Introducción a las Probabilidades

A) EXPERIMENTO

Es toda acción sobre la cual vamos a realizar una
medición u observación, es decir cualquier proceso
que genera un resultado definido.

B) EXPERIMENTO
ALEATORIO

Es toda actividad cuyos resultados no se determinan con
certeza. Ejemplo: lanzar una moneda al aire. No podemos
determinar con toda certeza ¿cuál será el
resultado al lanzar una moneda al aire?, por lo tanto constituye
un experimento aleatorio.

C) ESPACIO MUESTRAL
(S)

Es un conjunto de todos los resultados posibles
que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio.
Ejemplo: sea el experimento E: lanzar un dado y el espacio
muestral correspondiente a este experimento es: S = {1, 2, 3, 4,
5, 6}.

D) PUNTO
MUESTRAL

Es un elemento del espacio muestral de cualquier
experimento dado.

E) EVENTO O
SUCESO.-

Es todo subconjunto de un espacio muestral. Se denotan
con letras mayúsculas: A, B, etc. Los resultados que
forman parte de este evento generalmente se conocen como
"resultados favorables". Cada vez que se observa un
resultado favorable, se dice que "ocurrió" un evento.
Ejemplo: Sea el experimento E: lanzar un dado. Un posible evento
podría ser que salga número par. Definimos el
evento de la siguiente manera: A = sale número par = {2,
4, 6}, resultados favorables n(E) = 3

Los eventos pueden ser:

i) Evento cierto.- Un evento es cierto o seguro
si se realiza siempre. Ejemplo: Al introducirnos en el mar, en
condiciones normales, es seguro que nos mojaremos.

ii) Evento imposible.- Un evento es imposible si
nunca se realiza. Al lanzar un dado una sola vez, es imposible
que salga un 10

iii) Evento probable o aleatorio.- Un evento es
aleatorio si no se puede precisar de antemano el resultado.
Ejemplo: ¿Al lanzar un dado, saldrá el
número 3?

F) PROBABILIDAD

Es el conjunto de posibilidades de que un evento ocurra
o no en un momento y tiempo determinado. Dichos eventos pueden
ser medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el
evento que no pueda ocurrir tiene una probabilidad de 0 (evento
imposible) y un evento que ocurra con certeza es de 1 (evento
cierto).

La probabilidad de que ocurra un evento, siendo
ésta una medida de la posibilidad de que un suceso ocurra
favorablemente, se determina principalmente de dos formas:
empíricamente (de manera experimental) o
teóricamente (de forma matemática).

i) Probabilidad empírica.- Si E es un
evento que puede ocurrir cuando se realiza un experimento,
entonces la probabilidad empírica del evento E, que a
veces se le denomina definición de frecuencia relativa
de la probabilidad, está dada por la siguiente
fórmula:

Nota: P(E), se lee probabilidad del evento
E

Ejemplo ilustrativos

1) En el año 2010, nacieron en un hospital
100 hombres y 150 mujeres. Si una persona fue seleccionada
aleatoriamente de los registros de nacimientos de ese año,
¿cuál es la probabilidad de que haya sido
mujer?

Solución:

Ya que las probabilidades de que nazcan hombres o
mujeres no son iguales, y por tener información
específica experimental que respalda este hecho, se
calcula empleando la fórmula de la probabilidad
experimental

Nota: la respuesta puede estar expresada como
fracción, como un número decimal y como un
porcentaje.

2) La siguiente tabla muestra el número de
cajas y el número de artículos dañados por
caja que un comerciante recibió. Calcular la probabilidad
para cada resultado individual

Solución:

Ya que las probabilidades de defectos por caja no son
iguales, y por tener información específica
experimental que respalda este hecho, se calcula empleando la
definición de frecuencia relativa de la
probabilidad.

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:

Nota:

La respuesta 0,5 significa que existe una probabilidad
de 0,5 o del 50% de que 0 artículos en cualquier caja dada
estuviera dañado

La respuesta 0,4 significa que existe una probabilidad
de 0,4 o del 40% de que 2 artículos en cualquier caja dada
estuviera dañado

La respuesta 0,1 significa que existe una probabilidad
de 0,1 o del 10% de que 3 artículos en cualquier caja dada
estuviera dañado

La suma de las probabilidades individuales siempre es
igual a 1 que en porcentaje es igual al 100%

ii) Probabilidad teórica.- Si todos los
resultados en un espacio muestral S finito son igualmente
probables, y E es un evento en ese espacio muestral, entonces la
probabilidad teórica del evento E está dada por la
siguiente fórmula, que a veces se le denomina la
definición clásica de la probabilidad,
expuesta por Pierre Laplace en su famosa Teoría
analítica de la probabilidad publicada en 1812:

Ejemplo ilustrativos

1) En cierta rifa de un automóvil se
venden 5000 boletos. Calcular la probabilidad de ganarse el
automóvil

1.1) Si se compran 20 boletos.

1.2) Si se compran todos los boletos

1.3) Si no se compran boletos

Solución:

Ya que el espacio muestral S (5000 boletos) es finito, y
los resultados de cada boleto son igualmente probables, se
calcula empleando la fórmula de la definición
clásica de la probabilidad

2) Calcular la probabilidad de obtener un
número impar en el lanzamiento de un dado

Solución:

Espacio muestral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces,
n(S) = 6

Resultados favorables = {1, 3, 5}, entonces, n(E) =
3

3) En un ánfora existe 10
fichas amarillas, 6 rojas y 4 azules.

3.1) ¿Qué probabilidad existe
de sacar una ficha amarilla en un primer intento?

3.2) ¿Qué probabilidad existe
de sacar una ficha no roja en un primer intento?

Solución:

n(S) = 10 + 6 + 4 = 20

3.1) n(E) = 10

3.2) Si P(E) es la probabilidad de que ocurra el evento
E y la probabilidad
de que no ocurra el evento E. Debido a que la suma de las
probabilidades siempre da como resultado 1, es decir, por lo que se tiene:

Calculando la probabilidad de sacar una ficha roja se
obtiene:

n(E) = 6

Calculando la probabilidad de sacar una ficha no roja se
obtiene:

4) En una urna existe 10 bolas
numeradas con los números dígitos.

4.1) ¿Qué probabilidad existe
de sacar una bola enumerada con un número múltiplo
de 3?

4.2) ¿Qué probabilidad existe
de sacar una bola enumerada con un número divisor de
6?

Solución:

Espacio muestral = S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
entonces, n(S) = 10

4.1)

Resultados favorables = {3, 6, 9}, entonces, n(E) =
3

4.2)

Resultados favorables = {1, 2, 3, 6}, entonces, n(E) =
4

5) De una urna que contiene 2 bolas rojas y 3
azules

5.1) Se extrae una bola, calcular la
probabilidad de que la bola sea

a) Roja

b) Azul

Solución:

a) Roja (R)

Remplazando valores en la fórmula de
la probabilidad teórica se tiene

b) Azul (A)

Remplazando valores en la fórmula de
la probabilidad teórica se tiene

5.2) Se extraen simultáneamente dos bolas,
calcular la probabilidad de que las dos sean

a) Azules

b) Rojas

c) Diferente color

Designando por las bolas rojas y por las azules se tiene el siguiente espacio
muestral:

Entonces, n(S) = 4 + 3+ 2+ 1 = 10

a) Azules

Resultados favorables = entonces, n(E) = 3

Otra forma de resolver este ejercicio es la
siguiente:

El espacio muestral se calcula aplicando la
fórmula de la combinación, es decir,

En donde:

n = número total de bolas = 2 + 3 = 5

r = número de bolas azules motivo de probabilidad
= 2

Entonces, remplazando valores en la fórmula de la
combinación se obtiene:

El número de resultados favorables se calcula
aplicando la fórmula de la combinación, es
decir,

En donde:

n = número total de bolas azules = 3

r = número de bolas azules motivo de probabilidad
= 2

Entonces, remplazando valores en la fórmula de la
combinación se obtiene:

Reemplazando valores en la fórmula de la
probabilidad se tiene:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:

b) Rojas

Resultados favorables = entonces, n(E) = 1

Otra forma de resolver este ejercicio es la
siguiente:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:

c) Diferente color

Resultados favorables = entonces, n(E) = 6

Otra forma de resolver este ejercicio es la
siguiente:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:

5.3) Se extraen simultáneamente tres
bolas, calcular la probabilidad de que las tres sean

a) Dos rojas y una azul

b) Una roja y dos azules

c) Tres rojas

Solución:

Designando por las bolas rojas y por las azules se tiene el siguiente espacio
muestral:

Entonces, n(S) = 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 10

a) Dos rojas y una azul

Resultados favorables = entonces, n(E) = 3

Otra forma de resolver este ejercicio es la
siguiente:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:

b) Una roja y dos azules

Resultados favorables = entonces, n(E) = 6

Otra forma de resolver este ejercicio es la
siguiente:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:

c) Tres azules

Resultados favorables = entonces, n(E) = 1

Otra forma de resolver este ejercicio es la
siguiente:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:

5.4) Se extraen simultáneamente cuatro bolas,
calcular la probabilidad de que las cuatro sean

a) Dos rojas y dos azules

b) Una roja y tres azules

Solución:

Designando por las bolas rojas y por las azules se tiene el siguiente espacio
muestral:

Entonces, n(S) = 5

a) Dos rojas y dos azules

Resultados favorables = entonces, n(E) = 3

Otra forma de resolver este ejercicio es la
siguiente:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:

b) Una roja y tres azules

Resultados favorables = entonces, n(E) = 2

Otra forma de resolver este ejercicio es la
siguiente:

Los cálculos en Excel aplicando combinaciones se
muestran en la siguiente figura:

6) De una urna que contiene 6 bolas rojas y 5
negras se extraen simultáneamente dos bolas, calcular la
probabilidad de que:

6.1) Las dos sean rojas

6.2) Las dos sean negras

6.3) De diferente color

Solución:

6.1)

En Excel:

6.2)

En Excel:

6.3)

En Excel:

7) De una urna que contiene 6 fichas rojas, 5
negras y 9 azules, Elizabeth extrae simultáneamente tres
fichas, calcular la probabilidad de que las 3 fichas
extraídas por Elizabeth sean:

7.1) Rojas

7.2) 2 rojas y una negra

7.3) De diferente color

Solución:

7.1) Rojas

En Excel:

7.2) 2 rojas y una negra

En Excel:

7.3) De diferente color

En Excel:

8) En una ferretería existen 6 galones de
pintura roja, 5 de pintura naranja, 9 de pintura amarrillo y 10
de pintura blanca. Bertha compra aleatoriamente cuatro galones de
pintura, calcular la probabilidad de que los galones comprados
por Bertha sean de diferente color.

Solución:

En Excel:

9) Se lanzan simultáneamente tres monedas,
calcular la probabilidad de que se obtengan dos caras y un
sello.

Solución:

Designando por C = cara y por S = sello se
tiene:

Espacio muestral = S = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS,
SSC, SSS}, entonces, n(S) = 8

Resultados favorables = { CCS, CSC, SCC }, entonces,
n(E) = 3

Todas las probabilidades individuales se representan en
la siguiente tabla:

Interpretación:

La probabilidad de obtener 3 caras al lanzar
simultáneamente tres monedas es de 1/8, es decir, P(CCC)=
1/8

La probabilidad de obtener 2 caras y un sello al lanzar
simultáneamente tres monedas es de 3/8, es decir, P(CCS) =
3/8

La probabilidad de obtener una cara y 2 sellos al lanzar
simultáneamente tres monedas es de 3/8, es decir, P(CSS) =
3/8

La probabilidad de obtener 3 sellos al lanzar
simultáneamente tres monedas es de 1/8, es decir, P(SSS)=
1/8

Nota:

El número 8 (espacio muestral), se calcula
empleando la ecuación

En donde n es el número de monedas
que se lanzan

Los números 1, 3, 3, 1 se calculan mediante el
siguiente esquema conocido con el nombre de "Triángulo de
Pascal", el cual está relacionado directamente con el
Teorema del Binomio de Newton.

Este triángulo tiene como primera fila un 1, como
segunda fila dos 1. Para las demás filas, la suma de cada
par de números adyacentes de la fila anterior se ubica por
debajo de ellos. Se añade un 1 en cada extremo.

En donde:

C3 = CCC; 3C2S = CCS + CSC + SCC; 3CS2 =
CSS + SCS + SSC; S3 = SSS

10) Si un dardo se clava de manera aleatoria en
el objeto cuadrado que se muestra en la siguiente figura,
¿cuál es la probabilidad de que caiga en la
región sombreada?

Solución:

Calculando el área del círculo:

Calculando el área del
cuadrado:

Si el radio de la circunferencia es 4cm,
entonces el lado del cuadrado es 8 cm, es decir,

Si l= 8cm

Por lo tanto, el área del cuadrado
es:

A= l2 = (8cm)2 = 64 cm2

Calculando el área de la
región sombreada:

Se obtiene al restar el área del
círculo de la del cuadrado

Calculando la probabilidad:

G) POSIBILIDADES

Las posibilidades comparan el número de
resultados favorables con el número de resultados
desfavorables. Si todos los resultados de un espacio muestral son
igualmente probables, y un número n de ellos son
favorables al evento E, y los restantes m son desfavorables a E,
entonces las posibilidades a favor de E sonde de n(E) a
m(E), y las posibilidades en contra de E son de m(E) a
n(E)

Ejemplos ilustrativos:

1) A Mathías se le prometió comprar
6 libros, tres de los cuales son de Matemática. Si tiene
las mismas oportunidades de obtener cualquiera de los 6 libros,
determinar las posibilidades de que le compren uno de
Matemática.

Solución:

Número de resultados favorables = n(E) =
3

Número de resultados desfavorables = m(E) =
3

Posibilidades a favor son n(E) a m(E),
entonces,

Posibilidades a favor = 3 a 3, y simplificando 1 a
1.

Nota: A las posibilidades de 1 a 1 se les conoce
como "igualdad de posibilidades" o "posibilidades de
50-50"

2) Dyanita compró 5 boletos para una rifa
de su lugar de trabajo en la que el ganador recibirá un
computador. Si en total se vendieron 1000 boletos y cada uno
tiene la misma oportunidad de salir ganador,
¿cuáles son las posibilidades que Dyanita tiene en
contra de ganarse el computador?

Solución:

Número de resultados favorables = n(E) =
5

Número de resultados desfavorables = m(E) =
1000-5 = 995

Posibilidades en contra son m(E) a n(E) ,
entonces,

Posibilidades en contra = 995 a 5, o de 199 a
1.

3) Mario participará en una
lotería, en donde las posibilidades de ganar son de 1 a
999. ¿Cuál es la probabilidad que tiene Mario de
ganar la lotería?

Solución:

Como las posibilidades a favor = 1 a 999 y se sabe que
las posibilidades a favor son n(E) a m(E), entonces,

Número de resultados favorables = n(E) =
1

Número de resultados desfavorables = m(E) =
999

Como el número total de resultados posibles =
n(S) = n(E) + m(E) = 1 + 999 = 1000, y aplicando la
fórmula de la probabilidad:

Se obtiene:

Referencias
Bibliográficas

SUÁREZ, Mario, (2012),
Interaprendizaje de Probabilidades y Estadística
Inferencial con Excel, Winstats y Graph. M & V
GRÁFIC. Ibarra-Ecuador.

Autor:

Mario Orlando Suárez
Ibujes