Razonamiento
Recordatorio: El razonamiento se utiliza para obtener nuevos hechos ciertos a partir de otros que lo son o al menos se supone que lo son. Por lo tanto razonar consiste en deducir las consecuencias de un conjunto de axiomas.
Las reglas de deducción del Cálculo de Predicados permiten deducir a partir de un conjunto de axiomas cualquier consecuencia de ellos.
Ejemplo de deducción
Axiomas:
Todas las personas andan
Todo objeto que anda se mueve
Juan no se mueve
Demostrar que Juan no es una persona.
Posible formalización con proposiciones:
Demostrar ~Persona Juan sabiendo que ?x,(Persona x?Anda x),
?x,(Anda x?Mueve x) y ~Mueve Juan
Ejemplo de deducción, II
Utilizando las iniciales:
Los símbolos de predicados unarios P, A y M representan las condiciones ser una persona, andar y moverse respectivamente.
El símbolo de constante J representa a Juan.
Axiomas:
A = {?x,(Px?Ax); ?x,(Ax?Mx) ; ~MJ }
Lenguaje lógico
Un lenguaje lógico está formado por una colección de símbolos de variables, constantes, funciones y predicados.
En este curso supondremos que hay al menos una constante, lo que implica que el conjunto de valores posibles de las variables no es vacío.
Esta hipótesis se puede evitar, pero con demostraciones más complicadas.
Lenguaje lógico, II
En el ejemplo anterior hay una constante, J, y tres predicados unarios (P, A y M).
Un lenguaje lógico determina dos lenguajes asociados: términos y fórmulas.
En el ejemplo anterior hay un solo término, J, e infinitas fórmulas como las que se han mostrado como axiomas.
Lenguaje lógico, III
Otro ejemplo:
Constantes: 0.
Funciones: f (unaria).
Predicados: = (binario infijo).
Términos: fff…f0, fff…fx, etc.
Predicados: f0=ff0, ?x,fx=0, etc.
Lenguaje Lógico, IV
Lenguaje de la Aritmética:
Constantes: 0.
Funciones: S (siguiente, unaria), + (suma, binaria infija) y * (producto, binaria infija).
Predicado: = (binario infijo).
Términos: SS0+S(x*y) etc.
También abreviadamente: 2+(x*y+1), etc.
Fórmulas: ?x,?y,~y+Sx=0, etc.
Lenguaje Lógico, V
Lenguaje de la Semiótica:
Constantes: 0 (cadena vacía).
Funciones: S? (anteposición, unaria) y + (concatenación, binaria).
Predicado: = (binario infijo)
Términos: SaSb0+Sa(x+y), etc.
También abreviadamente: “ab”+Sa(x+y), etc.
Fórmulas: ?x,?y,~y+Sx=0, etc.
Ejemplo de deducción, III
Recordamos nuestro ejemplo inicial:
Predicados unarios: P (es persona), A (anda) y M (se mueve).
Constante: J (Juan).
Axiomas: ?x,(Px?Ax); ?x,(Ax?Mx) ; ~MJ.
Ejemplo de deducción, IV
De?x,(Px?Ax) se deduce PJ?AJ
De lo anterior se deduce ~AJ?~PJ [*]
De ?x,(Ax?Mx) se deduce AJ?MJ
De lo anterior se deduce ~MJ?~AJ
Por el modus ponens, de lo anterior y ~MJ se deduce ~AP.
Por el modus ponens, de lo anterior y [*] se deduce ~PJ.
Ejemplo de deducción, V
La deducción anterior se escribe habitualmente como sigue:
?x,(Ax?Ux) [Axioma]
AP?UP [R. de especificación]
~UP?~AP [R. implicación contrarr.]
~UP [Axioma]
~AP [Modus Ponens]
Ejemplo de deducción, V
?x,(Mx?Ax) [Axioma]
MP?AP [R. de especificación]
~AP ?~MP [R. implicación contrarr.]
~MP [Modus Ponens]
La única regla nueva en el ejemplo anterior es la de especificación.
Lógica de predicados:Reglas de deducción
Todas las de la lógica proposicional, sustituyendo sus átomos por los de la lógica de predicados (con una limitación en la regla de deducción de implicaciones que se describirá enseguida).
Lógica de predicados:Reglas de deducción, II
Si permitiéramos lenguajes lógicos sin constantes habría que restringir la utilización del modus ponens para no permitir deducciones como
x=x, x=x ? ?y,y=y ? ?y,y=y
Lógica de predicados:Reglas de deducción, III
Regla de especificación
Ejemplo: ?a,~Sa=0 ? ~S(c+SS0)=0
– ??,? ? ? [?: Cualquier variable]
– ??,? ? ??/? [?: Cualquier variable]
[?: Término todas cuyas variables son nuevas]
Sin la restricción anterior, habría deducciones falsas como ?a,?b,b=Sa ? ?b,b=Sb
Lógica de predicados:Reglas de deducción, IV
Regla de generalización:
Ejemplo:
(~x=0 ? ?y,x+x=SSy) ?
?x, (~x=0 ? ?y,x+x=SSy)
– ? ? ??,?
[?: Cualquier variable no ligada en ?].
Significado: Las variables libres pueden tener valor arbitrario.
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