicaciones

UNIDAD No 5:.

APLICACIONES A LA ADMINISTRACIÓN DE
NEGOCIOS

• Problemas prácticos de
  aplicación.

EJERCICIO MODELO

• 1. Solucionar la siguiente
  ecuación utilizando las propiedades de los
  logaritmos

Tomamos logaritmos a ambos lados

entonces
aplicando propiedades tenemos

Transponiendo términos

Factorizando obtenemos

despejando
x se obtiene

entonces

operando obtenemos

• 2. Un comerciante perdió el
  primer año 1/5 de su capital, el segundo año
  gano una cantidad igual a los 3/10 de lo que le quedaba; al
  tercer año gano 3/5 de lo que tenía al terminar
  el segundo año y tiene 13312 dólares.
  ¿Cuál es su capital inicial?

Asumamos que x es el capital inicial,
entonces

Es lo que le quedo después de la
pérdida del primer año

Queda después de haber ganado en
el segundo año

Para el tercer año le queda,
entonces

Tomando las perdidas y las ganancias
tenemos, entonces

Esto es lo que le queda, por lo
tanto

En consecuencia

El capital inicial era de 8000
dólares

TALLER

1. realiza las siguientes operaciones

a)

b)

c)

d) e)

f)

g) h)

i) Un poste tiene 2/7 de su longitud bajo tierra, 2/5
del resto sumergido en agua, y la parte emergente mide 6 metros.
¿Cuál es la longitud total del poste?.

j) Para llegar a un bonito refugio he realizado las 3/5
partes del recorrido en tren, los 7/8 del resto en autobús
y los últimos 10 kilómetros andando.
¿Cuántos kilómetros he recorrido en
total?.

k) De una varilla larga le han cortado 36 cm, si dicho
pedazo corresponde a los ¾ de los 4/5 del total de la
varilla ¿cuál es la longitud de la
varilla?.

l). Un hombre compra por $5.350.000 las 4/5 partes de un
negocio. El negocio estaba evaluado en?.

EXPONENTES Y RADICALES

Algunas propiedades sobre la
potenciación

2.Aplique las propiedades de la potenciación y
simplifique dando sus respuesta con exponentes
positivos.

a. b.
c.

d. e.

f. g.
h.

i. j. .
k.

• 1. Simplifique las siguientes expresiones.
  Racionalice el denominador cuando sea necesario.

a. b.

c. d.

4. exponentes racionales, exprese como exponentes y
simplifique.

a. b.
c. .

LOGARITMOS

Propiedades de los logaritmos:

5. Calcule las valores de las expresiones siguientes
usando la definición de logaritmos.

a) b)
c)

d) e) f)

6. Verifique las proposiciones siguientes y
rescríbalas en forma logarítmica con una base
apropiada.

a) b)
c)

d) e)
f)

7. Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios
aplicando las propiedades de los logaritmos.

a) b)

c) d)

8. Determinar el valor de la incógnita

• a.  b. c. d.

e. f.

APLICACIONES:

Resolver los ejercicios 10 y 11 aplicando las
propiedades de los logaritmos.

9. En el 2000 la población de cierta
ciudad de Colombia era de 2 millones de habitantes y estaba
creciendo a una tasa del 5% anual. ¿Cuándo
rebasará la población la marca de los 5 millones,
suponiendo que la tasa de crecimiento es constante?.

10. La suma de $1000 dólares se invierte a un
interés compuesto anual del 6% ¿cuándo
tardará la inversión en incrementar su valor a
$1500 dólares?.

11. Un container de artículos se vende por
$120.000.000 con una utilidad del 35%. Halle el costo inicial del
lote.

12. En el testamento de Federico Porras, figura una
cuenta por un valor de $48.964.000 para repartir entre su viuda y
sus tres hijos, de dicho valor se deben deducir $8.950.000 por
gastos de entierro, honorarios del abogado e imprevistos y el
resto debe de ser repartido así: 5/8 de lo que quedo para
la viuda y el resto debe de distribuirse en partes iguales entre
sus tres hijos. ¿Cuánto recibirá la viuda y
cuánto cada hijo?.

13. El ingreso anual de Edgar durante el año 2004
fue de $45.900.000. el gasto en alquiler el 25%, en
alimentación el 13%, en ropas el 28%, en otros
artículos el 23% y el resto lo ahorro. ¿Qué
porcentaje de su entrada anual ahorro?, ¿Cuánto
dinero ahorro?, ¿cuánto gastó en cada uno de
los puntos especificados?.

14. Si 9 bombas levantan 1050 toneladas de agua en 15
días, trabajando 8 horas diarias, ¿en
cuántos días 10 bombas levantarán 1.400
toneladas, trabajando 6 horas diarias?.

15. Un ciclista marchando a 12 km por hora recorre en
varias etapas un camino empleando 9 días a razón de
7 horas por día. ¿A qué velocidad
tendrá que ir si desea emplear sólo 6 días a
razón de 9 horas diarias?.

16. Una pileta se llenó en 3 días dejando
abiertas 2 canillas que arrojan 20 litros por hora, durante 6
horas diarias. ¿Cuántos días se
necesitarán para llenar la misma pileta si se dejan
abiertas, durante 5 horas diarias, 4 canillas que arrojan 18
litros por hora?.

17. Un padre de familia al fallecer deja una herencia de
$4.340.000, de la cual la mitad corresponde a su esposa y la otra
mitad se distribuye inversamente proporcional a la edad de sus
tres hijos de 10, 15 y 25 años. ¿Cuánto
corresponde a cada hijo?

18. Un granjero tiene concentrado para 30 cerdos que le
duran 12 días. Si quiere que el concentrado le dure 3
días más. ¿Cuántos cerdos debe
vender?

19. En un galpón 20 gallinas en 12 días
producen 190 huevos. ¿Cuántos huevos producen 2200
gallinas del galpón en 48 días?

20. Con 40 bultos de concentrado de 50 Kg.
se pueden alimentar 30 animales durante 35 días.
¿Cuántos animales podremos alimentar durante 15
días con 60 bultos de 40 Kg. del mismo
concentrado?

RESPUESTAS TALLER NUMERO
UNO

1.a = -1 9. = año 2018

1.b = – 35/16 10. = 7
años

1.c = – 98/255 11. = $ 88"888.888,89
pesos

1.d = 7/32 12. = $25"008.750 y $ 5"001.750
pesos

1.e = 81/224 13. = 11% y $ 5"049.000
pesos

1.f = – 85 /16 14. = 24
días

1.g = 21/20 15. = 14 kms/h

1.h = 16/7 16. = 2 días

1. i = 14 mts 17. = $ 434.000 $ 651.000 y $
1"085.000 pesos

1.j = 200 mts 18. = 6 cerdos

1.k = 60 cms 19. = 83.600 huevos

1.l = 6"887.500 pesos 20. = 84
animales

5.a = – 4

5.b = 5/3

5.c = 4

5.d = – 3

5.e = – 5

5.f = 100

7.a = 45

7.b = 10

7.c = 0,44

7.d = 0,71

EJERCICIOS MODELO

• 1. Descomponer en factores la
  siguiente expresión

Esta es una expresión de la forma

Para descomponerla en factores utilizamos
el siguiente artificio matemático

Multiplicamos y dividimos entre 12 para
que no se altere

Ahora factorizamos (buscando dos
números que multiplicados den como resultado -420 y
sumados den como resultado -13)

Después de simplificar
obtenemos

• 2. 5 personas han comprado un
  negocio contribuyendo por partes iguales. Si hubiera habido 2
  socios más, cada uno hubiera pagado 800 dólares
  menos. ¿Cuánto costó el
  negocio?

Supongamos que x es el valor en
dólares del negocio

Cada socio aportó dólares

Para dos socios más

Trasponiendo términos

Esto es una ecuación lineal de
primer grado despejando la incógnita tenemos
que

El valor del negocio es de US
14000

TALLER No. 2

Antes de iniciar el taller tenga bien claro

¿Qué es constante?

¿Qué son variables?

¿Qué son expresiones
algebraicas?

¿Qué es un polinomio
algebraico?

¿Qué significa factorizar?

¿Cómo puede aplicar estos conceptos en la
vida cotidiana?

• 1. En los ejercicios siguientes, efectúe
  la operación indicada y simplifique.

a.

b.

c. d.

e. f.

g. h.

i.

j.

k.

l.

m.

n.

• 2. Simplifique cada uno de los siguientes
  polinomios, utilizando factor común.

a.

b.

c.

d.

e.

• 3. Factorice por completo las expresiones
  siguientes:

a. b.
c.

d. e.
f.

g. h.
j.

k. l.
m.

n. o.
p.

q. r.
r.

• 4. Resuelva los siguientes productos notables
  teniendo en cuenta las siguientes reglas.

• a. 

• b. 

• c. 

• d. 

• e. 

• f. 

• g. 

• h. 

• i. 

• j. 

• k. 

• l. 

• m. 

n.

• 5. Dados los siguientes
  polinomios, factorizarlos empleando División
  Sintética

a.

b.

c.

d.

e.

• 6. Plantear y resolver los
  siguientes problemas:

• a. Juan José vende dos
  camisas A y B por $190.000; si el costo de A fue de $20.000
  menos dos veces el costo de B, ¿cuál fue el
  precio de cada una?.

• b. Daniela tiene entre conejos y
  palomas 56 animales. Si las palomas suman 12 menos que los
  conejos ¿cuántos animales hay de cada
  especie?.

• c. En el primer semestre de
  Administración de Negocios de la Universidad del
  Quindío, hay entre hombres y mujeres 56 estudiantes.
  Si las mujeres suman 12 menos que los hombres,
  ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres
  hay?.

• d. La Edad de Esneda es tres veces la edad de
  Daniela, si ambas edades suman 64 años,
  ¿Cuál es la edad de cada una?.

• e. Fernando tiene $2.300.000 que quiere
  repartir entre sus dos hijos, pero quiere que su hijo mayor
  reciba $240.000 más que su hijo menor,
  ¿Cuánto debe dar a cada uno de
  ellos?.

• f. Él número de días que
  ha trabajado Pedro es 4 veces él número de
  días que ha trabajado Enrique. Si Pedro hubiera
  trabajado 15 días menos y Enrique 21 días
  más, ambos habrían trabajado igual
  número de días. ¿Cuantos días
  trabajo cada uno?.

• g. Edgar tiene 7 años más que su
  esposa Martha. Hace 10 años tenía el doble de
  la edad de ella. ¿Cuántos años tiene
  cada uno?.

• h. Una vendedora gana un salario base de
  $600.000 por mes más una comisión del 10% de
  las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma
  horas realizar
  ventas por un valor de $100.000. ¿Cuántas horas
  deberá trabajar en promedio cada mes para que sus
  ingresos sean de $2.000.000?.

RESPUESTAS TALLER NUMERO
DOS

6.a = $ 70.000 y $ 120.000 pesos

6.b = 22 palomas y 34 conejos

6.c = 34 hombres y 22 mujeres

6.d = 16 y 48 años

6.e = $ 1"030.000 y $ 1"270.000
pesos

6.f = 48 y 12 días

6.g = 17 y 24 años

6.h = 210 horas mensuales

EJERCICIOS MODELO

Hallar los puntos de intersección (puntos de
equilibrio) para las siguientes funciones

RECUERDE

los puntos de equilibrio se encuentran en
las intersecciones (ó sea donde las gráficas se
cortan), es decir cuando:

f(x) = g(x)

Es decir,

Esta es
una ecuación de segundo grado

Ahora reagrupando términos y reduciendo
términos semejantes obtenemos:

resuelva
esta ecuación solo y luego compare para un mejor
aprendizaje

Se debe resolver esta ecuación cuadrática,
aplicando la formula general o Descomponiendo en factores, vamos
a resolverla aplicando la formula general

Reemplazando valores tenemos

Realizando
operaciones obtenemos dos soluciones y

Estas son las coordenadas de los puntos de equilibrio en
x, debemos hallar y para definir completamente los puntos
de equilibrio

Para hallar las coordenadas en y reemplazamos x
en cualquiera de las dos ecuaciones, f(x) o g(x)

Yo reemplazando en g(x), pero usted compañero
realice el reemplazo en f(x). ¿Que encontró?
¿Por que?

Entonces los puntos de equilibrio son

y

Ahora pasemos a graficar las funciones dadas

Gráfica de la función
g(x)=16x+180

Esta es una función lineal, por lo tanto su
gráfica es una recta hallemos cortes con los
ejes

Para hallar cortes con el eje x hacemos g(x)=
0

Para hallar cortes con el eje y hacemos x = 0, entonces
y = 180

Los puntos de corte son:

(-11.25 , 0) (0 , 180 )

GRAFICA DE LA FUNCION

Se observa que:

• Por ser una función cuadrática, la
  gráfica es una parábola

• Por el coeficiente negativo de x2 la parábola
  es cóncava hacia abajo

VERTICE DE LA PARABOLA

X = 9

Encuentro el valor correspondiente de y

Y= 324

El vértice esta en: V(9, 324 )

Cortes con el eje x: entonces y = 0

Resolviendo por
factorización

Punto de corte ( 0, 0 )

El otro punto de corte lo encontramos
haciendo

El punto es: (18 , 0)

Con estos puntos podemos graficar la parábola, en
el mismo plano que graficamos la recta

ACLARACIONES

Las gráficas fueron elaboradas con un programa
descargado de Internet llamado Graphmatica.

TALLER No. 3

INVESTIGAR:

• a. ¿Qué es pendiente?.

• b. ¿Cuándo dos rectas son
  paralelas?.

• c. ¿Cuándo dos rectas son
  perpendiculares?.

• d. ¿Qué es una función
  Matemática?.

• 2. Estimar la pendiente y la ecuación de
  la recta asociada a cada grafico.

a.

b.

• 3. a) Dibujar la grafica de la recta que pasa
  por los siguientes puntos, encontrar la pendiente.

a. (2, 1) y (5, 7) b. (5, -2) y (1, -6) c. (1/2, 2),
(6,2)

d. (-3/2, -5) y (5/6, 4) e. (2, -1) y (4, -1) f. (7/8,
3/4) , (5/4, -1/4)

• 4. Encuentre la ecuación de las
  líneas rectas que satisfacen las condiciones de cada
  uno de los ejercicios siguientes:

• a. Pasa a través del punto (2, 1) y
  tiene pendiente 5

• b. Pasa por (7/8, 3/4) , (5/4,
  -1/4).

• c. Tiene pendiente –2 y ordenada al
  origen 5

• d. Pasa por (0, 3) con m = ¾

• e. Y-intersección en 2 con m =
  4

• f. Y-intersección en –2/3 con m =
  1/6

• g. Pasa pro (2, -1) y es paralela a la
  recta

• 

• h. Pasa por (-1,2) y es
  perpendicular a la recta

• 

• i. Pasa por (0, -1) y es paralela a la recta
  determinada por (2, 2) y (3, 1).

• j. Pasa por (2,3) y es perpendicular a la recta
  determinada por (-1, -2), y (2, 1).

• 5. Escribir una ecuación de la recta que
  pase por el punto dado y sea:

a) Paralela a la recta dada.

b) Perpendicular a la recta indicada.

a. (2, 1), 4X – 2Y = 3

b. (7/8, 3/4) 5X + 3Y = 0

c. (-6 , 4) 3X + 4Y = 7

• 6. Halle el punto de equilibrio de las
  siguientes ecuaciones lineales por los métodos de
  sustitución, igualación, reducción y
  corrobore lo obtenido gráficamente de los siguientes
  sistemas de ecuaciones:

a. 2X – 3Y = 7 y 3X –Y = 7

b. X + Y = 8 y 2X – Y = 1

c. 3X –2Y = 8 y 2X + 5Y = -1

d. 3X –1 = 2Y y 3Y – 2X = 6

e. 6X + 3Y = 3 y 5X + 4Y = 7

• 7. Para cada función dada, construya una
  tabla de valores y realice la grafica.

a. b.
c.

d. e.

• 8. Resuelva las siguientes ecuaciones por la
  fórmula cuadrática.

a.
b.

c. d.

e. f.

• 9. Bosqueje las parábolas siguientes y
  determine: su vértice, puntos de corte con el eje x,
  dominio y rango de:

a. b.

c. d.

• 10. Halle los puntos de intersección
  (puntos de equilibrio) empleando procedimientos
  matemáticos, de las siguientes funciones y
  grafíquelas.

a. y

b. y

c. y
Y= 2X + 10

d. y

• 11. Efectué las operaciones indicadas y
  simplifique:

a. b.

c.

d.

e.

f. Sea

hallar A X B y B X A

• 12. En los problemas siguientes, resuelva el
  sistema dado (si la solución existe) usando el
  método de reducción.

a. b.

• 13. Hallar la Inversa de las siguientes
  matrices.

a. b.
c.

• 14. Hallar el determinante de las siguientes
  matrices.

a. b.

c. d.

• 15. Resuelva los siguientes sistemas de
  ecuaciones por el método de Gauss o por regla de
  Cramer.

a. b.

c. d.

e. f.

HOJA DE RESPUESTAS TALLER No
3.

• 3. a. m=2. 4.

• b. m=1

• c. m=0

• d. m=

• e. m=0

• f. 

5. a.

b.

6. a. P(2,1) b. P(3,5) c. P(2,-1)
d. P(3,4)