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Introducción a la programación lineal II




Enviado por Pablo Turmero



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    Cada muñeco: Produce un beneficio neto de 3 €.
    Requiere 2 horas de trabajo de acabado. Requiere 1 hora de
    trabajo de carpinteria. Cada tren: Produce un beneficio neto de 2
    €. Requiere 1 hora de trabajo de acabado. Requiere 1 hora
    trabajo de carpinteria. Ejemplo Gepetto S.L., manufactura
    muñecos y trenes de madera. Cada semana Gepetto puede
    disponer de: Todo el material que necesite. Solamente 100 horas
    de acabado. Solamente 80 horas de carpinteria. También: La
    demanda de trenes puede ser cualquiera (sin límite). La
    demanda de muñecos es como mucho 40. Gepetto quiere
    maximizar sus beneficios. ¿Cuántos muñecos y
    cuántos trenes debe fabricar?

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    Variables de Decisión x = nº de muñecos
    producidos a la semana y = nº de trenes producidos a la
    semana Función Objetivo. En cualquier PPL, la
    decisión a tomar es como maximizar (normalmente el
    beneficio) o minimizar (el coste) de alguna función de las
    variables de decisión. Esta función a maximizar o
    minimizar se llama función objetivo. Max z = 3x + 2y El
    objetivo de Gepetto es elegir valores de x e y para maximizar 3x
    + 2y. Usaremos la variable z para denotar el valor de la
    función objetivo. La función objetivo de Gepetto
    es: Este problema es un ejemplo típico de un problema de
    programación lineal (PPL). Restricciones Son desigualdades
    que limitan los posibles valores de las variables de
    decisión. En este problema las restricciones vienen dadas
    por la disponibilidad de horas de acabado y carpintería y
    por la demanda de muñecos. También suele haber
    restricciones de signo o no negatividad: x = 0 y = 0

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    Restricción 1: no más de 100 horas de tiempo de
    acabado pueden ser usadas. Restricción 2: no más de
    80 horas de tiempo de carpinteria pueden ser usadas.
    Restricción 3: limitación de demanda, no deben
    fabricarse más de 40 muñecos. Estas tres
    restricciones pueden expresarse matematicamente por las
    siguientes desigualdades: Restricción 1: 2 x + y = 100
    Restricción 2: x + y = 80 Restricción 3: x = 40
    Cuando x e y crecen, la función objetivo de Gepetto
    también crece. Pero no puede crecer indefinidamente
    porque, para Gepetto, los valores de x e y están limitados
    por las siguientes tres restricciones: Restricciones
    Además, tenemos las restricciones de signo: x = 0 e y =
    0

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    x = 0 (restricción de signo) y = 0 (restricción de
    signo) Formulación matemática del PPL Max z = 3x +
    2y (función objetivo) 2 x + y = 100 (acabado) x + y = 80
    (carpinteria) x = 40 (demanda muñecos) Variables de
    Decisión x = nº de muñecos producidos a la
    semana y = nº de trenes producidos a la semana

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    Max z = 3x + 2y (función objetivo) Sujeto a (s.a:) 2 x + y
    = 100 (restricción de acabado) x + y = 80
    (restricción de carpinteria) x = 40 (restricción de
    demanda de muñecos) x = 0 (restricción de signo) y
    = 0 (restricción de signo) Para el problema de Gepetto,
    combinando las restricciones de signo x = 0 e y = 0 con la
    función objetivo y las restricciones, tenemos el siguiente
    modelo de optimización: Formulación
    matemática del PPL

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    Región factible x = 40 e y = 20 está en la
    región factible porque satisfacen todas las restricciones
    de Gepetto. Sin embargo, x = 15, y = 70 no está en la
    región factible porque este punto no satisface la
    restricción de carpinteria [15 + 70 > 80].
    Restricciones de Gepetto 2x + y = 100 (restricción
    finalizado) x + y = 80 (restricción carpintería) x
    = 40 (restricción demanda) x = 0 (restricción
    signo) y = 0 (restricción signo) La región factible
    de un PPL es el conjunto de todos los puntos que satisfacen todas
    las restricciones. Es la región del plano delimitada por
    el sistema de desigualdades que forman las restricciones.

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    Solución óptima La mayoría de PPL tienen
    solamente una solución óptima. Sin embargo, algunos
    PPL no tienen solución óptima, y otros PPL tienen
    un número infinito de soluciones. Más adelante
    veremos que la solución del PPL de Gepetto es x = 20 e y =
    60. Esta solución da un valor de la función
    objetivo de: z = 3x + 2y = 3·20 + 2·60 = 180 €
    Cuando decimos que x = 20 e y = 60 es la solución
    óptima, estamos diciendo que, en ningún punto en la
    región factible, la función objetivo tiene un valor
    (beneficio) superior a 180. Para un problema de
    maximización, una solución óptima es un
    punto en la región factible en el cual la función
    objetivo tiene un valor máximo. Para un problema de
    minimización, una solución óptima es un
    punto en la región factible en el cual la función
    objetivo tiene un valor mínimo. Se puede demostrar que la
    solución óptima de un PPL está siempre en la
    frontera de la región factible, en un vértice (si
    la solución es única) o en un segmento entre dos
    vértices contiguos (si hay infinitas soluciones)

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    Representación Gráfica de las restricciones 2x + y
    = 100 Cualquier PPL con sólo dos variables puede
    resolverse gráficamente. Por ejemplo, para representar
    gráficamente la primera restricción, 2x + y = 100 :
    Dibujamos la recta 2x + y = 100 (Gp:) 20 (Gp:) 20 (Gp:) 40 (Gp:)
    60 (Gp:) 80 (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80 (Gp:) 100 (Gp:) Y (Gp:) X
    Elegimos el semiplano que cumple la desigualdad: el punto (0, 0)
    la cumple (2·0 + 0 = 100), así que tomamos el
    semiplano que lo contiene.

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    Dibujar la región factible Puesto que el PPL de Gepetto
    tiene dos variables, se puede resolver gráficamente. La
    región factible es el conjunto de todos los puntos que
    satisfacen las restricciones: 2 x + y = 100 (restricción
    de acabado) x + y = 80 (restricción de carpintería)
    x = 40 (restricción de demanda) x = 0 (restricción
    de signo) y = 0 (restricción de signo) Vamos a dibujar la
    región factible que satisface estas restricciones.

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    (Gp:) Y (Gp:) X (Gp:) 20 (Gp:) 20 (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80
    (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80 (Gp:) 100 2x + y = 100 Restricciones 2
    x + y = 100 x + y = 80 x = 40 x = 0 y = 0 Dibujar la
    región factible Teniendo en cuenta las restricciones de
    signo (x = 0, y = 0), nos queda:

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    (Gp:) Y (Gp:) X (Gp:) 20 (Gp:) 20 (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80
    (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80 (Gp:) 100 x + y = 80 Restricciones 2 x
    + y = 100 x + y = 80 x = 40 x = 0 y = 0 Dibujar la región
    factible

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    (Gp:) Y (Gp:) X (Gp:) 20 (Gp:) 20 (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80
    (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80 (Gp:) 100 x = 40 Restricciones 2 x + y
    = 100 x + y = 80 x = 40 x = 0 y = 0 Dibujar la región
    factible

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    (Gp:) Y (Gp:) X (Gp:) 20 (Gp:) 20 (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80
    (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80 (Gp:) 100 2x + y = 100 x + y = 80 x =
    40 La intersección de todos estos semiplanos
    (restricciones) nos da la región factible Dibujar la
    región factible Región Factible

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    (Gp:) Y (Gp:) X (Gp:) 20 (Gp:) 20 (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80
    (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80 (Gp:) 100 2x + y = 100 x + y = 80 x =
    40 Región Factible La región factible (al estar
    limitada por rectas) es un polígono. En esta caso, el
    polígono ABCDE. A B C D E Como la solución
    óptima está en alguno de los vértices (A, B,
    C, D o E) de la región factible, calculamos esos
    vértices. Vértices de la región factible
    Restricciones 2 x + y = 100 x + y = 80 x = 40 x = 0 y = 0

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    Región Factible E(0, 80) (20, 60) C(40, 20) B(40, 0) A(0,
    0) Vértices de la región factible Los
    vértices de la región factible son intersecciones
    de dos rectas. El punto D es la intersección de las rectas
    2x + y = 100 x + y = 80 La solución del sistema x = 20, y
    = 60 nos da el punto D. (Gp:) 20 (Gp:) 20 (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:)
    80 (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80 (Gp:) 100 (Gp:) Y (Gp:) X D B es
    solución de x = 40 y = 0 2x + y = 100 x = 40 x + y = 80 C
    es solución de x = 40 2x + y = 100 E es solución de
    x + y = 80 x = 0

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    (Gp:) Y (Gp:) X (Gp:) 20 (Gp:) 20 (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80
    (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80 (Gp:) 100 Región Factible (0,
    80) (20, 60) (40, 20) (40, 0) (0, 0) Max z = 3x + 2y z = 0 z =
    100 z = 180 Para hallar la solución óptima,
    dibujamos las rectas en las cuales los puntos tienen el mismo
    valor de z. La figura muestra estas lineas para z = 0, z = 100, y
    z = 180 Resolución gráfica

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    Región Factible (0, 80) (20, 60) (40, 20) (40, 0) (0, 0)
    Max z = 3x + 2y z = 0 z = 100 z = 180 La última recta de z
    que interseca (toca) la región factible indica la
    solución óptima para el PPL. Para el problema de
    Gepetto, esto ocurre en el punto D (x = 20, y = 60, z = 180).
    (Gp:) 20 (Gp:) 20 (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80 (Gp:) 40 (Gp:) 60
    (Gp:) 80 (Gp:) 100 (Gp:) Y (Gp:) X Resolución
    gráfica

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    Región Factible (0, 80) (20, 60) (40, 20) (40, 0) (0, 0)
    Max z = 3x + 2y También podemos encontrar la
    solución óptima calculando el valor de z en los
    vértices de la región factible. Vértice z =
    3x + 2y (0, 0) z = 3·0+2·0 = 0 (40, 0) z =
    3·40+2·0 = 120 (40, 20) z = 3·40+2·20
    = 160 (20, 60) z = 3·20+2·60 = 180 (0, 80) z =
    3·0+2·80 = 160 (Gp:) 20 (Gp:) 20 (Gp:) 40 (Gp:) 60
    (Gp:) 80 (Gp:) 40 (Gp:) 60 (Gp:) 80 (Gp:) 100 (Gp:) Y (Gp:) X La
    solución óptima es: x = 20 muñecos y = 60
    trenes z = 180 € de beneficio Resolución
    analítica

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    Hemos identificado la región factible para el problema de
    Gepetto y buscado la solución óptima, la cual era
    el punto en la región factible con el mayor valor posible
    de z.

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    Recuerda que: La región factible en cualquier PPL
    está limitada por segmentos (es un polígono,
    acotado o no). La región factible de cualquier PPL tiene
    solamente un número finito de vértices. Cualquier
    PPL que tenga solución óptima tiene un
    vértice que es óptimo.

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    Un problema de minimización Dorian Auto fabrica y vende
    coches y furgonetas.La empresa quiere emprender una
    campaña publicitaria en TV y tiene que decidir comprar los
    tiempos de anuncios en dos tipos de programas: del corazón
    y fútbol. Cada anuncio del programa del corazón es
    visto por 6 millones de mujeres y 2 millones de hombres. Cada
    partido de fútbol es visto por 3 millones de mujeres y 8
    millones de hombres. Un anuncio en el programa de corazón
    cuesta 50.000 € y un anuncio del fútbol cuesta
    100.000 €. Dorian Auto quisiera que los anuncios sean vistos
    por por lo menos 30 millones de mujeres y 24 millones de hombres.
    Dorian Auto quiere saber cuántos anuncios debe contratar
    en cada tipo de programa para que el coste de la campaña
    publicitaria sea mínimo.

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    Cada anuncio del programa del corazón es visto por 6
    millones de mujeres y 2 millones de hombres. Cada partido de
    fútbol es visto por 3 millones de mujeres y 8 millones de
    hombres. Un anuncio en el programa de corazón cuesta
    50.000 € y un anuncio del fútbol cuesta 100.000
    €. Dorian Auto quisiera que los anuncios sean vistos por por
    lo menos 30 millones de mujeres y 24 millones de hombres. Dorian
    Auto quiere saber cuántos anuncios debe contratar en cada
    tipo de programa para que el coste de la campaña
    publicitaria sea mínimo. Formulación del
    problema:

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    Variables de decisión: x = nº de anuncios en programa
    de corazón y = nº de anuncios en fútbol Min z
    = 50x + 100y (función objetivo en 1.000 €) s.a: 6x +
    3y = 30 (mujeres) 2x + 8y = 24 (hombres) x, y = 0 (no
    negatividad) Formulación del problema:

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    (Gp:) X (Gp:) Y (Gp:) 2 4 6 8 10 12 14 (Gp:) 14 12 10 8 6 4 2 Min
    z = 50 x + 100y s.a. 6x + 3y = 30 2x + 8y = 24 x, y = 0 6x + 3y =
    30 2x + 8y = 24 Dibujamos la región factible.

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    (Gp:) X (Gp:) Y (Gp:) 2 4 6 8 10 12 14 (Gp:) 14 12 10 8 6 4 2 La
    región factible no está acotada Región
    Factible Calculamos los vértices de la región
    factible: A B C El vértice A es solución del
    sistema 6x + 3y = 30 x = 0 Por tanto, A(0, 10) El vértice
    B es solución de 6x + 3y = 30 2x + 8y = 24 Por tanto, B(4,
    2) El vértice C es solución de 2x + 8y = 24 y = 0
    Por tanto, C(12, 0)

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    Región Factible Resolvemos por el método
    analítico A(0, 10) B(4, 2) C(12, 0) (Gp:) X (Gp:) Y (Gp:)
    2 4 6 8 10 12 14 (Gp:) 14 12 10 8 6 4 2 El coste mínimo se
    obtiene en B. Solución: x = 4 anuncios en pr.
    corazón y = 2 anuncios en futbol Coste z = 400 (mil
    €) Evaluamos la función objetivo z en los
    vértices.

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    Región Factible Resolvemos por el método
    gráfico A(0, 10) B(4, 2) C(12, 0) (Gp:) X (Gp:) Y (Gp:) 2
    4 6 8 10 12 14 (Gp:) 14 12 10 8 6 4 2 El coste mínimo se
    obtiene en el punto B. Solución: x = 4 anuncios en pr.
    corazón y = 2 anuncios en futbol Coste z = 400 (mil
    €) Min z = 50 x + 100y s.a. 6x + 3y = 30 2x + 8y = 24 x, y =
    0 Z = 600 Z = 400

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    Número de Soluciones de un PPL Algunos PPL tienen un
    número infinito de soluciones óptimas (alternativas
    o múltiples soluciones óptimas). Algunos PPL no
    tienen soluciones factibles (no tienen región factible).
    Algunos PPL son no acotados: Existen puntos en la región
    factible con valores de z arbitrariamente grandes (en un problema
    de maximización). Los dos ejemplos anteriores, Gepetto y
    Dorian Auto, tienen, cada uno, una única solución
    óptima. No en todos los PPL ocurre esto. Se pueden dar
    también las siguientes posibilidades: Veamos un ejemplo de
    cada caso.

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    Número infinito de soluciones óptimas max z = 3x +
    2y s.a: Cualquier punto (solución) situado en el segmento
    AB puede ser una solución óptima de z =120.
    Consideremos el siguiente problema: 3x + 2y = 120 x + y = 50 x ,
    y = 0 (Gp:) 10 (Gp:) 10 (Gp:) 20 (Gp:) 30 (Gp:) 40 (Gp:) 20 (Gp:)
    30 (Gp:) 40 (Gp:) 50 (Gp:) 50 (Gp:) 60 (Gp:) Y (Gp:) X z = 60 z =
    100 z = 120 A B C Región Factible

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    Sin soluciones factibles s.a: max z = 3×1 + 2×2 No existe
    región factible Consideremos el siguiente problema: 3x +
    2y = 120 x + y = 50 x = 30 y = 30 x , y = 0 (Gp:) 10 (Gp:) 10
    (Gp:) 20 (Gp:) 30 (Gp:) 40 (Gp:) 20 (Gp:) 30 (Gp:) 40 (Gp:) 50
    (Gp:) 50 (Gp:) 60 (Gp:) Y (Gp:) X No existe Región
    Factible y = 30 x = 30 x + y = 50 3x + 2y = 120

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    PPL no acotado max z = 2x – y s.a: x – y = 1 2x + y =
    6 x, y = 0 La región factible es no acotada. Se muestran
    en el gráfico las rectas de nivel para z = 4 y z = 6. Pero
    podemos desplazar las rectas de nivel hacia la derecha
    indefinidamente sin abandonar la región factible. Por
    tanto, el valor de z puede crecer indefinidamente. (Gp:) 1 (Gp:)
    1 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 4 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 5
    (Gp:) 6 (Gp:) Y (Gp:) X z = 4 z = 6 Región Factible

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