Conceptos básicos de Probabilidades y Estadística Inferencial (página 2)

A diferencia de otras pruebas de medias que se basan en
la diferencia existente entre dos valores, el análisis de
varianza emplea la razón de las estimaciones, dividiendo
la estimación intermediante entre la estimación
interna

Esta razón F fue creada por Ronald Fisher
(1890-1962), matemático británico, cuyas
teorías estadísticas hicieron mucho más
precisos los experimentos científicos. Sus proyectos
estadísticos, primero utilizados en biología,
rápidamente cobraron importancia y fueron aplicados a la
experimentación agrícola, médica e
industrial. Fisher también contribuyó a clarificar
las funciones que desempeñan la mutación y la
selección natural en la genética, particularmente
en la población humana.

El valor estadístico de prueba resultante se debe
comparar con un valor tabular de F, que indicará el valor
máximo del valor estadístico de prueba que
ocurría si H0 fuera verdadera, a un nivel de
significación seleccionado. Antes de proceder a efectuar
este cálculo, se debe considerar las
características de la distribución F

i) Características de la distribución
F

– Existe una distribución F diferente para cada
combinación de tamaño de muestra y número de
muestras. Por tanto, existe una distribución F que se
aplica cuando se toman cinco muestras de seis observaciones cada
una, al igual que una distribución F diferente para cinco
muestras de siete observaciones cada una. A propósito de
esto, el número distribuciones de muestreo diferentes es
tan grande que sería poco práctico hacer una
extensa tabulación de distribuciones. Por tanto, como se
hizo en el caso de la distribución t, solamente se tabulan
los valores que más comúnmente se utilizan. En el
caso de la distribución F, los valores críticos
para los niveles 0,05 y 0,01 generalmente se proporcionan para
determinadas combinaciones de tamaños de muestra y
número de muestras.

– La distribución es continua respecto al
intervalo de 0 a + 8. La razón más pequeña
es 0. La razón no puede ser negativa, ya que ambos
términos de la razón F están elevados al
cuadrado. Por otra parte, grandes diferencias entre los valores
medios de la muestra, acompañadas de pequeñas
variancias muestrales pueden dar como resultado valores
extremadamente grandes de la razón F.

– La forma de cada distribución de muestreo
teórico F depende del número de grados de libertad
que estén asociados a ella. Tanto el numerador como el
denominador tienen grados de libertad relacionados.

ii) Determinación de los grados de
libertad

Los grados de libertad para el numerador y el
denominador de la razón F se basan en los cálculos
necesarios para derivar cada estimación de la variancia de
la población. La estimación intermediante
de variancia (numerador) comprende la división de la suma
de las diferencias elevadas al cuadrado entre el número de
medias (muestras) menos uno, o bien, k – 1. Así, k –
1 es el número de grados de libertad para el
numerador.

En forma semejante, el calcular cada variancia muestral,
la suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre el valor
medio de la muestra y cada valor de la misma se divide entre el
número de observaciones de la muestra menos uno, o bien, n
– 1. Por tanto, el promedio de las variancias muestrales se
determina dividiendo la suma de las variancias de la muestra
entre el número de muestras, o k. Los grados de
libertad para el denominador son entonces, k(n
-l).

4.3) PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA
PROPORCIONES

Las pruebas de proporciones son adecuadas cuando los
datos que se están analizando constan de cuentas o
frecuencias de elementos de dos o más clases. El objetivo
de estas pruebas es evaluar las afirmaciones con respecto a una
proporción (o Porcentaje) de población. Las pruebas
se basan en la premisa de que una proporción muestral (es
decir, x ocurrencias en n observaciones, o x/n) será igual
a la proporción verdadera de la población si se
toman márgenes o tolerancias para la variabilidad
muestral. Las pruebas suelen enfocarse en la diferencia entre un
número esperado de ocurrencias, suponiendo que una
afirmación es verdadera, y el número observado
realmente. La diferencia se compara con la variabilidad prescrita
mediante una distribución de muestreo que tiene como base
el supuesto de que

es realmente
verdadera.

En muchos aspectos, las pruebas de proporciones se
parecen a las pruebas de medias, excepto que, en el caso de las
primeras, los datos muestrales se consideran como cuentas en
lugar de como mediciones. Por ejemplo, las pruebas para medias y
proporciones se pueden utilizar para evaluar afirmaciones con
respecto a:

1) Un parámetro de población único
(prueba de una muestra)

2) La igualdad de parámetros de dos poblaciones
(prueba de dos muestras), y

3) La igualdad de parámetros de más de dos
poblaciones (prueba de k muestras). Además, para
tamaños grandes de muestras, la distribución de
muestreo adecuada para pruebas de proporciones de una y dos
muestras es aproximadamente normal, justo como sucede en el caso
de pruebas de medias de una y dos muestras.

A) PRUEBA DE PROPORCIONES DE UNA
MUESTRA

Cuando el objetivo del muestreo es evaluar la validez de
una afirmación con respecto a la proporción de una
población, es adecuado utilizar una prueba de una muestra.
La metodología de prueba depende de si el número de
observaciones de la muestra es grande o
pequeño.

Como se habrá observado anteriormente, las
pruebas de grandes muestras de medias y proporciones son bastante
semejantes. De este modo, los valores estadísticos de
prueba miden la desviación de un valor estadístico
de muestra a partir de un valor propuesto. Y ambas pruebas se
basan en la distribución normal estándar para
valores críticos. Quizá la única diferencia
real entre las ambas radica en la forma corno se obtiene la
desviación estándar de la distribución de
muestreo.

Esta prueba comprende el cálculo del valor
estadístico de prueba Z

La primera alternativa establece una prueba de cola
derecha, la segunda, izquierda y la tercera, una prueba de dos
colas.

B) PRUEBA DE PROPORCIONES DE DOS
MUESTRAS

El objetivo de una prueba de dos muestras es determinar
si las dos muestras independientes fueron tomadas de dos
poblaciones, las cuales presentan la misma proporción de
elementos con determinada característica. La prueba se
concentra en la diferencia relativa (diferencia dividida entre la
desviación estándar de la distribución de
muestreo) entre las dos proporciones muestrales. Diferencias
pequeñas denotan únicamente la variación
casual producto del muestreo (se acepta H0), en tanto que grandes
diferencias significan lo contrario (se rechaza H0). El valor
estadístico de prueba (diferencia relativa) es comparado
con un valor tabular de la distribución normal, a fin de
decidir si H0 es aceptada o rechazada. Una vez más, esta
prueba se asemeja considerablemente a la prueba de medias de dos
muestras.

La hipótesis nula en una prueba de dos muestras
es

C) PRUEBA DE PROPORCIONES DE k
MUESTRAS

La finalidad de una prueba de k muestras es evaluar la
aseveración que establece que todas las k muestras
independientes provienen de poblaciones que presentan la misma
proporción de algún elemento. De acuerdo con esto,
las hipótesis nula y alternativa son

En una muestra se puede dar un conjunto de sucesos, los
cuales ocurren con frecuencias observadas "o"(las que se observa
directamente) y frecuencias esperadas o teóricas "e" (las
que se calculan de acuerdo a las leyes de
probabilidad).

Por lo tanto el valor estadístico de prueba para
este caso es la prueba ji cuadrado o conocida
también como chi cuadrado

Como sucede con las distribuciones t y F, la
distribución ji cuadrado tiene una forma que depende del
número de grados de libertad asociados a un determinado
problema.

Para obtener un valor crítico (valor que deja un
determinado porcentaje de área en la cola) a partir de una
tabla de ji cuadrado, se debe seleccionar un nivel de
significación y determinar los grados de libertad para el
problema que se esté resolviendo.

D) BONDAD DE AJUSTE DE LA PRUEBA JI
CUADRADO

Se emplea para determinar la calidad del ajuste mediante
distribuciones teóricas (como la distribución
normal o la binomial) de distribuciones empíricas (o sea
las obtenidas de los datos de la muestra)

En realidad, una prueba de bondad de ajuste es una
prueba de una muestra, pero en la que la población se ha
dividido en k proporciones. Así pues, difiere de una
prueba de proporciones de una muestra, estudiada anteriormente,
la cual incluye sólo dos categorías (éxito y
fracaso) en la población.

Los grados de libertad para una prueba de bondad de
ajuste son (k-1) – c, en donde

k = número de categorías o
clases

c = número de valores estadísticos o
parámetros utilizados de la muestra que se utilizan para
determinar frecuencias esperadas (número de decimales de
la frecuencia esperada)

Gráficas de
control de la calidad

5.1) DEFINICIÓN DE GRÁFICAS DE
CONTROL.- Una herramienta ampliamente utilizada en cada
enfoque al analizar el proceso de recolección secuencial
de datos a lo largo del tiempo es la gráfica de
control.

Las gráficas de control permiten monitorear la
variación en una característica del producto o
servicio a lo largo del tiempo. Las gráficas de control se
utilizan para estudiar el desempeño pasado, para evaluar
las condiciones presentes, o para predecir los resultados
futuros. La información obtenida al analizar una
gráfica de control constituye la base para el proceso de
mejoramiento. Los diferentes tipos de gráficas de control
nos permiten analizar diferentes tipos de variables
críticas para la calidad (CPC): variables
categóricas como la proporción de habitaciones de
hotel no aceptables en términos de disponibilidad de
comodidades y el correcto funcionamiento de todos los
electrodomésticos en la habitación; variables
discretas como el número de huéspedes que
registraron alguna queja durante la semana; y variables continuas
como el tiempo requerido para entregar el equipaje en la
habitación. Además de proporcionar una
exhibición visual de los datos que representan un proceso,
la gráfica de control hace énfasis principalmente
en separar las causas especiales de las causas comunes de la
variación.

Las causas especiales de variación representan
grandes fluctuaciones o patrones en los datos que no son
inherentes al proceso. Estas fluctuaciones a menudo son causadas
por cambios en el proceso que representan problemas para corregir
u oportunidades para aprovechar. Algunas organizaciones se
refieren a las causas especiales de variación como causas
asignables de variación.

Las causas comunes de variación representan la
variabilidad inherente que existe en un proceso. Estas
fluctuaciones consisten en numerosas pequeñas causas de
variabilidad que operan aleatoriamente o por casualidad, Algunas
organizaciones se refieren a las causas comunes de variabilidad
como causas aleatorias de variación.

La distinción entre las dos causas de
variación es crucial porque las causas especiales de
variación no forman parte de un proceso y son corregibles
o explotables sin cambiar el sistema. Sin embargo, las causas
comunes de variación se reducen tan sólo cambiando
el sistema. Estos cambios sistémicos son responsabilidad
de la administración.

Las gráficas de control nos permiten monitorear
un proceso e identificar la presencia o ausencia de causas
especiales. Al hacerlo así, las gráficas de control
nos ayudan a prevenir dos tipos de errores. El primer tipo de
error implica la creencia de que un valor observado representa
una causa especial de variación cuando en realidad se debe
a una causa común de variación del sistema. Tratar
una causa común de variación como si fuera una
causa especial de variación a menudo tiene como
consecuencia el sobreajuste de un proceso. Este sobreajuste,
conocido como manipulación, incrementa la variación
del proceso. El segundo tipo de error implica tratar una causa
especial de variación como si fuera una causa común
de variación. Este error es el resultado de no tomar una
acción correctiva inmediata cuando es necesario. Aunque
ambos tipos de errores pueden ocurrir aun cuando usemos una
gráfica de control, es menos probable que
suceda.

Para construir una gráfica de control, se
recolectan muestras de las salidas de un proceso a lo largo del
tiempo. Las muestras utilizadas para construir gráficas de
control se conocen como subgrupos. Para cada subgrupo (es decir,
muestra), se calcula el valor de un estadístico asociado
con una variable CPC. Los estadísticos utilizados
comúnmente incluyen la fracción disconforme y la
media y el rango de una variable numérica. Entonces se
grafican los valores contra el tiempo y se agregan los
límites de control a la gráfica. La forma
más común de gráfica de control establece
límites de control que están dentro de ±3
desviaciones estándar de la medida estadística de
interés. La ecuación media del proceso ( 3
desviaciones estándar define, en general, los
límites de control superior e inferior para las
gráficas de control.

i) Construcción de límites de
control

Media del proceso ±3 desviaciones estándar
.Por lo que el Límite de control superior (LCS) = media
del proceso +3 desviaciones estándar

Límite de control inferior (LIC) = media del
proceso -3 desviaciones estándar

Cuando se establecen estos límites de control, se
evalúa la gráfica de control tratando de encontrar
un patrón que pudiera existir en los valores a lo largo
del tiempo y determinando si algunos puntos caen fuera de los
límites de control. Las siguientes figuras ilustran tres
diferentes situaciones.

En el panel A, no existe un patrón aparente de
los valores a lo largo del tiempo y no hay puntos que caigan
fuera del límite de control de 3 desviaciones
estándar. El proceso parece estable y contiene sólo
causas comunes de variación. El panel B, por el contrario,
contiene dos puntos que caen fuera de los límites de
control de las 3 desviaciones estándar. Se deben
investigar estos puntos para tratar de determinar las causas
especiales que llevan a su ocurrencia. Aunque el panel C no tiene
ningún punto fuera de los límites de control, tiene
una serie de puntos consecutivos por arriba del valor promedio
(la línea central), así como una serie de puntos
consecutivos por debajo del valor promedio. Además, se
observa claramente una tendencia global descendente. Se debe
investigar esta situación para tratar de determinar
qué podría haber causado ese
patrón.

Detectar una tendencia no es siempre tan obvio. Hay
otras dos reglas simples que nos permiten detectar un cambio en
el nivel medio de un proceso:

– Ocho o más puntos consecutivos que caen por
arriba de la línea central u ocho o más puntos
consecutivos que caen por debajo de la línea
central.

– Ocho o más puntos consecutivos se mueven hacia
arriba en valor u ocho o más puntos consecutivos se mueven
hacia abajo en valor.

Se dice que un proceso cuya gráfica de control
indica una condición fuera de control (un punto fuera de
los límites de control o la exhibición de una
tendencia) está fuera de control. Un proceso fuera de
control contiene tanto causas comunes de variación como
causas especiales de variación. Puesto que las causas
especiales de variación no forman parte del diseño
del proceso, un proceso fuera de control es impredecible. Una vez
que se determina que un proceso está fuera de control, se
deben identificar las causas especiales de variación que
están provocando las condiciones fuera de control. Si las
causas especiales actúan en detrimento de la calidad del
producto o servicio, se requiere elaborar planes para eliminar
esta fuente de variación. Cuando una causa especial
incrementa la calidad, se debería cambiar el proceso para
que la causa especial se incorpore dentro del diseño del
proceso. Por lo tanto, esta causa especial benéfica se
vuelve una causa común fuente de variación y el
proceso se mejora.

Se dice que un proceso cuya gráfica de control no
indica condiciones fuera de control está bajo control. Un
proceso bajo control contiene únicamente causas comunes de
variación. Puesto que estas fuentes de variación
son inherentes al proceso en sí mismo, un proceso bajo
control es predecible. En ocasiones se dice que los procesos bajo
control están en un estado de control estadístico.
Cuando un proceso se encuentra bajo control, usted debe
determinar si la cantidad de causa común de
variación en el proceso es lo suficientemente
pequeña como para satisfacer a los usuarios de los
productos o servicios. Si la causa común de
variación es lo suficientemente pequeña como para
satisfacer al cliente, entonces se utiliza la gráfica de
control para monitorear el proceso sobre una base continua para
asegurarse de que el proceso permanece bajo control. Si la causa
común de variación es demasiado grande, se requiere
alterar el proceso en sí mismo.

5.2) GRÁFICAS DE CONTROL PARA
VARIABLES

Estas gráficas de control ayudan a la
detección de la variación de causa asignable
(variación en el producto o proceso de producción
que señala que el proceso está fuera de control y
que se requieren medidas correctivas)

A) La Gráfica R

Mide la variación en el rango de las muestras.
Aunque la desviación estándar es una medida que
depende de la dispersión, las técnicas de control
de calidad generalmente confían en el rango como un
indicio de la variabilidad del proceso.

B)

Se tiene entonces:

Límite superior de control para las
medias

Siendo k = número de muestras

5.3) GRÁFICAS DE CONTROL PARA
ATRIBUTOS

A) Gráfica de control para la
proporción de artículos disconformes: la
gráfica p

Se utilizan diferentes tipos de gráficas de
control para monitorear procesos y para determinar si se
encuentra presente en el proceso alguna causa especial de
variación. Las gráficas de atributos se utilizan
para variables categóricas o discretas. En esta
sección se estudiará la gráfica p, que se
utiliza cuando los elementos que son muestreados se clasifican de
acuerdo a si se conforman o no con los requerimientos definidos
operacionalmente. Por lo tanto, la gráfica p nos ayuda a
monitorear y analizar la proporción de elementos
disconformes que están en las muestras repetidas (es
decir, subgrupos) que se seleccionan de un proceso.

Cualquier valor negativo para el límite de
control inferior significa que el límite de control
inferior no existe.

Otros casos de Gráficas p

En la construcción de las gráficas p
simplemente se toma nota de la proporción de
artículos defectuosos en una muestra. Esta
proporción, p es

B) Las Gráficas c

Estas gráficas están diseñadas para
detectar el número de defectos en una sola unidad. Al
desarrollar la gráficas p una unidad completa se
consideraba defectuosa o no defectuosa. Sin embrago, en muchos
casos, la presencia de uno o más defectos puede no
producir necesariamente una unidad inaceptable. Un fabricante de
muebles puede encontrar defectos menores en un sofá y sin
embargo no considerarlo inaceptable. Si los defectos por cada 100
metros cuadrados de tapetes para el piso fueran pocas y menores,
el fabricante puede decidir ofrecerlos en venta a pesar de estas
imperfecciones. Una gráfica c se utiliza para analizar el
número de imperfecciones por unidad de
producción.

La gráfica c tiene que ver con el número
de imperfecciones (defectos) por unidad (por sofá o por
cada 100 metros cuadrados).

Los límites de control se establecen alrededor
del número de defectos en la población, c. En el
caso probable de que c sea desconocido, se estima mediante
el
número promedio de defectos en las unidades (número
de defectos dividido para el número de
muestras)

Una unidad puede constar de un solo artículo como
un sofá, o una pieza de tapete de 100 metros cuadrados, o
por ejemplo puede contener, un envío de 50 páginas
impresas en las cuales se detectaron errores tipográficos.
La unidad debe ser consistente en tamaño, número o
área. Anteriormente se definió la desviación
estándar del número de ocurrencias como la
raíz cuadrada del número promedio de defecto.
Así:

Desviación estándar para el número
de defectos

Nota: Los ejemplos ilustrativos resueltos de cada
tema se los puede obtener de las siguientes referencias
bibliográficas

Referencias
bibliográficas

SUÁREZ, Mario (2012), Interaprendizaje de
Probabilidades y Estadística Inferencial con Excel,
Winstats y Graph, Ibarra, Ecuador.

SUÁREZ, Mario, y TAPIA, Fausto (2012),
Interaprendizaje de Estadística Básica, Universidad
Técnica de Norte Ibarra, Ecuador.

SUÁREZ, Mario, (2012),
Interaprendizaje de Probabilidades y Estadística
Inferencial con Excel, Winstats y Graph.
http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/940

SUÁREZ Mario, (2011),
Análisis Combinatorio,
http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/761

SUÁREZ, Mario, (2011),
Distribución Binomial,
http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/771

SUÁREZ, Mario, (2011),
Cálculo del tamaño de la muestra,
http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/765

SUÁREZ, Mario, (2012),
Gráficas de control de la calidad para variables,
www.monografias.com/trabajos91

http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/24

http://www.monografias.com/usuario/perfiles/mario_suarez_7/monografias

https://docentesinnovadores.net/Usuarios/Ver/29591

http://es.scribd.com/mariosuarezibujes

Autor:

Mario Orlando Suárez Ibujes