Guía teoría de otras estructuras dinámicas y orden de algoritmos
La figura 7.1. presenta un la estructura de la lista circular
Figura 7.1. Estructura de lista circular
Sus características son:
Podemos llegar a los nodos que preceden.
El campo "siguiente" del último nodo contiene un apuntador al primer nodo y no un apuntador nulo (NULL).
Si recorremos toda la lista llegamos al punto inicial.
El apuntador externo q apunta al último nodo. Por lo que para obtener el primer nodo se accesa el siguiente a q.
Un apuntador externo nulo lista circular varia.
Veamos un ejemplo del uso de esta estructura circular en la implementación de una cola.
Si tenemos una cola de dos elementos que queremos se implemente con una cola circular, el segundo (último) elemento de la cola será apuntado por el apuntador externo (q) y el primer elemento por el siguiente a q. esto hace que no sea necesario tener un encabezado con dos apuntadores al primero y último elemento de la cola. Observe la figura
Figura 7.2. Cola de dos elementos
Ahora veamos cómo cambia la estructura de datos.
typedef struct s_nodo
{
ELEM info;
struct s_nodo*sig;
} NODO;
typedef NODO *COLA;
Veamos como cambian las dos operaciones principales de cola: insert y remove.
Figura 7.3. Insertando un elemento en la cola circular
Note que en la inserción el siguiente al último de la cola (apuntado por C) pasa a ser aux y luego debe actualizarse el siguiente de aux para que apunte al primero de la cola.
COLA P_Insert(COLA C,ELEM e)
/* PRE: dada una cola creada y un elemento
POST: coloca el elemento como siguiente al último
*/
{
NODO *aux;
if ((aux=(NODO *)malloc(sizeof(NODO))) != NULL)
{
aux->info = e;
aux->sig = C->sig;
C->sig = aux;
C = aux;
}
return(C);
}
Figura 7.4. Resultado del insert
Si queremos eliminar el primer elemento de la cola que aparece en la figura 7.4 la operación de Remove quedaría.
COLA C_Remove(COLA C)
/* PRE: dada una una cola creada no vacía
POST: remueve el primer elemento de la cola
*/
{
NODO *aux;
aux = C->sig;
C->sig = aux–>sig;
free(aux);
return(C);
}
Se conoce listas doblemente enlazadas a la estructura dinámica que contiene dos apuntadores: uno hacia el siguiente nodo y el otro hacia el nodo anterior. observe lo que ocurre en la figura 7.5.
Figura 6.5. Estructura de listas doblemente enlazadas
Sus características son:
Permite recorrer una lista en dos sentidos: hacia atrás y hacia adelante.
Cada nodo contiene dos apuntadores uno al predecesor y otro al sucesor.
Veamos como cambia la estructura del nodo.
typedef struct s_nodo
{
ELEM info;
struct s_nodo *ant, *sig;
} NODO;
Muchas veces tenemos diferentes algoritmos que solucionan un mismo problema. La idea es buscar un mecanismo que permita compararlos para determinar el mejor.
También es importante tener alguna manera de determinar la eficiencia de un algoritmo. Hay diferentes herramientas una de ellas es el orden O grande.
Orden O grande
El orden O grande es una medida que aproxima el comportamiento de un algoritmo a una función continua. La idea es comparar la cola de la función con la cantidad de cálculos realizados por el algoritmo en términos del volumen de datos.
No quiere decir que efectivamente o exactamente que es esa la función, pero si que se acerca mucho. Es decir, la función viene a ser una cota superior "cercana" al algoritmo. En la medida que crece el volumen de datos el comportamiento del algoritmo se acerca más a dicha función.
Se dice que esa función (f(n)) es el orden del algoritmo y se denota O(f(n)). Para ello se dispone de una escala de comparación que permite decidir cuál función es mejor que otra. Entonces tratamos de buscar la función, dentro de esa escala de comparación, que más se parezca a mi algoritmo.
1 | ( | log n | ( | n | ( | nlog n | ( | nk | ( | en | ||||||||||||
orden ctte | orden logarítmico | orden lineal | orden polinómico | orden exponencial | ||||||||||||||||||
El símbolo ( representa que la función es menor a la siguiente en "la cola " es decir para un tamaño suficientemente grande de n. La intención es buscar algoritmos cuyo orden sea menor que polinómico.
Ejemplos
Búsqueda Secuencial, se basa en buscar un elemento desde el inicio hasta el final del arreglo.
Mejor caso: encontrar en la primera un solo calculo O (1)
Peor caso: Encontrarlo en el último todos los cálculos O (n)
Caso Promedio: O (n/2) que es el mismo O (n)
De esta forma concluimos que el orden de la búsqueda secuencia es O(n).
Búsqueda Binaria, se basa en partir el arreglo tantas mitades como sea necesario hasta encontrar el elemento buscado o no poder seguir realizando particiones.
Mejor Caso: encontrarlo en la primera comparación O(1)
Peor Caso: recorrer toda una rama del árbol que se va desminuyendo en la mitad. Se realizan k comparaciones, con k el tamaño de la rama del árbol, hasta llegar a una hoja.
Es decir , 1 = n / 2k, donde 1 representa la hoja, n el tamaño de los datos y la k el número de particiones realizadas. Nos interesa conocer k, por lo que despejándola, ya que todos los demás datos son conocidos, quedaría k = log2n. Note que estos es una cota superior pues en el caso promedio, el algoritmo se detiene mucho antes.
Por lo tanto hemos concluido que el algoritmo de búsqueda binaria es orden logarítmico.
Si podemos escoger entre usar búsqueda secuencial y búsqueda binaria es mucho mejor usar el algoritmo de búsqueda binaria como lo indica el orden.
EL TEOREMA, DE ADAM FAWER
"Matemáticas en lo Improbable (Porque incluso a los demonios les gustan las sorpresas)."
Demasiadas manos… ¡para perder!
"Hay 133 millones de manos posibles que se pueden hacer con 7 cartas. De estos 133 millones de cartas, sólo 224848 son cuatro del mismo valor. Por lo tanto, sólo hay un 0,16% de posibilidades de conseguir un cuádruple: 595 a 1.
"¿Qué pasa con la escalera del color? "Sólo hay 17238 combinaciones de siete cartas que pueden formar una escalera de color de cinco cartas. Un 0,013% de probabilidades. Una en 7761 manos". (Pág. 19).
Si nuestro objetivo fuera sólo leer la novela, seguramente que habríamos pasado por alto los resultados
que aparecen en la cita anterior, pero, como también pretendemos estudiar algunos aspectos de las matemáticas, no los podemos dar por buenos sin más.
a) Veamos, ¿cuántas manos de 7 cartas se pueden hacer con un baraja de 52 cartas? Si nos molestamos en calcularlas, veremos que son 133.784.560, número que no coincide con el dato de la novela. Averigua cómo se puede obtener este resultado.
b) En cualquier caso, no debemos ser muy severos, porque el contexto en el que aparece ese resultado se presta al manejo de aproximaciones, y 133 millones no está mal, aunque… ¿estaría mejor haber dicho 134 millones? Da tu opinión razonada sobre el asunto.
También nos dice que hay 224848 manos (no cartas, como aparece en el libro…
¿será un error de traducción?) en los que hay cuatro cartas del mismo valor. Aquí sí que las cosas no cuadran, porque realmente hay 5.396.352 formas de obtener cuatro cartas del mismo valor al coger siete de ellas de una baraja de 52 cartas.
c) ¿De dónde sale el resultado que te ponemos? Nuestro personaje está bastante equivocado… ¿Será que no es tan buen calculador como nos quiere hacer creer el autor de la obra?
Ahora te proponemos que calcules cuántas manos de siete cartas pueden formar escalera de color de cinco cartas.
d) ¿Realmente hay 17238 combinaciones como pone el libro? Como puedes ver no hay mucha exactitud en, que digamos, a la hora de asignar resultados calculados por nuestro personaje principal…
e) Una última cuestión: ¿Cuántas manos de siete cartas contendrán 5 de ellas del mismo palo?
La Criptografía también forma parte de las matemáticas
"Fue el director de criptografía quien dio con la solución" (pág. 33). "…escribió una nota al director de criptografía, …(pág. 110). Como decimos en el título, la Criptografía es una de las partes de las matemáticas que se ha desarrollado muchísimo en el último siglo: las guerras mundiales, las tarjetas de crédito, el envío seguro de información por internet y otros muchos temas de actualidad están relacionados con la Criptografía.
a) Averigua qué es la Criptografía y qué relación tiene con los temas enumerados anteriormente. ¿De dónde viene su nombre?
En el Massachussets Intitute of Techcnology, MIT para los amigos, se ha trabajado mucho en Criptografía.
De él provienen las siglas RSA, que se corresponden con los apellidos de tres personas que crearon un sistema de…
b) Ahora te toca a ti. ¿Qué es el sistema RSA? ¿Quiénes lo crearon? ¿Qué relación tiene con la
Criptografía? Los personajes RSA lanzaron un desafío a la comunidad matemática del mundo…
c) ¿Qué es el número "RSA 129"? ¿Qué desafío se planteó con ese número? ¿Cuánto tiempo tardaron los matemáticos de todo el mundo en resolverlo?
d) Recopila información y explica por qué los números primos son tan importantes en la Criptografía.
Un mundo probabilístico
"Heisenberg se equivocó" (pág. 93).
"¿Ahora me sales con que niegas la evaluación?" (pág. 95).
"Maxwell demostró que la segunda ley [de la Termodinámica] sólo era probabilísticamente cierta, o que era verdad la mayor parte del tiempo" (pág 97).
A lo largo de las páginas citadas anteriormente se van desgranando los nombres de varios científicos que contrapusieron:
Creacionismo y evolución
Determinismo e incertidumbre
Verdad absoluta y verdad probabilística
a) Reflexiona sobre estas ideas y expón lo que opinas de cada una de ellas.
b) Relee la página 94 y haz un comentario sobre lo que opinarían de las ideas anteriores los físicos newtonianos.
c) Vuelve a leer la página 114 y relaciona el Principio de Incertidumbre de Heisenberg con el gato de Schrödinger.
¿Merece la pena jugar con esperanza a la quiniela de futbol?
"La manera de calcular lo que espero ganar si pongo un dólar por un cupón [de la loto] es ésta: multiplicaría…" (Pág. 43).
Vuelve a leer, en el libro, la cita anterior y su continuación. Estos cálculos, en matemáticas, sirven para conocer lo que se denomina Esperanza Matemática de ese experimento aleatorio (en este caso el juego de la loto).
Calcula la esperanza matemática del juego que consiste en acertar los 15 resultados de la quiniela futbolística. ¿Cuánto deberías obtener como premio para que el juego fuera equitativo y mereciera la pena jugar?
El interés de una deuda … ¡a la mafia rusa!
"Por cierto, ¿cuánto es el interés?
"El habitual. Cinco por ciento al día, compuesto semanalmente" (Pág. 77).
Posiblemente sea necesario explicar las palabras anteriores: compuesto
semanalmente significa que los intereses generados por la deuda se acumulan cada semana al capital, para volver a generar nuevos intereses en el futuro. Todo esto teniendo en cuenta que cada día los intereses suponen un 5% del capital o, en el caso del protagonista, un 5% de la deuda.
"Era martes, le debía a Nikolaev once de los grandes desde hacía dos días.
Dado que Nikolaev cargaba el 5% de interés por semana, ahora Caine le debía 11.157.
Estaba con el agua al cuello.
"En el camino de regreso desde el hospital, había vaciado su cuenta de ahorros. Todo lo que tenía eran 438,12 $, menos que el interés de una semana" (Pág. 100).
Vamos a ayudar a Caine a repasar las condiciones de su préstamo y a calcular lo que le suponen en sus mermadas arcas.
a) Al 5% de interés semanal, ¿cuánto interés generan 11.000 $ en dos días? La cifra de deuda de 11.157 $, ¿es correcta?
b) ¿Es verdad que 438,12 $ no llegan para pagar el interés de una semana?
c) ¿Es lo mismo el 5% al día, compuesto semanalmente, que el 5% semanal? Explica razonadamente lo que te parece. En la página 112 nuestro protagonista habla de devolver 2.000 $ semanales durante 7 semanas.
d) ¿Es más o menos lo mismo que si pagara los intereses de todo ese tiempo? Una ayuda siempre es buena …
"Diablos, si tú no le hubieses ayudado con el álgebra, probablemente hubiese tenido que abandonar el instituto" (pág. 163).
Este es un buen momento para echar la vista atrás y reflexionar sobre algo que conoces desde hace varios años: el Álgebra.
a) ¿Qué es el Álgebra? ¿De dónde procede el nombre? Seguro que al contestar las cuestiones anteriores habrás encontrado el nombre de un personaje medieval muy relacionado con el álgebra y con la palabra algoritmo.
b) ¿A quién nos estamos refiriendo? Recoge los principales datos biográficos del personaje y sus aportaciones en el campo de las matemáticas.
c) Explica en qué consistían, para el personaje anterior, la Almukábala y la
Algebra.
El problema del cumpleaños
"La teoría de las probabilidades no es más que la vida expresada en números" (pág. 103).
Como puedes ver en esa página y las siguientes, los personajes nos dan una clase práctica sobre el cálculo de probabilidades; en este caso con unos resultados sorprendentes.
Se trata de calcular la probabilidad de que varias personas cumplan años el mismo día del año. Repasando las explicaciones del libro, contesta razonadamente a las siguientes cuestiones, justificando con precisión cada uno de los pasos dados y de los resultados obtenidos:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que tu cumpleaños coincida con el de algún
compañero o compañera de clase? ¿Y cuál la de que no coincida con el cumpleaños de nadie de tu clase?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que tu cumpleaños y el de otro de tu clase (que no nació el mismo día que tú) sean diferentes a los del resto de compañeros y compañeras de clase? ¿Y la de que alguno de vuestros cumpleaños coincida con el de algún otro de la clase?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que todas las personas de tu clase cumplan años en días diferentes? ¿Y la de que al menos haya dos que coincidan?
Según dicen los personajes de la novela en un pasaje cercano al de la cita, las moralejas de este problema son dos:
1. Cuando mayor es la muestra, mayor es la probabilidad de coincidir.
2. La teoría de las probabilidades nunca miente.
Reflexionando sobre estas dos conclusiones, sería muy interesante que aportaras tus ideas sobre ello:
e) ¿Te parecen adecuadas?
f) ¿Podría darse el caso de que, en un grupo de personas, la probabilidad de que
haya dos, al menos, que cumplan años el miso día sea mayor que 0,75? ¿Cuántas personas, como mínimo deberían formar parte del grupo?
A vueltas con el Determinismo
"Si lanzas una moneda al aire, tú dirás que el hecho de que salga cara o cruz es una cuestión de pura suerte o del azar, ¿correcto? "Pues te equivocas. Si fueras capaz de medir todos los factores físicos que intervienen cuando lanzas una moneda: el ángulo de la mano, la distancia al suelo, […] podrías predecir con exactitud del ciento por ciento el resultado de la tirada, porque la moneda está sujeta a las leyes de la física newtoniana, que son absolutas" (pág. 210).
"Es muy bonito en teoría, pero es algo que no funciona en la práctica" (pág. 211).
Vuelve a leer las páginas 208 a 211 de El Teorema y posiciónate al respecto. ¿Es posible predeterminar el resultado del lanzamiento de la moneda? Justifica con argumentos tu contestación.
El juego de la loto
"No podía explicar por qué el 6, 12, 19, 21, 36, 40, más 18 eran sus números…
como enormes números de neón detrás de sus párpados" (Pág. 74).
Nos vamos a centrar en el juego de la loto o la lotería primitiva, y vamos a calcular algunas probabilidades que, estamos seguros, muchas personas están muy interesadas en conocer.
a) Cuál es la probabilidad de acertar los seis números de la combinación ganadora?
b) ¿Y la de acertar los 7 números que forman la combinación ganadora más el número complementario?
c) ¿Cuál debe ser la ganancia esperada o esperanza matemática de este juego?
d) Si hubiera un sorteo cada minuto y cada vez saliera una combinación nueva, ¿cuánto tiempo tardaríamos en completar todas las combinaciones posibles?
El 27 de noviembre de 1754 moriré
"Calculó que dicha fecha sería el 27 de noviembre de 1754. Y cuando ese día llegó, tal como había predicho, De Moivre falleció" (pág. 211).
Parece realmente increíble, pero así debió ocurrir. Aunque sea imposible de predecir… ¿o no es tan
imposible?
a) Elabora una pequeña biografía de Abraham De Moivre, fijándote en especial en su relación con la
Estadística y la Probabilidad.
Por lo que te puede sonar De Moivre es por una fórmula que aparece en las matemáticas de Bachillerato, concretamente en el tema de los números complejos, y que se denomina fórmula De Moivre, que sirve para calcular la potencia de un número complejo.
b) Escribe la Fórmula De Moivre. ¿Sabrías demostrar su validez utilizando el método de inducción
completa? Como ayuda te podemos sugerir que recuerdes las fórmulas de trigonometría para calcular el coseno y el seno del ángulo suma de dos: cos(a+b) y sen(a+b); las vas a necesitar para la demostración.
c) Explica la paradoja de Moivre.
Laplace es mucho Laplace
"En 1770, Laplace presentó su primer trabajo en la prestigiosa Academia de las Ciencias. Después de aquello, quedó claro para todos que era un genio matemático.
Así que dedicó el resto de su vida a dos campos: la probabilidad y la astronomía" (pág. 212).
El capítulo 19 del libro, además de ser cuando nuestro protagonista cree estar viviendo una larga alucinación, también nos proporciona muchos datos de Pierre Simón Laplace.
a) Elabora una biografía de este ilustre matemático, situando sus obras en el tiempo y aportando algunos de sus más famosos resultados.
En relación con estos últimos, no podemos dejar pasar esta oportunidad sin señalar que Laplace es el autor de una fórmula que sirve para calcular probabilidades, conocida en ESO y Bachillerato, y que se denomina Fórmula de Laplace.
b) ¿En qué consiste? ¿Cuándo se puede utilizar? Pon algún ejemplo en el se vea su utilidad.
En el capítulo 19 habrás visto gráficas que representan distribuciones de datos, con una característica común: tienen forma de campana. En matemáticas, a estas formas de distribuirse los datos o resultados se le llama Distribución Normal, y la función que tiene esa representación gráfica se llama Campana de Gauss.
c) Profundiza en el significado de la Distribución Normal y averigua la expresión general de la función que la representa. ¿Por qué se denomina la campana de Gauss?
En 1812 Laplace publicó su obra Teoría Analítica de las probabilidades. En ella aparece el método de los mínimos cuadrados, útil para minimizar los errores.
d) Explica en qué consiste el método anterior. Explícalo con un ejemplo.
Laplace como excusa para resolver un problema sencillo
"Laplace demostró que la mejor manera de predecir la realidad no es calcular la respuesta correcta, sino establecer cuál sería la respuesta menos errónea. En el ejemplo de la moneda, a pesar de que la posibilidad de conseguir dos caras en cuatro tiradas es sólo del 37,5%, la posibilidad de conseguir cualquier otro número de caras es incluso menor y, por lo tanto, la predicción de tener dos
caras es la menos errónea y por consiguiente la más correcta" (pág. 216).
Vamos a estudiar a fondo el problema que se trata en la cita anterior, para ello tiramos una moneda cuatro veces… Gira y gira, parece que se contornea, cae, choca, rebota y por fin deja de moverse. Anotamos el resultado de cada tirada y nos preguntamos:
a) ¿Cuántos resultados podemos obtener después de las cuatro tiradas? Escríbelos todos. El conjunto de los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral, y si lo conocemos con exactitud, la mayoría de las preguntas que nos puedan hacer, sobre resultados del experimento, las podemos contestar con relativa facilidad. Vamos a calcular la respuesta a alguna de ellas, sobre la probabilidad de obtener:
b) Exactamente dos caras. Compara tu resultado con el de la cita.
c) Alguna cruz.
d) Exactamente una cara.
e) Distinto número de caras que de cruces.
Uno de nuestros deseos es llevarte un poco más lejos… Para ello vamos a tirar la moneda un número n de veces, siendo n un número natural mayor o igual que 1. A partir de aquí nos interesa calcular la probabilidad de obtener:
f) Al menos una cara.
g) Exactamente dos cruces (siendo n ³ 2).
h) El mismo número de caras que de cruces (n debe ser par).
i) Un número de caras menor que cuatro (n debe ser n ³ 3 ).
j) Exactamente c caras, siendo n ³ c .
Grandes subidas y grandes desplomes…
"Cuando la noticia se hizo pública a cabo de unas semanas, las acciones subieron como la espuma, desde la cotización de 20,24 $ la acción, que mantenía desde hacía cincuenta y dos semanas, a 101,50 $" (pág. 111).
Por un rato, vamos a ponernos en la piel de Grimes, el personaje, y vamos a pensar en lo que pasa con nuestro dinero invertido en la Bolsa.
a) Si tenemos 200.000 $, como Grimes, compramos acciones a 20,24 $ cada una y al cabo de 52 semanas se ponen a 101,50 $, ¿qué porcentaje de ganancia hemos conseguido? Poco después de lo anterior, las acciones pierden el 98% de su valor. Es una pena, pero hemos perdido mucho dinero…
b) ¿Es cierto que entonces las acciones no valen ni 10.000$?
El mundo económico tiene uno de sus santuarios en la Bolsa, también denominada Mercado de Valores.
c) Busca la información que necesites para hacer un informe sobre la Bolsa: ¿Qué se negocia en ella? ¿Qué son las acciones? ¿Qué significa que la Bolsa suba o baje? ¿cuáles con los principales índices de la Bolsa española? Añade además toda la información que te parezca relevante.
El Demonio de Laplace
"Una inteligencia que en un momento determinado conociera todas las fuerzas que animan a la naturaleza, así como la situación respectiva de los seres que la componen, si además fuera lo suficientemente amplia como para someter a análisis tales datos, podría abarcar en una sola fórmula los movimientos de los cuerpos más grandes del universo y los del átomo más ligero; nada le resultaría incierto y tanto el futuro como el pasado estarían presentes ante sus ojos" (pág. 217).
La cita anterior está tomada de la página 25 del libro de Pierre Simón De Laplace, Ensayo filosófico sobre las probabilidades. En ella se ilustra el concepto central desarrollado en El Teorema, el Demonio de Laplace, aunque aparece en bastantes otras páginas de la novela: 135, 209, 217, 218, 365,…
a) Resume con tus palabras en qué consiste. En el libro de Laplace, Ensayo filosófico…las palabras de la cita continúan con las siguientes:
"El espíritu humano ofrece, en la perfección que ha sabido dar a la astronomía, un débil esbozo de esta inteligencia. Sus descubrimientos en mecánica y geometría, junto con el de la gravitación universal, le han puesto en condiciones de abarcar en las mismas expresiones analíticas los estados pasados y futuros del sistema del mundo.
Aplicando el mismo método a algunos otros objetos de su conocimiento, ha logrado reducir a leyes generales los fenómenos observados y a prever aquellos otros que deben producirse en ciertas circunstancias. Todos sus esfuerzos por buscar la verdad tienden a aproximarlo continuamente a la inteligencia que acabamos de imaginar, pero de la que siempre permanecerá infinitamente alejado. Esta tendencia, propia de la especie humana, es la que la hace superior a los animales, y sus progresos en este ámbito, lo que distingue a las naciones y los siglos y cimenta su verdadera gloria".
b) Estas palabras, que lógicamente no se mencionan en El Teorema, ¿son un jarro de agua fría para los intentos de la ciencia de conseguir hacer realidad el Demonio de Laplace? ¿Podrá ser una realidad en el futuro? Expón tus argumentos con claridad.
En la página 296 del libro, David Caine, el protagonista principal, se siente culpable de las cosas que pasan, puesto que parece que son planificadas y programadas por él. Este sentimiento podrías tenerlo tú mismo si te vieras en la misma situación.
c) Imagínalo y describe alguna sensación y algún sentimiento que podrías tener como consecuencia de tus poderes.
El origen de las probabilidades: ¿el Caballero de Meré era ludópata?, ¿los números nos hacen trampas?
"De Meré era un jugador compulsivo y sus preguntas se referían a un juego de dados muy popular donde el jugador tira cuatro dados. Si lo hacía sin sacar un seis cobraba la apuesta, pero si sacaba un seis, entonces ganaba la casa" (Pág. 41).
"¿Alguien conoce de dónde viene la teoría de las probabilidades? (Pág. 40).
La primera cita continúa en la página 42, donde se muestra que si un jugador hace 100 tiradas, probablemente ganaría 48 y perdería 52 veces.
a) Demuestra que es cierto el resultado anterior.
b) Estudiar la probabilidad de ganar en este juego, en función del número de dados que se puedan lanzar.
El Caballero de Meré, que realmente se llamaba Antoine Gombaud, proporcionó a la historia de las matemáticas algunos problemas que se recordarán siempre. Este jugador escribía a Pascal y le proponía problemas que a él le hubiera gustado tener resueltos, con el fin de tener ventaja en sus partidas. El primero de ellos, que Pascal denominaba el problema de los partidos, dice así:
Después de iniciado un juego en el que participan dos jugadores de igual destreza, donde se requiere conseguir un cierto número de puntos para ganar, es interrumpido antes de que esto ocurra, ¿cómo se han de dividir los premios, sabiendo el número de puntos de cada jugador en el momento de la interrupción?
Está claro que las partes en que se reparten los premios deben ser proporcionales a sus probabilidades respectivas de ganar la partida. Por tanto habrá que calcular esas probabilidades.
c) Resuelve el problema si el número de puntos necesarios para ganar fuera de 5 y los puntos obtenidos por los jugadores al dejar la partida fueran 4 y 3 respectivamente.
Haz lo mismo si ahora lo hubieran dejado después de conseguir 2 y 3 puntos respectivamente.
Este problema, en su enunciado original, fue propuesto por el Caballero de Meré a Pascal, y éste, a su vez, se lo envió a Fermat. Cuenta Laplace que lo resolvieron los dos por caminos diferentes y entablaron una discusión entre ellos sobre cuál de los dos métodos era mejor. Al final uno reconoció la generalidad del método del otro.
d) ¿Quién fue el ganador de esta amigable disputa, Fermat o Pascal?
El segundo problema del Caballero de Meré a Pascal iba acompañado con el comentario en el que decía que había hallado falsedad en los números por la siguiente razón. Si uno se propone obtener un seis con un dado, hay una ventaja como de 671 a 625 en intentarlo en cuatro jugadas. Si uno se propone obtenerlo con dos dados, es desventajoso intentarlo en 24 jugadas. Sin embargo, 24 es a 36, número de caras de dos dados, como 4 es a 6, número de casos en un dado. He aquí un gran escándalo, que le hacía decir que las proporciones no eran constantes y que la aritmética se desmentía. ¿Qué ocurría? Pues ni más ni menos que el Caballero de Meré creía que el número de jugadas debía aumentar proporcionalmente el número de oportunidades totales, cosa que no es exacta, pero está cada vez más próxima a serlo a medida que aumenta el número de oportunidades.
Lee de nuevo el segundo problema del Caballero de Meré y contesta a las siguientes cuestiones:
e) Calcula la probabilidad de obtener un seis al tirar un dado hasta cuatro veces.
¿Por qué dice De Meré que hay una ventaja de 671 a 625?
f) Calcula la probabilidad de obtener dos seises al tirar dos dados hasta 24 veces. ¿Es desventajoso, es decir, la probabilidad es menor que 0,5? Si nos dejan tirar más de 24 veces, ¿entonces la probabilidad es mayor que 0,5?
En el principio estuvo, sobre todo, Blaise Pascal
"Después de ver cómo Blaise se tragaba Euclides, el padre contrató a los mejores maestros de matemáticas, algo que resultó ser una sabia decisión, porque Blaise Pascal se convirtió en uno de los matemáticos más importantes del siglo XVII". (pág. 41).
El genio de Pascal fue la principal materia prima para que se originara una parte nueva en las matemáticas; los problemas del Caballero de Meré no hubieran servido de nada si la genialidad de Pascal no se hubiera fijado en lo que había detrás de ellos. Pero Pascal también se ocupó de otras cosas en matemáticas.
a) Elabora una biografía de Pascal, recogiendo sus aportaciones al campo de las matemáticas.
b) El triángulo de Pascal, también llamado de Tartaglia, ¿en qué consiste? Expón sus principales propiedades.
c) Haz un comentario sobre la máquina de Pascal para calcular como precursora de las calculadoras.
d) Estudia el denominado Teorema de Pascal, enúncialo y expón las características del hexagrama místico.
Laplace también tenía problemas…
"Dos años después de la publicación de Teoría analítica de las probabilidades, escribió un trabajo titulado Ensayo filosófico sobre la probabilidad" (pág. 215).
A propósito del segundo de los trabajos, Laplace expone en él varios problemas, algunos de los cuales te vamos a presentar. El primero de ellos es el problema de San Petersburgo, denominado así porque fue publicado en los Comentarios de la Academia de San Petersburgo por Daniel Bernouilli, utilizando un concepto nuevo que él llamó esperanza moral. Su enunciado es el siguiente:
Pablo juega a cara o cruz con la condición de recibir dos francos si saca cara en la primera tirada, cuatro si no lo saca hasta la segunda, ocho si no lo saca hasta la tercera tirada, y así sucesivamente.
a) Calcula la probabilidad de tener que tira el dado exactamente seis veces para obtener cara por primera vez.
b) Calcular la probabilidad de tener que tirar el dado n veces para obtener cara por primera vez.
c) Calcula la ganancia obtenida en el caso de obtener cara con las condiciones del apartado anterior.
d) Bernouilli es un apellido muy importante en las historia de las matemáticas.
Recoge la información necesaria para elaborar un esquema con todos los matemáticos de esta familia, sitúa a Daniel y elabora una biografía suya. El segundo problema tiene el siguiente enunciado: Dos jugadores juegan juntos a cara o cruz, de tal modo que, en cada tirada, si sale cara A le da una ficha a B, y si sale cruz B le da una ficha a A. El número de fichas de A es ilimitado y el de B es limitado. La partida se acaba cuando B se quede sin fichas. Se trata de averiguar en qué número de jugadas se acabará la partida, en función del número de fichas de B. Laplace dice que se podría apostar un poco menos de uno contra uno a que la partida terminará en 23780 tiradas, y un poco más (de uno contra uno) a que terminará en 23 781 tiradas en el caso en que B tenga 100 fichas.
d) Resuelve el problema para el caso en que B tenga una ficha.
e) Analiza la veracidad de la afirmación de Laplace en el caso en que B tenga 100 fichas.
La Ley de los Grandes Números
" Caine tuvo que admitir que su amigo sabía aceptar las cosas tal comovenían. Eso es algo que siempre le había gustado de Doc: nada le sorprendía. "Es la ley de los grandes números –le había comentado en una ocasión- lo sorprendente sería que algo extraño les ocurriera a todos los habitantes del planeta al mismo tiempo" (pág. 298). La Ley de los Grandes Números fue enunciada y demostrada por primera vez por Jacques Bernouilli, por lo que inicialmente se le denominó teorema de Bernouilli.
Más tarde fue Poisson quien le puso el nombre con el que actualmente se le conoce.
a) Enuncia la Ley de los Grande Números.
b) Haz una biografía de Jacques Bernouilli y averigua en qué obra suya aparece por primera vez la citada Ley.
c) Escribe una biografía breve de Poisson. Laplace, en su obra Ensayo filosófico sobre las probabilidades explica la Ley de los Grandes Números con un ejemplo:
"Tenemos una urna con bolas blancas y negras y cada vez que extraemos una bola de la urna la volvemos a introducir de nuevo en ella antes de proceder a una nueva extracción. Lo que dice la ley de los grandes números es lo siguiente: la probabilidad de que la razón entre el número de bolas blancas extraídas y el total de bolas sacadas no se aparte de la probabilidad de extraer una bola blanca en cada extracción, es muy alta siempre que el número de extracciones sea muy grande".
Dicho en un lenguaje más actual podemos decir de las formas siguientes: Cuando el número de extracciones sea muy grande (tienda a infinito), la razón entre el nº de bolas blancas extraídas y el nº total de extracciones efectuadas se acerca a la probabilidad de extraer bola blanca en cada extracción.
La frecuencia relativa del suceso aleatorio "sacar bola blanca" se acerca al valor de la probabilidad de sacar bola blanca, cuando el número de extracciones tiende a infinito.
d) En el último de los enunciados se habla de frecuencia relativa. ¿Qué significa? También se habla de suceso aleatorio. ¿Qué significa?
e) Reflexiona sobre el enunciado en cualquiera de las formas que te hemos expuesto y da tu opinión sobre si es lógico y comprensible.
f) Idea un método basado en la Ley de los Grandes Números para averiguar el número aproximado de peces que puede haber en un lago. Intenta averiguar también el número de peces de una cierta especie que hay entre los peces del mismo lago.
Del Big Bang a la Teoría matemática del Caos
"Caine había pasado horas atrapado en el despacho de Doc mientras el profesor hablaba poéticamente de todo, desde el Big Bang a la teoría del caos" (pág. 113).
a) ¿Qué es el Big Bang? Explica razonadamente en qué consiste, su origen, defensores, etc.
Así como el Big Bang se encuadra dentro de los conocimientos de la Física, la teoría del caos forma parte de los conocimientos matemáticos surgidos en el siglo XX.
b) Explica en qué consiste la teoría matemática del caos.
Para que tengas un conocimiento más profundo sobre esta nueva teoría matemática, vamos a presentarte un ejemplo sacado de la obra literaria El curioso incidente del perro a medianoche, concretamente en la página 132 de este libro aparece: "He aquí una fórmula para una población de animales Nnueva =l ×(Nvieja ) ×(1-Nvieja ) " La ecuación anterior se llama de P. F. Verhulst, que fue un científico que estudió el crecimiento demográfico y la planteó en 1845. Para simplificar las cosas y que todos la entendamos mejor, vamos a escribir la fórmula así N¢ =l ×N(1- N) , donde N es la población vieja (del año anterior), N¢ es la población nueva (del año siguiente) y l es una constante que llamamos
de fertilidad, que puede cambiar con las condiciones ambientales, de alimentación, depredadores, climáticas, etc. Suponemos, para trabajar con números sencillos, que N y N¢ son números entre 0 y 1 y que representan los millones de individuos de esa especie.
c) Comprueba que si l <1, la población es cada vez más pequeña y se extingue. Hazlo para los casos l =0,5 y N =0,8 , calculando la población en años sucesivos.
d) Si l =1,5 y la población inicial es 0,1, puedes comprobar que al cabo de 3 años la población será de 0,21676. ¿La población va creciendo? Comprueba que se va estabilizando hacia el valor 0,3333. ¡Y esto ocurre aunque el tamaño inicial sea otro! Compruébalo.
e) Verifica que si l =2,5 ,la población se estabiliza en las cercanías del valor 0,6.
f) En el caso l =3,2 , puedes comprobar que la población se estabiliza en valores cercanos a 0,5 y 0,8; un año en uno de ellos y al siguiente en el otro.
g) En el caso de l =3,5 la población se acerca a cuatro valores: 0,38; 0,83 y otros dos valores que debes descubrir por tus propios medios.
h) Comprueba que para l =3,57 aparece el caos; es decir, no podemos predecir el resultado de un año sabiendo el del año anterior.
Este ejemplo fue estudiado en el siglo XX por el biólogo Robert May con la colaboración de otras personas. A su vez, estos resultados, junto con los de otras situaciones, fueron la base para la aparición de un nuevo campo de las matemáticas que estudia este tipo de fenómenos y que se denomina Teoría del Caos.
G) Recopila información y presenta alguna otra situación en la que podamos encontrar el caos.
Algunas ideas que han influido y revolucionado la Ciencia
"Todas las teorías y deducciones que lo habían conducido hasta este punto pasaban en ese momento por su cabeza. La teoría de la relatividad de Einstein, el principio de indeterminación de Heisenberg, el gato de Schrödinger, el multiuniverso de Deutsch, y, por supuesto, el demonio de Laplace" (pág. 135).
Esta cita resume de forma clara muchas de las ideas científicas que aparecen en El Teorema, que se discuten y se explican intentando que el lector reflexione sobre ellas y forme su opinión personal. Nosotros también vamos a proponerte que traslades al papel tus reflexiones sobre estos temas (excepto del demonio de Laplace, que lo tratamos específicamente):
a) Elabora una pequeña biografía de cada uno de los personajes, de no más de una página cada una: Einstein, Heisenberg, Schrödinger y Deutsch.
b) Explica con palabras sencillas en qué consiste cada una de esas ideas, poniendo, si es posible, algún ejemplo que ayude a entenderlas.
c) Expón tu opinión personal sobre la importancia de cada una de ellas.
Y para acabar unos problemillas…
"La probabilidad de hacer una pareja con cualquiera de las dos cartas que tenía en la mano era del 13 por ciento" (pág. 314).
Página siguiente  |