Vibraciones Mecánicas (página 3)

La velocidad se obtiene derivando la
ecuación de la posición obtenida en el apartado
anterior respecto al tiempo:

(5)

Aceleración

La aceleración es la
variación de la velocidad del movimiento respecto al
tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de
la velocidad respecto al tiempo:

(6)

Amplitud y fase inicial

Energía del movimiento armónico
simple

Las fuerzas involucradas en un movimiento
armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas.
En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado
energía potencial (Ep) asociado a la fuerza, de
tal manera que su suma con la energía cinética
(Ec) permanezca invariable a lo largo del
desplazamiento:

(11)

Esta última magnitud Em
recibe el nombre de energía mecánica. Para hallar
la expresión de la energía potencial, basta con
integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a
todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo,
obteniéndose:

(12)

La energía potencial, como la
fuerza, alcanza su máximo en los extremos de la
trayectoria (cuando hace parar a la partícula y reiniciar
la marcha en sentido contrario) y, también como la fuerza,
tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el
punto central del movimiento.

Finalmente, al ser la energía
mecánica constante, puede calcularse fácilmente
considerando los casos en los que la velocidad de la
partícula es nula y por lo tanto la energía
potencial es máxima, es decir, en los puntos x =
– A y x = A. Se obtiene entonces
que,

(13)

4.2.- VIBRACIONES LIBRES.

El análisis de vibraciones es un tema muy amplio
al cual se han dedicado estudios completos, esta
introducción expone de forma resumida algunos aspectos
teóricos de las vibraciones de los sistemas
elásticos, que ayudarán a comprender los
métodos de cálculo de la acción de los
sismos sobre las estructuras basados en sus efectos
dinámicos.

El estudio de las vibraciones se refiere a los
movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos.
Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de
vibrar. Una vibración mecánica es el movimiento de
una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una
posición de equilibrio. La mayoría de las
máquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta
cierto grado por lo que su diseño requiere la
consideración de este efecto dinámico debido a que
ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones.

Una vibración se produce cuando el sistema en
cuestión es desplazado desde una posición de
equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha
posición, bajo la acción de fuerzas de
restitución elásticas o gravitacionales,
moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su
posición de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario
para que el sistema efectúe un ciclo completo de
movimiento se llama periodo de vibración, el
número de ciclos por unidad de tiempo define la
frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema
desde su posición de equilibrio se denomina amplitud
de vibración.

Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como
lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el
principio de superposición y las técnicas
matemáticas para su tratamiento están bien
desarrolladas (Ley de Hooke). Por el contrario las
técnicas para el análisis de sistemas no lineales
son más complicadas y no muy conocidas.

Existen dos clases de vibraciones, las libres y las
forzadas. Cualquier sistema elástico puede tener una
vibración libre a consecuencia de un impulso
inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por
las fuerzas de restitución inherentes al mismo. El sistema
bajo vibración libre vibrará en una o más de
sus frecuencias naturales, dependientes de la distribución
de su masa y rigidez.

Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras
externas, el movimiento resultante es una vibración
forzada. Cuando la excitación es oscilatoria, ya sea
periódica o no, como la de un sismo, el sistema es
obligado a vibrar a la frecuencia de excitación, si
ésta coincide con una de las frecuencias naturales del
sistema se produce resonancia, en este estado tienen
lugar oscilaciones peligrosamente grandes; así la falla
por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una
dramática posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por
este motivo el cálculo de las frecuencias naturales de
vibración es de gran importancia en el diseño
sísmico de
estructuras.          

DEFINICIÓN

Una estructura está en vibración libre
cuando es perturbada de su posición estática de
equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza
externa alguna (p(t) = 0).

VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA

Figura 4.1 Sistema SDF: vibración
libre sin amortiguamiento [ref. 12]

La ecuación que representa el movimiento de un
sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está
sometido a la acción de una fuerza externa es:

El movimiento representado por la ecuación 4.5
puede también ser expresado en la forma:

Figura 4.2 Vibración libre,
representación vectorial [ref. 13]

Donde u0 es la magnitud del desplazamiento
máximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual esta
dada por:

(4.9)

Y el ángulo de fase esta dado por:

(4.10)

En la Figura 4.2 esta representada vectorialmente la
ecuación de movimiento, donde la respuesta esta dada por
la parte real o proyección horizontal de los dos vectores
de rotación; y el ángulo de fase representa la
distancia angular de retraso en la respuesta del término
del coseno.  

Tipos de Movimiento

Figura 4.3 Vibración libre de un
sistema críticamente amortiguado, sobreamortiguado y
subamortiguado

4.4.2        Sistema
subamortiguado

Para un sistema subamortiguado (?<<em>1)
el desarrollo de la ecuación 4.12 se encuentra en el
Apéndice I, y su solución es:

(4.15)

Donde wD es la frecuencia natural de
vibración amortiguada y su valor es:

(4.16)

Figura 4.4 Efecto del amortiguamiento en
Vibración libre

Nótese que la ecuación 4.15 aplicada a un
sistema no amortiguado (?=0) se reduce a la ecuación 4.5.
La Figura 4.4 ilustra una comparación entre un sistema
subamortiguado y uno sin amortiguamiento; se observa que la
amplitud del sistema no amortiguado es la misma en todos los
ciclos de vibración, en cambio para el sistema amortiguado
la amplitud decrece y lo hace en forma exponencial.

El valor del periodo natural de vibración
amortiguado es:

(4.17)

y está relacionado con el periodo natural sin
amortiguamiento de la siguiente forma:

(4.18)

La relación entre dos desplazamientos pico en un
intervalo de tiempo TD es constante, y el decremento
logarítmico está definido como el logaritmo natural
de esta cantidad y está dado por:

(4.19)

y la relación entre dos desplazamientos cuales
quiera es:

(4.20)

4.3.- APLICACIÓN DE LA SEGUNDA LEY DE
NEWTON. 

Dijimos anteriormente que, cuando una fuerza
actúa sobre un cuerpo,  cambia su velocidad en
intensidad o dirección, esto significa que el cuerpo
adquiere aceleración. 

La ecuación anterior, contiene la siguiente
información:

La fuerza resultante y la aceleración son
vectores que tienen la misma dirección y
sentido.

Si la suma de las fuerzas aplicadas es cero, entonces la
aceleración es cero.(Lo que significa que el cuerpo
está en reposo, o que se mueve con velocidad constante. La
ley de Newton lleva implícita la primera ley)

Si la fuerza aplicada aumenta, la aceleración
aumenta proporcionalmente.

  Si se aplica la misma fuerza a dos cuerpos, uno
de gran masa y otro de masa menor, el primero adquirirá
una pequeña aceleración y el segundo, una
aceleración mayor. (la aceleración es inversamente
proporcional a la masa).

Ejemplos de la segunda Ley de Newton

  Ejemplo 1

  Se patea una pelota con una fuerza
de 1,2 N y adquiere una aceleración de 3 m/s2,
¿cuál es la masa de lota?

4.4.- APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE LA
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.

La energía se puede presentar en
formas diferentes, es decir, puede estar asociada a cambios
materiales de diferente naturaleza. Así, se habla de
energía química cuando la transformación
afecta a la composición de las sustancias, de
energía térmica cuando la transformación
está asociada a fenómenos caloríficos, de
energía nuclear cuando los cambios afectan a la
composición de los núcleos atómicos, de
energía luminosa cuando se trata de procesos en los que
interviene la luz, etc.

Los cambios que sufren los sistemas
materiales llevan asociados, precisamente, transformaciones de
una forma de energía en otra. Pero en todas ellas la
energía se conserva, es decir, ni se crea ni se destruye
en el proceso de transformación. Esta segunda
característica de la energía constituye un
principio físico muy general fundado en los resultados de
la observación y la experimentación
científica, que se conoce como principio de
conservación de la energía.

Otro modo de interpretarlo es el siguiente:
si un sistema físico está aislado de modo que no
cede energía ni la toma del exterior, la suma de todas las
cantidades correspondientes a sus distintas formas de
energía permanece constante. Dentro del sistema pueden
darse procesos de transformación, pero siempre la
energía ganada por una parte del sistema será
cedida por otra. Esto es lo que sucede en el universo, que en su
conjunto puede ser considerado como un sistema
aislado.

Una descripción matemática de
este principio puede efectuarse como sigue: sea S un sistema
aislado, el cual tras un proceso de transformación interna
pasa a convertirse en S'. Representando por E la energía
total del sistema o suma de las cantidades correspondientes a las
diferentes formas de energía presentes en él, la
conservación de la energía se expresaría en
la forma:

E' = E (6.1)

o también:

es decir, la variación DE de la
energía total E del sistema por efecto de su
transformación interna ha sido nula.

Si se considera que el sistema está
formado sólo por dos partes o subsistemas 1 y 2, la
aplicación del principio de conservación de la
energía supondrá ahora:

lo que expresa que la energía ganada
DE por el subsistema 1 es igual a la perdida, – DE2, por el
subsistema 2 sin que haya habido en conjunto variación
alguna en la energía total del sistema.

Transformación de
energía:

Acto de transmitir energía a un
cuerpo.

Ejemplos:

· En forma de calor: se puede
transferir energía a un cuerpo suministrándole
calor. Cuando una sustancia sufre algún cambio de
temperatura (calor/frío), experimenta un cambio
físico que hace variar su aspecto.

· En forma de trabajo: se puede
transferir energía a un cuerpo ejerciendo sobre él
algún tipo de trabajo.

Degradación de
energía:

La experiencia demuestra que conforme la
energía va siendo utilizada para promover cambios en la
materia va perdiendo capacidad para ser empleada nuevamente. El
principio de la conservación de la energía hace
referencia a la cantidad, pero no a la calidad de la
energía, la cual está relacionada con la
posibilidad de ser utilizada. Así, una cantidad de
energía concentrada en un sistema material es de mayor
calidad que otra igual en magnitud, pero que se halle
dispersa.

Aun cuando la cantidad de energía se
conserva en un proceso de transformación, su calidad
disminuye. Todas las transformaciones energéticas
asociadas a cambios materiales, acaban antes o después en
energía térmica; ésta es una forma de
energía muy repartida entre los distintos componentes de
la materia, por lo que su grado de aprovechamiento es peor. Este
proceso de pérdida progresiva de calidad se conoce como
degradación de la energía y constituye otra de las
características de esta magnitud o atributo que han
identificado los físicos para facilitar el estudio de los
sistemas materiales y de sus transformaciones.

4.5.- VIBRACIONES FORZADAS.

Las vibraciones más importantes
desde el punto de vista de las aplicaciones de ingeniería
son las vibraciones forzadas de un sistema. Estas vibraciones
ocurren cuando un sistema está sujeto a una fuerza
periódica o cuando está unido elásticamente
a un soporte que tiene un movimiento alternativo.

Consideremos el caso de un cuerpo de masa
m suspendido de un resorte unido a un soporte. La
vibración obtenida en este sistema consiste en dos
vibraciones superpuestas. Una es una vibración libre del
sistema. La frecuencia de esta vibración es llamada
frecuencia natural del sistema. Esta vibración libre es
llamada también vibración transitoria ya que en
realidad será amortiguada rápidamente por las
fuerzas de rozamiento. La otra vibración superpuesta es la
vibración del estado estacionario producido y mantenido
por la fuerza aplicada o por el movimiento aplicado por el
soporte. Esta frecuencia es la frecuencia forzada generada por
esta fuerza o movimiento y, su amplitud xm, depende de la
razón de frecuencia ð/p. La razón de amplitud
xm de la vibración de estado estacionario a la
deformación estática Pm/k causada por una fuerza
Pm, o a la amplitud dm del movimiento de soporte se llama factor
de amplificación.

La fuerza aplicada o el movimiento aplicado
por el soporte se dice que está en resonancia con el
sistema dado. La resonancia se define como un fenómeno que
presenta un sistema físico influido por una fuerza de
excitación periódica externa, en la que la amplitud
resultante de la oscilación del sistema resulta grande
cuando la frecuencia de la fuerza de excitación se
aproxima a una frecuencia de oscilación libre natural de
un sistema. En realidad, la amplitud de vibración
permanece finita a causa de las fuerzas de amortiguamiento; sin
embargo tal situación debe evitarse si la frecuencia
forzada no debe escogerse muy cercana a la frecuencia natural del
sistema.

En el caso de ð < p, la
vibración forzada está en fase con la fuerza
aplicada o el movimiento aplicado por el soporte, mientras que
para ð > p, la vibración forzada se encuentra
180º fuera de fase. Cuando la excitación es
oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de
excitación. Si ésta coincide con una de las
frecuencias naturales del sistema, se produce una
situación de resonancia y ocurren situaciones realmente
graves. La falla de estructuras mayores como puentes, edificios o
alas de aviones, es una horrible posibilidad, bajo resonancia.
Así el cálculo de las frecuencias naturales es de
importancia capital en el estudio de las vibraciones.

VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO
VISCOSO

UNIDAD 5

Balanceo
dinámico

5.1.-DESEQUILIBRIO DINAMICO

El desequilibrio estático es aquel que podemos
encontrar colocando el rotor en unas paralelas y dejándolo
que gire por sí mismo hasta que se para. La parte
más pesada del conjunto del rotor quedará en la
parte baja y la menos pesada en la parte alta del
rotor.

        Si un rotor
solo tiene desequilibrio estático, es decir que el
desequilibrio está distribuido en toda su longitud y en un
mismo ángulo, el comportamiento en el momento de girar
será como se representa en la figura siguiente; el eje de
giro y el de inercia se separan, en paralelo, una distancia que
depende de la fuerza generada por el desequilibrio.

        Para
compensar el desequilibrio estático podemos colocar una
masa en cada lado y en sentido contrario al desequilibrio o bien
una masa en el centro del rotor de un valor igual a la suma del
desequilibrio estático.

       
Generalmente, basándonos en la norma VDI 2060, el
equilibrado estático o en un plano se realiza en rotores
estrechos con separación entre cojinetes muy grande donde
el par de fuerzas no tiene demasiada importancia y dependiendo
siempre de la perpendicularidad respecto al eje y del tipo de
emplazamiento.

        En las
equilibradoras computarizadas de Elettrorava podemos ver al
unísono el desequilibrio estático y el par de
fuerzas; para estar seguros si el equilibrado en un solo plano es
suficiente debemos conocer la fuerza que soportan los asientos de
los rodamientos o cojinetes y comprobar que dividiendo la
cantidad indicada del par de fuerzas entre la distancia entre
soportes de cojinetes, el resultado no supera dicha fuerza. La
práctica demuestra que si un rotor tiene una anchura
inferior a una tercera parte de su diámetro y esta anchura
no supera los 100 mm., el equilibrado estático o en un
solo plano es suficiente, no obstante debemos recordar que un
equilibrado en dos planos o dinámico es más costoso
pero es definitivo. También se utiliza el equilibrado
estático en piezas sin solidificar como pueden ser las
muelas abrasivas antes de pasar por el
horno       

Debemos tener presente que un rotor que está
equilibrado estáticamente puede tener un desequilibrio
dinámico muy grande y por tanto provocar vibraciones, es
por ello que los equipos de medición de calidad deben
presentar al equilibrador, además del desequilibrio
estático, el desequilibrio de cada lado o dinámico
para que el usuario pueda determinar el tipo de equilibrado que
conviene. El desequilibrio dinámico es aquel que aparece
cuando el rotor está en rotación, es decir que no
podríamos detectarlo en unas paralelas como el
estático y para ello es imprescindible colocar el rotor en
una máquina equilibradora o bien realizar la
medición funcionando "in situ".

       
Fijémonos en la figura 5, donde podremos ver un rotor de
dos discos donde cada disco tiene un desequilibrio del mismo
tamaño pero desfasados 180° entre
sí.

        Los pesos P1
y P2 ejercen cada uno de ellos una fuerza en el mismo sentido
pero una a cada lado del eje de rotación (flechas negras)
de forma que el rotor se mantiene equilibrado
estáticamente; pero cuando este rotor gire a su velocidad
de funcionamiento se presentaran unas fuerzas F1 y F2 provocadas
por los pesos P1 y P2 dando lugar a un par de fuerzas,
desequilibrio dinámico, que causará el
desplazamiento del eje de giro y el eje de inercia y provocara
vibraciones cuya intensidad dependerá del tamaño de
P1 y P2 y de la velocidad de giro del rotor.

        El
comportamiento de las fuerzas centrífugas del rotor,
cuando el desequilibrio es dinámico es como se ve en la
figura 6.

       Como
el rotor estará alojado en soportes de rodamientos,
transmitirá la vibración, a través de
éstos, al conjunto máquina que lo soporta; podemos
deducir, de todo lo tratado en este capítulo, que un
equilibrado estático no siempre es suficiente para un
rotor y que el mayor número de ocasiones debemos
equilibrar dinámicamente, es decir en dos planos, que
además incluye el estático; además, en el
equilibrado existen otros problemas como la elasticidad,
flexión, resonancia, etc., que trataremos más
adelante en ejemplos de rotores concretos donde intervienen otros
factores causantes de vibraciones en las
máquinas.

5.2.- BALANCEO EN UN PLANO

Un análisis de un sistema de autobalanceo es presentado
en este artículo, el cual utiliza cuerpos (bolas)
balanceadores que se mueven libremente al girar junto con el
rotor por balancear. Utilizando las ecuaciones de Lagrange,
nosotros derivamos las ecuaciones no lineales de movimiento para
un sistema autónomo con respecto a un sistema de
coordenadas polar. De las ecuaciones de movimiento para el
sistema autónomo, las posiciones de equilibrio y las
ecuaciones lineales del variacional son obtenidas por el
método de perturbación. A causa de la resistencia
para el movimiento, la excentricidad, a una velocidad excesiva
hace a que los cuerpos balanceadores sean movidos y la influencia
de las vibraciones externas hace imposible lograr un balanceo
completo. Basado en las ecuaciones del variacional, la
estabilidad dinámica del sistema en la cercanía de
las posiciones de equilibrio se investiga. Los resultados del
análisis de estabilidad proporcionan los requerimientos de
diseño para el sistema de autobalanceo.

El desbalance es la distribución irregular de las masas
de un cuerpo respecto al centro geométrico de
rotación, dando como resultado la descompensación
de masas que al girar con cierta aceleración originan
fuerzas excitadoras radiales que causan desgaste,
vibración, componentes doblados o rotos y componentes
excéntricos. Si se aplica la técnica de balanceo
automático a la maquinaria rotatoria, se pueden eliminar
problemas de vibración por desbalance, dando como
resultado mayor disponibilidad y confiabilidad en la maquinaria
rotatoria, así como una mayor durabilidad de esta.

La rotación de cuerpos o rotores en desbalance producen
vibración y provocan cargas dinámicas adicionales.
Las altas velocidades de los equipos rotatorios actuales hacen de
este problema una necesidad rigurosa en materia de balance de las
partes en movimiento. Sin embargo en un sistema donde la
distribución de las masas varía, durante la
operación o cada vez que tiene que ser arrancada
nuevamente por algún paro técnico, el método
convencional de balance de rotores se vuelve
impráctico.

Es aquí donde los métodos de autobalance se
pueden practicar y tratar de eliminar los tiempos muertos de
estos equipos por paros necesarios debido al desbalance. Estos
métodos de autobalance se basan en mecanismos ya sea
líquidos o cuerpos (péndulos, bolas, etc.) que se
posicionan en sentido opuesto a la fuerza que provoca el
desbalance. En el caso de un líquido, el grado de balance
que se puede lograr es del 50% del desbalance original e inicial.
Mientras que al utilizar péndulos o bolas es
teóricamente posible optimizar el balanceo al 100%.

En los mismos sistemas de balanceo, la investigación
básica se comenzó por Thearle [2, 3], Alexander [4]
y Cade [5]. El análisis dinámico de las ecuaciones
diferenciales para los mismos sistemas de balanceo puede
encontrarse en las referencias [7-9]. Las ecuaciones obtenidas
son para los sistemas no autónomos, estas ecuaciones
tienen las limitaciones en el análisis de estabilidad.
Chung y Ro [9] estudiaron la estabilidad y la conducta
dinámica de un ABB para el rotor Jeffcott. Ellos derivaron
las ecuaciones de movimiento para un sistema autónomo
usando las coordenadas polares en lugar de las coordenadas
rectangulares. Hwang y Chung [10] aplicaron este acercamiento al
análisis de un ABB con carreras dobles. En este estudio,
los autores consiguieron un análisis similar para un eje
flexible con dos sistemas de balanceo. Describiendo el centro
geométrico del rotor con las coordenadas polares, se
derivan las ecuaciones no lineales de movimiento para un sistema
autónomo de la ecuación de Lagrange. Después
de una posición de equilibrio balanceado y linealizando
las ecuaciones en la cercanía de la posición de
equilibrio son obtenidas por el método de
perturbación.

Por un largo tiempo el balanceo automático en un plano
ha sido un fenómeno bien conocido (según Blekhman
2000, sperling et al 1998).

Este método fue propuesto por Thearle para el
balanceo en un plano, desarrollando la metodología y
verificando la eficiencia del mismo. Más adelante R.
Sokolowska investigó la posibilidad de compensar las
fuerzas dinámicas por el objeto rotante y comprobó
que sólo una parte del desbalance podría ser
compensado por elementos libres.

Si el rotor tiene desbalance estático y
desbalance dinámico entonces existen fuerzas
centrífugas y momentos que giran con el rotor, donde estas
fuerzas actúan a lo largo de todo el sistema del rotor, en
un plano transversal; para esto es necesario introducir o crear
dos fuerzas, en planos previamente analizados, similares a las
fuerzas originadas por el desbalance pero en sentido opuesto,
tratando de llevar la vibración originada inicialmente a
cero. Esto se puede lograr con elementos rodantes en discos con
una arquitectura de tal manera que las bolas o esferas busquen
una posición a 180º de las fuerzas inerciales de
origen.

Finalmente la aportación de la
investigación será la de realizar el
análisis dinámico para un rotor tipo Stodola-Green
aplicando una metodología similar a la que utilizaron los
investigadores mencionados anteriormente, en la cual
también se tendrá la tarea de realizar una
simulación computarizada para el sistema de ecuaciones, en
la cual se podrá observar el
comportamiento del sistema de balanceo.

Cabe destacar que esta teoría será
aplicable en casos como el de una lavadora; en donde en la etapa
de secado, la ropa no se distribuye uniformemente al estar
girando la tina. Lo cual esta mala distribución de la ropa
ocasiona que los soportes y los rodamientos tengan un desgaste
excesivo provocando que tengan una duración más
corta. Este sistema automáticamente compensará esta
vibración y optimizará el comportamiento de los
elementos en cuestión.

Así como este ejemplo existen muchos otros, de
mayor o igual importancia, ya que el desbalanceo en maquinaria
rotatoria provoca una menor durabilidad de esta, además de
que de igual manera se pone en riesgo a las personas que operan
estos equipos. Algunos otros equipos que podríamos
mencionar en los cuales se pudiese implementar un sistema de
balanceo automático son: unidades de CD-ROM, maquinaria
rotodinámica como son (turbinas, motores, etc.).
Así pues, el propósito fundamental de esta
investigación es la de eliminar el desbalance en la
maquinaria rotatoria por medio del balanceo
automático.

2.- Ecuaciones de movimiento.

Figura 1.- Sistema de autobalanceo en un
rotor tipo Stodola-Green.

El rotor tipo Stodola-Green con un sistema de
autobalanceo es mostrado en la figura 1, en la cual la flecha del
rotor está apoyado en uno de sus extremos por el mismo
sistema de autobalanceo. En este análisis es supuesto que
la masa de la flecha es despreciable comparado con la masa del
rotor. El sistema de coordenadas XYZ es un marco de referencia
inercial con un espacio-fijo y los puntos C y G son el centro de
masa y centroide del rotor respectivamente. El punto O puede ser
considerado como la proyección de centroide C hacía
el eje O`Z. El balanceador de bolas consiste de un rotor circular
con una ranura que contiene las bolas y un fluido humedecedor.
Las bolas se mueven libremente en la ranura y el rotor con una
velocidad angular ?. Es supuesto que la deflexión de la
flecha es pequeña pero puede asumirse que el centroide C
se mueve en el plano XY.

Figura 2.- Representación
esquemática del sistema de autobalanceo.

En la cual todos los componentes son vectores unitarios
a lo largo de las direcciones asociadas
respectivamente.

En el primer paso es considerado la energía
cinética del rotor con el sistema de autobalanceo. El
vector de posición del centro de masa G puede ser
expresada usando la
matriz de rotación:

En el cual J es el momento de inercia de la masa sobre
el eje x,y,z. Despreciando la gravedad, el par torsional y la
deflexión longitudinal de la flecha, la energía
potencial o la emergía de tensión, forman los
resultados de la curva de deflexión de la flecha. Como se
muestra en la Figura 1.

En donde ct y cr es respectivamente el coeficiente de
humedecimiento equivalente para la traslación y
rotación y D es el coeficiente de viscosidad
de rozamiento de las bolas en el fluido humedecedor.

Y las ecuaciones linealizadas de moviendo
son:

Es supuesto en las 4 ecuaciones anteriores
que:

24)

Simulación.

El criterio de Routh-Hurwitz mantiene una
condición suficiente para las partes reales de todas las
raíces para ser negativas. Los parámetros de la

geometría siguiente son considerados como:

Figura 3.- Posible posición de
equilibrio par a las variaciones de velocidad de
rotación.

 Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Figura 4.- Representación
esquemática de 2 posiciones del rotor a) Posición
de equilibrio,

b) posición de desequilibrio.

Conclusiones.

Los cuerpos balanceadores (bolas) del sistema de
autobalanceo no asumen las posiciones que aseguren el
balanceamiento completo del rotor. Las posiciones eficaces de un
cuerpo balanceador difieren por la posición de equilibrio
((.( Otras razones que también pueden aparecer son la
fricción de los cuerpos balanceadores contra las caras que
están dispuestas dentro de ellos, irregularidades de forma
o la distribución del peso asimétrico axial de los
cuerpos balanceadores. Los errores de posición son
relativamente grandes y el más grande de ellos es el alto
coeficiente de resistencia al movimiento rotativo (/(y es la
razón más alta de o (cuando es mayor que 1) Para
reducir estos errores sería necesario cambiar el
método de guiado de los cuerpos balanceadores. Por ejemplo
aire amortiguado, cuerpos suspendidos por fuerzas
magnéticas o electrostáticas.

debe ser mayor que la primera frecuencia natural,(Para
obtener el balanceo, el fluido humedecedor D y la
disipación por translación ct son necesarios para
obtener el balanceo, pero la disipación por
rotación cr no lo es. La estabilidad del sistema se ha
analizado con las ecuaciones lineales del variacional y el
criterio de Routh-Hurwitz.

5.3.-BALANCEO EN DOS PLANOS " I N S I T U "

Se puede equilibrar una máquina "in situ",
equilibrando un solo plano cada vez. En tal caso, sin embargo,
los efectos cruzados y la interferencia de los planos de
corrección a menudo requieren que se equilibre cada
extremo del rotor dos o tres veces para alcanzar resultados
satisfactorios. Además, algunas máquinas pueden
llegar a necesitar hasta una hora para alcanzar su velocidad de
régimen, y esto introduce más demoras en el
procedimiento de balanceado.

El equilibrado "in situ" es necesario para rotores muy
grandes para los que las máquinas de equilibrado no
resulten prácticas. Incluso, aun cuando los rotores de
alta velocidad se equilibren en el taller durante su
fabricación con frecuencia resulta necesario volverlos a
equilibrar "in situ" debido a ligeras deformaciones producidas
por el transporte, por fluencia o por altas temperaturas de
operación.

Se han desarrollado métodos de equilibrado en dos
planos "in situ" que se pueden expresar haciendo uso del
álgebra compleja y se resuelven con una calculadora
programable. En el análisis que sigue se usarán
letras en negrita para representar números
complejos:

En la figura anterior, se supone que existen los
desequilibrios desconocidos ML y MR en los planos de
corrección izquierdo y derecho, respectivamente. Las
magnitudes de estos desequilibrios son ML y MR y se localizan en
los ángulos FR y FL a partir de la referencia de la
rotación. Una vez que se hayan determinado estos
desequilibrios, bastará con localizar sus negativos en los
planos izquierdo y derecho para lograr el equilibrado.

Los desequilibrios giratorios ML y MR producen
perturbaciones en los cojinetes A y B. Los equipos comerciales
para equilibrado "in situ" permiten medir las amplitudes y los
desfasajes angulares de estas perturbaciones. Se usará la
notación X = X/F, con los subíndices apropiados,
para designar estas amplitudes.

En el equilibrado "in situ", se llevan a cabo tres
ensayos (Método de las tres carreras):

(En las pruebas anteriores, el término "masa de
ensayo" significa lo mismo que desequilibrio de ensayo, si se
utiliza una distancia unitaria desde el eje de
rotación)

Para desarrollar las ecuaciones para el desequilibrio se
define primero el concepto de rigidez compleja. Se entiende como
tal, a la amplitud que resultaría en cualquiera de los
cojinetes debida a un desequilibrio unitario ubicado en la
intersección de la marca de referencia giratoria (desfase
nulo) y

Uno de los planos de corrección. Por
tanto, es necesario encontrar las rigideces complejas (AL, BL) y
(AR, BR) debidas a un desequilibrio unitario ubicado en la
intersección de la marca de referencia giratoria los
planos L y R, respectivamente. Conocidas las rigideces, y de
acuerdo con los tres ensayos descritos anteriormente, se
podrían escribir las siguientes de ecuaciones
complejas:

Realizados los tres ensayos, las rigideces serán
las únicas incógnitas en estas
ecuaciones:

Una vez determinadas las rigideces, y de acuerdo con la
definición de rigidez compleja, del primer ensayo se
tiene:

Y resolviendo simultáneamente este par de
ecuaciones, pueden determinarse los desequilibrios
incógnitas

en ambos planos de equilibrado:

5.4.-METODOS DE BALANCEO

BALANCEO DINÁMICO

En una pieza en rotación (rotor),
cada punto de su masa está sometido a la acción de
una fuerza radial que tiende a separar ese punto del eje de
rotación.Si la masa del rotor está uniformemente
distribuida alrededor del eje, ese rotor estará
"balanceado" y su rotación no generará vibraciones.
Por el contrario si en algún lugar sobra algo de peso,
este generará una fuerza centrífuga no equilibrada
que debe ser soportada por los apoyos.La siguiente fórmula
se utiliza para calcular la fuerza no equilibrada:

Utilizando unidades prácticas podemos calcular la
fuerza F en kilogramos que genera masa de p gramos que gira a r
metros del eje de rotación y a n rpm. Debemos agregar la
constante 893653 para el ajuste de unidades.

F = r . p . n2  / 893653

Ejemplo: Un peso de 20 g girando a 30 cm del eje de
rotación generará una fuerza giratoria de 6.7 Kg a
1000 rpm, 26.9 Kg a 2000 rpm, 107.4 Kg a 4000 rpm etc.

-Desbalanceo estático:Existe
desbalanceo estático cuando la masa que sobra está
en el mismo plano (perpendicular al eje de rotación) que
el centro de gravedad del rotor. Esto provoca que el eje
principal de inercia del conjunto se desplace paralelamente al
eje de rotación. Este desbalanceo se corrige con
un contrapeso opuesto al peso sobrante. El desbalanceo
estático se aprecia en piezas de diámetro mucho
mayor que el largo (discos), como por ejemplo hélices,
volantes etc. pero ocasionalmente en cilindros de diámetro
comparable con el largo.Si montamos una pieza muy
desbalanceada sobre apoyos que ofrezcan muy poca resistencia a la
rotación, el rotor se moverá por acción de
la gravedad y quedará con el peso sobrante hacia
abajo.

-Desbalanceo dinámico:Este es el
caso más frecuente y general de desbalanceo y provoca que
el eje principal de inercia de una pieza desbalanceada no sea
paralelo al eje de rotación y no pase por el centro de
gravedad de la pieza. En este caso solo se puede balancear
colocando dos contrapesos en dos planos perpendiculares
al eje de rotación y con posiciones angulares distintas.Si
una montamos una pieza muy desbalanceada sobre apoyos
que ofrezcan muy poca resistencia a la rotación, en el
caso de que los pesos que provocan el desbalanceo estén en
planos distintos y a 180º entre sí, el rotor
no se moverá por acción de la gravedad y
quedará detenido en cualquier posición.El
desbalanceo estático y dinámico son definidos por
la norma ISO 1925. Una máquina equilibradora nos indica la
cantidad y la posición de los contrapesos que debemos
agregar en cada plano de equilibrado, para evitar las vibraciones
ocasionadas por desbalanceo.

UNIDAD 6

Control de
vibración

6.1.- INSTRUMENTOS DE VIBRACIÓN

INSTRUMENTOS PARA MEDIR LA VIBRACION:

Las vibraciones que se van a medir pueden clasificarse
como:

Vibraciones periódicas.

Vibraciones de choque o transitorias.

Vibraciones aleatorias o estadísticas.

De éstas, el movimiento periódico es el
más conocido, y los instrumentos para medir la frecuencia,
amplitud, velocidad, aceleración o pendiente de onda,
están bien evolucionados.

En la medición de choques las mismas cantidades
mencionadas anteriormente pueden ser interesantes; sin embargo,
en general, las aceleraciones pico son muy importantes. En el
caso de los movimientos aleatorios, es deseable un espectro de
frecuencias de los valores cuadráticos medios, y la
instrumentación para esas mediciones son muy complejos y
de evolución algo reciente.

El sistema sísmico resorte – masa
representa el elemento básico transductor de muchos
instrumentos para medir la vibración. Según sean
los límites de frecuencias utilizados, el desplazamiento,
la velocidad o la aceleración, se indica por el movimiento
relativo de la masa suspendida con respecto a su punto de
fijación. Como las vibraciones son muchas veces demasiado
pequeñas para la indicación mecánica, el
movimiento relativo se convierte, en general, a tensión
eléctrica ( voltaje ) por el movimiento de una bobina en
campo magnético.

Dichas señales se pueden procesar en una
Estación de Trabajo Asistida por Computador o
Workstation:

El acelerómetro piezoeléctrico se utiliza
para medir vibraciones cuya frecuencia sea inferior a unos 2 Khz,
porque su frecuencia natural es del orden de los 5 Khz. Para su
utilización, todo el conjunto se fija al equipo al que se
le van a medir las vibraciones. Cuando la masa sísmica
aumenta o disminuye la presión sobre el cristal
piezoeléctrico, éste genera un voltaje alterno cuya
amplitud es proporcional a las aceleraciones de las vibraciones;
y cuya frecuencia es igual a la de dichas vibraciones.

      Instrumentos de
Vibración: Este tipo de instrumentos son ampliamente
utilizados. El principio consiste en introducir una muestra del
material a analizar y someterlo a vibración. La frecuencia
registrada es proporcional a la masa del material. Existen varios
instrumentos basados en este principio con variaciones
dependiendo del fabricante y son muy precisos y adecuados para la
medición de polímeros en todos sus
grados.

Instrumentos de Vibración: Este tipo de
instrumentos son ampliamente utilizados. El principio consiste en
introducir una muestra del material a analizar y someterlo a
vibración. La frecuencia registrada es proporcional a la
masa del material. Existen varios instrumentos basados en este
principio con variaciones dependiendo del fabricante y son muy
precisos y adecuados para la medición de polímeros
en todos sus grados.

 Otros métodos: Sólo por
mencionarlos, existe la técnica de "Capacitor" empleado
principalmente para líquidos, el de Desplazamiento y los
Hidrómetros.

 En este número se anuncian dos proveedores
de densímetros que seguramente podrán asesorarle y
sugerir el mejor equipo de acuerdo a sus necesidades. Ellos son
Antón Paar y Mettler Toledo. Busque sus datos en el
índice de anunciantes.

 6.2.-ESPECTRO DE RESPUESTA PARA DE FLUENCIA Y
ESFUERZO DE FLUENCIA

Para propósitos de diseño se desea
determinar el esfuerzo de fluencia fy (o
deformación de fluencia uy) del sistema,
necesario para limitarla demanda de ductilidad, impuesta por el
movimiento del suelo, a un valor especifico.

El espectro de respuesta es trazado par las
cantidades:

Donde wes el peso del sistema.

Esfuerzo de fluencia para una ductilidad especifica

Construcción del espectro de respuesta con ductilidad
constante

A continuación se presenta en una serie de pasos
el procedimiento para construir el espectro de respuesta para un
sistema elastoplástico correspondiente a niveles de
ductilidad específicos:

Figura
9.12         Espectro de
respuesta para un sistema elastoplástico para el
movimiento de El Centro:(=1, 1.5, 2, 4 y 8;(=5%

Figura
9.13         Espectro de
respuesta para un sistema elastoplástico para el
movimiento de El Centro:(=1, 1.5, 2, 4 y 8;(=5%

ESFUERZO DE DISEÑO Y DEFORMACIÓN A PARTIR DEL
ESPECTRO DE RESPUESTA

Considerar un sistema SDF a ser diseñado para una
ductilidad,(, admisible, basado en una deformación
admisible y en una capacidad de ductilidad que se pueden alcanzar
para los materiales y materiales de diseño
seleccionados.

Se desea determinar el esfuerzo de fluencia de
diseño y la deformación de diseño para el
sistema sujeto a una excitación dada.

ESFUERZO DE FLUENCIA DEDISEÑO

El esfuerzo de fluencia de diseño fy que
permite a un sistema SDF tener una deformación en el rango
inelástico es menor que el esfuerzo requerido por la
estructura para permanecer en el rango elástico. El
esfuerzo de fluencia de diseño se reduce con el incremento
del factor de ductilidad, esta aseveración es mostrada con
mayor claridad en la Figura 9.13, que no es otra cosa que las
Figuras 9.11 y9.12graficadas en forma diferente.

La implicación practica de estas observaciones es
que la estructura puede ser diseñada para ser
sismorresistente haciéndola fuerte o dúctil; o
diseñándola económicamente combinando ambas
propiedades.

Considerar de nuevo un sistema SDF con Tn=0.5
[s] y(=5% a ser diseñado para el movimiento de El Centro.
Si este sistema es diseñado para una
fuerzaf0=0.919·wo mayor, permanecerá dentro el
rango linealmente elástico durante esta excitación;
de este modo no necesita ser dúctil.

Por otro lado si ésta puede desarrollar un factor
de ductilidad de 8, solo necesita ser diseñada para 12% de
la fuerzaf0requerida para un comportamiento elástico.
Alternativamente puede ser diseñada para una fuerza igual
al 37% def0y una capacidad de ductilidad de 2. Para algunos tipos
de materiales y miembros estructurales la ductilidad es
difícil de alcanzar; para otras el proveerles ductilidad
es mucho más fácil que proveerles resistencia
lateral y el diseño práctico refleja
esto.

6.3.- DETECCIÓN EXPERIMENTAL DE FALLAS

PRINCIPALES CAUSAS DE FALLAS

Pueden existir muchas causas que provoque falla, entre
las más comunes tenemos.

Problemas de Operario: Ocurren debido al uso incorrecto por
parte de la persona que utiliza el equipo. Uno de los motivos es
la falta de conocimiento adecuado del funcionamiento del equipo,
que en ocasiones lleva a suponer que opera incorrectamente.,
cuando en realidad no existen problemas de funcionamiento como
tal. Tales situaciones son de ocurrencia frecuente y deben ser
una de las primeras instancia que se verifiquen.

Errores en la construcción: Bajo esta categoría
se agrupan todos aquellos problemas relacionados con el
diseño y la implementación de la primera unidad o
prototipo.

Fallas en el suministro de potencia: Es una de las fallas
más frecuentes, proviene de la fuente de potencia. En esta
parte se manejan corrientes y voltaje apreciables, además
de temperaturas elevadas, los componentes de la fuente
están sujetos a esfuerzos eléctricos y
térmicos que pueden conducir a fallas en sus componentes.
Cuando la fuente de potencia esta averiada, el equipo deja de
operar por completo.

Estos problemas son de fácil diagnostico y
reparación. Por lo general, deben buscarse primero en los
reguladores de voltaje defectuoso, diodos rectificadores abiertos
o en corto, condensadores de filtrado dañados y por
último, el transformador defectuoso.

Falla de componentes del circuito: Una de las causas
más frecuentes de fallas en equipos digitales proviene de
la fuente de potencia. Debido a que en esta parte del equipo se
manejan corrientes y voltajes apreciables, además de
temperaturas elevadas, los componentes de la fuente de potencia
están sujetos a esfuerzo eléctrico y térmico
que pueden conducir a fallas en sus componentes. Cuando la fuente
de potencia esta averiada, el equipo deja de operar por
completo.

Estos problemas son de fácil diagnostico y
reparación. Por lo general, deben buscarse primero
reguladores de voltaje defectuoso, diodos rectificadores abiertos
o en corto, condensadores del filtrado dañados y por
último el transformador defectuoso.

Problemas de temporización: Es uno de los problemas
más difícil de diagnosticar se relaciona con la
correcta temporización de los circuitos. Parámetros
como la frecuencia del reloj, los retrasos de propagación
y otras características relacionadas, son de mucha
importancia para la adecuada operación de los equipos
digitales.

Problemas debidos a Ruidos: El ruido eléctrico es una
fuente potencial importante de problemas en los circuitos
digitales. Ruido: Es toda señal extraña que dentro
del equipo puede ser causa de operación incorrecta. Las
señales de ruido pueden provenir de transitorios en las
líneas de corriente alterna o de campo magnético o
eléctrico originados en equipos aledaños,
así como de interferencias debidas a transmisiones de
radio o de televisión.

También es factible que exista ruido generado
internamente, el cual puede provenir de suministro de potencia
mal filtrados o de componentes mecánicos defectuosos que
ocasionen contactos deficientes o intermitentes.

Efectos ambientales: A esta clase pertenecen todos
aquellos problemas derivados del efecto ambiente en el que opera
el equipo. Por ejemplo, es posible que la temperatura del recinto
o sitio donde se ubica el equipo exceda los límites
permisibles fijados por el fabricante. Por otra parte, la
acumulación de grasas, polvo, químicos o abrasivos
en el aire puede ocasionar fallas de funcionamiento. Las
vibraciones excesivas también puede ser causa frecuente de
problemas. Todo lo anterior puede introducir defectos
mecánicos tales como corrosión de conectores,
alambres quebrados o contactos de interruptores con exceso de
acumuladores que impiden su accionamiento normal.

Problemas mecánicos: Son todos aquellos que
surgen debido a desperfectos en componentes de tipo
mecánico tales como: Interruptores, conectores, relevos y
otros. Esto por lo general, son mucho más susceptibles de
aparecer que la falla misma de componentes electrónicos,
tales como los circuitos integrados.

PROCEDIMIENTOS PARA LA SOLUCIÓN DE
PROBLEMAS

La reparación de equipos electrónicos
puede resumirse cuatro (4) sencillos pasos:

• Recolección de Datos

• Localizar el problema

• Efectuar la reparación

• Probar para la verificación la
  operación correcta.

Recolección de Datos: Es aquella en la cual se
hace acopio de toda la información pertinente al equipo
bajo observación. Por ejemplo, lo primero que debe hacerse
es obtener la documentación, en la cual se incluye tanto
los diagramas esquemáticos circuitales así como los
manuales de servicio, información de calibración y
similares.

Localizar el problema: Es por lo general es lo
más difícil, el grado de dificultad y la cantidad
de tiempo que esta fase del problema consuma, dependen de la
complejidad del equipo y la naturaleza del daño. Los
siguientes pasos pueden ayudar a desarrollar un método
sistemático para localizar la avería:

• Verifique lo obvio y sencillo primero que todo, como
  fusible, tomas, interruptores, etc.

• Corra los programas de diagnostico si los
  hay.

• Utilice sus sentidos, mirando, oliendo y tocando en
  busca de temperaturas anormales, elementos quemados,
  etc.

• Verifique que los niveles de AC y DC sean
  correctos.

• Cerciorase de la existencia del reloj.

• Utilice métodos de rastreo de
  señal.

• Ensaye sustituciones sencillas de componentes o de
  tarjetas en cuanto sea posible.

• Lleve a cabo pruebas y verificaciones,
  estáticas o dinámicas. La prueba
  estática requiere de la deshabilitación del
  reloj del sistema, con lo cual todos los niveles
  lógicos estabilizan a un valor constante. A partir de
  esto, entonces es posible, utilizando puntas lógicas o
  un voltímetro, observar los niveles lógicos
  presentes en el circuito. Algunos sistemas permiten, no
  solamente deshabilitar el reloj, sino también la
  sustitución de este por un pulsador manual para
  obligar al sistema operar paso a paso. Las pruebas
  dinámicas, por su parte se llevan a cabo con el reloj
  en operación normal y requiere del uso de un
  osciloscopio, de una punta lógica o de un analizador
  lógico.

INSTRUMENTO DE PRUEBA Y DIAGNÓSTICO

Dependiendo de la complejidad del equipo defectuoso y de
la clase de pruebas que sea necesario llevar a cabo, es
importante escoger adecuadamente el equipo o instrumento de
prueba que permita las verificaciones pertinentes. Los más
utilizados son:

El multímetro (VOM), Tester,
polímetro

El multímetro es también conocido como VOM
(Voltios, Ohmios, Miliamperímetro), aunque en la
actualidad hay multímetros con capacidad de medir muchas
otras magnitudes. (capacitancia, frecuencia, temperatura, etc.).
Hay dos tipos de multímetros: los analógicos y los
digitales. Los multímetros analógicos son
fáciles de identificar por una aguja que al moverse sobre
una escala indica del valor de la magnitud medida

Los multímetros digitales se identifican principalmente
por un panel numérico para leer los valores medidos, la
ausencia de la escala que es común en los
analógicos. Lo que si tienen es un selector de
función y un selector de escala (algunos no tienen
selector de escala pues el VOM la determina
automáticamente). Algunos tienen en un solo selector
central. El selector de funciones sirve para escoger el tipo de
medida que se realizará.

La función de este instrumento permite la
verificación de las fuentes de voltaje tanto alternas como
directas. La opción de medición de resistencias,
por su parte, permite la verificación de fusible, pines de
conexión, alambres abiertos, valores de resistencia,
condensadores en corto, etc. Su desventaja que solo permite
prueba estática.

Punta Lógica: La punta lógica o sonda digital,
es un indicador de presencia de pulso alto, bajo, tren de pulsos
o alta impedancia (salidas desconectadas). En conjunto con un
inyector de señales y un detector de corriente, la punta
lógica integra el equipo de medición básico
para los circuitos digitales.

Osciloscopio: El osciloscopio es un instrumento que permite
visualizar fenómenos transitorios así como formas
de ondas en circuitos eléctricos y electrónicos.
Por ejemplo en el caso de los televisores, las formas de las
ondas encontradas de los distintos puntos de los circuitos
están bien definidas, y mediante su análisis
podemos diagnosticar con facilidad cuáles son los
problemas del funcionamiento.

Bibliografía

MECANICA VECTORIAL PARA INGENIERIOS DINAMICA

BEER, JOHNSTONE

MC GRAW HILL

WIKIPEDIA LA ENCICLOPEDIA LIBRE

INTERNET

Autor:

IsaacSolis Rebollar

Trabajo Final

16/12/2009

UNIVERSIDAD VERACRUZANA

VIBRACIONES MECÁNICAS
5-AM

Vibraciones Mecánicas

Trabajo Final

Facilitador Ing. Jorge Alberto Morales
Muñoz.