Cuaderno de trabajo n° 2. Los números primos



Cuaderno de trabajo número II - Monografias.com

Cuaderno de trabajo número II
Números primos

Dado los números naturales 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,………

Tomemos los dos primeros números y multipliquemos 1x2=2; el resultado significa que organizaremos los números en dos columnas, por lo tanto, tendremos ahora los números naturales vistos como se muestra en la tabla N° 1. Para cualquiera de las dos funciones:

f(m)= 2m + 1 o f(m)= 2m + 2

f(m + 1) – f(m) = 2; entendiendo este valor como un periodo y haciendo la equivalencia en grados, obtenemos los datos de la TABLA 2. En la figura 1, visualizados dos vectores de mismo módulo pero de sentido contrario. Dando como resultado cero.

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El beneficio de este primer paso, si se quiere, es que la ecuación f(m)=2m+2; representa el conjunto de los números pares y encabezados por el número primo dos (2), al eliminar esta columna, queda el conjunto de los números impares representado por la ecuación f(m)= 2m+1 y por lo tanto, un solo vector F1 con un argumento de 180° o p.

Ahora, multipliquemos los números 1x2x3=6; entendiendo que el resultado nos obliga a organizar los números en columnas con la única condición de que ningún número ubicado en la cabeza de la columna debe ser mayor a seis (6). Dicho esto, visualizaremos los números organizados como se indica en la tabla N° 3.

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Representando los resultados en su equivalente en grados, observamos la figura 2, donde se muestran tres vectores de módulo M con 120° entre ellos. Al eliminar la columna dos, que representa la función f(m)= 6m + 3; los números impares múltiplos de tres, el vector resultante es de módulo M con un argumento de cero grados (0°). Siguiendo nuestro método, al eliminar la columna dos, tenemos la columna f(m)= 6m+1 y f(m)= 6m+5. Multipliquemos los números 1x2x3x5= 30; no se utiliza el número cuatro (4), debido a que no es un número primo. Se toma cada columna por separado y se organiza como los casos anteriores. Recordemos que en la primera fila no puede haber un valor mayor a treinta (30). Veamos la TABLA 5-A y 5-B:

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Al representar la tabla N° 5 en grados, notamos diez vectores que su sumatoria es 0 +0i; como se puede apreciar en la figura N° 4, nótese la simetría respecto a la línea horizontal. Al eliminar las columnas que son múltiplo de cinco, eliminamos del diagrama los vectores de F60 y F300, resultando la figura 5.

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Unificando las tablas 5-A y 5-B, eliminando las columnas encabezadas los números cinco (5) y veinticinco (25) y ordenamos los números llegamos a la TABLA 6.

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Para tener clara la idea de lo que hemos hecho hasta este momento, resumimos:

Hasta el momento, hemos contado con la suerte de que los números equivalentes en grados han sido enteros, veamos qué ocurre si utilizamos el número siete (7); el nuevo periodo será igual a 1x2x3x5x7= 210. Se organiza cada columna de la tabla N° 6 en ocho tablas de siete columnas, dando como resultado cincuenta y seis columnas en ocho tablas.

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Organizamos todos los números que encabezan cada columna y buscamos su equivalencia en grados, tal como se indica en la tabla N° 7. En la columna tres, se agregó para hacer evidente la simetría con respecto al eje horizontal. En la columna REAL + IMAGINARIO (TODOS), se encuentra la parte real e imaginaria de todos los vectores. Como en los casos anteriores la suma es cero. En la última columna se encuentran eliminados las columnas múltiplo de siete (7); dando como resultado un vector resultante de módulo M y argumento de 0°. Manteniendo la consistencia en alternar el argumento.

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Hasta el periodo T=30, el equivalente de los números en grados fueron números enteros; para un periodo T=210, como se observa en la tabla N°7, la mayoría de los ángulos no son enteros. El próximo periodo es 1x2x3x5x7x11= 2310, como la conversión a grados pasa necesariamente por una división entre T y siendo T mayor a 360°, sin duda se mantendrá esta tendencia. Por esta razón retomaremos el análisis para T=30.

Para ayudarnos a visualizar lo que ocurre con estos resultados, representaremos la ecuación f(m)= 30m + a, como una función continua, pero no podemos olvidar que los números naturales son enteros y no están definidos los decimales. Por lo tanto, cualquier valor entre 1 y 2, por ejemplo, no está definido. Haremos un cambio de variable, representaremos la función bajo la forma f(x)= seno(?x – ß); donde ?=2p/T. Para hacer coincidir cada cruce por cero con un valor de f(m)=30m + a, se toma el periodo como 2T.

En la gráfica N° 1, se observa claramente, las ocho familias de curvas; nótese que en la década del diez al diecinueve hay cuatro cruces por cero, estos cuatro cruces por cero se repiten en la misma familia de curvas en la década de los cuarenta, en la década de los setenta, etc.

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Dos números primos son gemelos cuando la diferencia entre ellos es dos (2). Por ejemplo: 13 – 11 = 2, entonces para mejorar nuestra comprensión sobre la tabla N° 6, es menester que visualicemos:

f1(m+1) – f29(m) = 2 f13(m) – f11(m) = 2 f19(m) – f17(m) = 2

Este resultado no depende si los números son primos o no, de las ocho familias de curvas sólo tres pares cumplen tal condición. Para evitar el término (m+1) en la función f1, sólo debemos caer en cuenta que f31(m) = f1(m+1); así podemos establecer que f31(m) – f29(m) = 2

Muy bien, existen tres series o familias donde existen números primos gemelos.

Serie A: f13(m) y f11(m) Serie B: f19(m) y f17(m) Serie C: f31(m) y f29(m)

Luego, veremos la tabla N° 6 reformulada en la tabla N° 8

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La serie A y B de números primos gemelos, se encuentra en la misma década y la serie C ésta conforma con la familia f29, final de década siguiente y con la familia f31, al inicio de la otra o última década.

Los números primos de Fermat están definidos como:

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Los números primos tres (3) y cinco (5); no pertenecen a la familia f(30m + 17), dado que el valor de m no es un entero positivo.

Los números primos de Mersenne están definidos como:

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En la tabla N° 10, se muestra la correspondencia entre Números de Mersenne conocidos con las familias f1(m) y f7(m)

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No se pudo realizar la verificación de todos los números conocidos dado su tamaño.

De las ocho series o familias, sólo la familia f23(m) no se ha podido relacionar con nada de interés, circunstancia que la hace muy atractiva para nuevas investigaciones y publicaciones futuras. Por el momento respetaremos su discreción.

La gráfica 1 y la figura N°6, pretenden ubicar toda esta información en un solo plano, la gráfica 1 pretende visualizar las tres series A, B, y C donde se encuentran números primos gemelos y en la figura N° 6 se indica o se asocia números primos especiales a familias fn(m) específicas.

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El vector resultante resulta ser de Módulo: M y un ángulo de 180°. No debemos olvidar que nuestra variable de estudio es el ángulo, en otras palabras, los ocho números primos que son cabeza de serie, están relacionados con p. Adicionalmente, resulta muy curioso que cuando se realiza un análisis similar incluyendo los números primos 2, 3 y 5; el argumento del vector resultante es un valor muy cercano al radian. ß = 56.69115°.

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Este resultado, motivó a analizar en detalla el resultado para cada combinación de los once elementos o números primos de la tabla 12. El número de combinaciones de esas once variables es de dos mil cuarenta y ocho. N° de combinaciones = 211

Se organizó la información como se muestra en la tabla 13, que por motivos de espacio no se muestra completa, recordemos son dos mil cuarenta y ocho combinaciones.

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El cero (0), se interpreta que el vector F13 no esta tomado en cuenta para la suma, o sea, el número resultante no es un numero primo. El uno (1) representa un número primo. En otras palabras f1(m)=30m+ 1 es un número primo.

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IMPORTANTE

Durante todos los cálculos se trató de mantener, en lo posible, la consistencia tanto en la forma de realizar los cálculos, así como la nomenclatura. Esta situación introduce un error que genera la hoja de cálculo en Excel y lo muestro a continuación.

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Esto se puede notar claramente, viendo la parte real de los dos casos de la tabla 16.

Cos(12) = Cos(-12) = 0.978147600733806

Cos(60) = Cos(-60) = 0.499999999999998

Pero

Cos(60) ? Cos(300)

Entendiendo que -360° + 300° = -60°

Esta diferencia genera valores muy pequeñitos del orden de 10-15 que no hacen visible la simetría con respecto al eje horizontal, por lo que hay que ser cuidadosos con su lectura.

Hasta la próxima publicación.

Agradezco sus comentarios a la dirección de correo

 

 

Autor:

José Mujica

Caracas, 04 de Mayo de 2013