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JACMEN Estimación de proporciones
Sucede algo similar a lo que sucedía en el caso (dicotómico) de dos categorías: Si
la población de donde se extrae la muestra es grande, comparada con la muestra,
no hay diferencias apreciables entre las varianzas en los dos modelos lo que
las
permite afirmar que las estimaciones puntuales correspondientes a
proporciones de cada categoría están dadas por
i
?ˆ ??pi ??
xi
n
i ??1,2,
,k
Sin embargo la construcción de los intervalos de confianza para cada proporción es
un problema aún más complicado que en caso dicotómico. Frecuentemente se
construyen estos intervalos aplicando erróneamente el caso de dos categorías: una
categoría formada por los elementos de
Ai
y la otra categoría formada por los
demás elementos de la población. Esta técnica, implementada en varios paquetes
estadísticos es incorrecta debido a que construye intervalos que no son
independientes entre sí ya que hay elementos comunes en todo par deintervalos.
Quesenberry y Hurst (1964), Goodman (1965) y Fitzpatrick (1987) proporcionaron
fórmulas que permiten construir los IC para las proporciones.
W.May y W. Johnson proporcionaron un macro en SAS para la construcción de
tales intervalos. Cfr: A SAS® macro for constructing simultaneous confidence
intervals for multinomial proportions by Warren L. May and William D.Johnson.
(DOI: http://dx.doi.org/10.1016/S0169-2607(97)01809-9)
w? ?k ?1,??.
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JACMEN Estimación de proporciones
La fórmula propuesta por Quesenberry y Hurst es relativamente fácil de
implementar y está dada por:
Donde
2
?
En el apéndice se encuentra un programa en Matlab para su aplicación, realizando
los cambios que sean necesarios de acuerdo con la información en cadacaso.
Goodman, basado en argumentos2similares a los de Bonferroni para intervalos
simultáneos, propuso usar
k
Existe igualmente un paquete en R, denominado CoinMinD, con el mismo
propósito. Su uso está dado por:
QH(Frec, alfa)
Donde Frec es el vector de frecuencias y alfa el valor de
?
que define el nivel
de confianza de los intervalos
EJEMPLO:
Supóngase que en un país se presentan cuatro candidatos a la presidencia de la
república . Se hace una encuesta que se aplica a 2954 votantes. Se obtuvieron
546 votos a favor del candidato A, 658 a favor de B, 935 a favor de C y 815 a favor
de D. Para realizar las estimaciones correspondientes a un 95% de confianza,
adecuamos el programa No 2 del apéndice con la siguienteinformación:
% w es el valor Ji2 con k-1 GL al nivel1-alfa
% Toma de información:
w = 7.81;
n = [546 658 935 815];
k = 4;
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JACMEN Estimación de proporciones
se obtienen los siguientes resultados:
L=
Que se interpretan así:
Como se ve, realmente hay un “empate técnico” entre los candidatos C y D, ya
que sus IC se alcanzan a traslapar, lo que indica que las proporciones
correspondientes a ellos dos no difieren significativamente.
Aquí debemos llamar la atención sobre el mal uso que se hace de los llamados
“empates técnicos” presentados en medios de comunicación no científicos: en
primer lugar tales empates son determinados según el error máximo de estimación
estipulado para la muestra la que generalmente se diseña con las fórmulas de
aproximación normal del caso binomial, lo cual no es correcto. En segundo lugar
aplican el mismo nivel de error para comparar las estimaciones de las
proporciones en cada par de categorías como si este error fuese el mismo para
todos los pares lo que tampoco es cierto.
El mismo ejemplo ya propuesto se resuelve en R de la siguiente manera:
Lo primero que debe hacerse es instalar el paquete CoinMinD en R, para lo cual
puede usarse el comando
Install.packages(“CoinMinD”)
O simplemente usar la opción de instalación de paquetes que presenta el
programa.
0.1848
0.2227
0.3165
0.2759
0.1657
0.2021
0.2931
0.2535
0.2056
0.2449
0.3409
0.2994
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JACMEN Estimación de proporciones
Una vez que se tenga instalado el programa, cada vez que se quiera usar la
función QH de estimación, se debe cargar la librería correspondiente, como se
muestra en el código siguiente:
library(CoinMinD)
Frec <- c(546, 658, 935,815)
QH(Frec, 0.05)
La ejecución de este código produce:
Original Intervals
Lower Limit
[1] 0.1657099 0.2020948 0.2931078 0.2535218
Upper Limit
[1] 0.2056215 0.2448659 0.3409004 0.2994549
Adjusted Intervals
Lower Limit
[1] 0.1657099 0.2020948 0.2931078 0.2535218
Upper Limit
[1] 0.2056215 0.2448659 0.3409004 0.2994549
Volume
[1] 3.75e-06
Donde se ven los límites de los intervalos en forma original y corregidos más el
volumen del hipercubo encerrado por ellos. Este volumen podría interpretarse
como una estimación de la totalidad de individuos que son de interés para el
estudio dentro de toda la población
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JACMEN Estimación de proporciones
APENDICE:
PROGRAMA No 1 Método ZL
El siguiente programa en Matlab permite construir el IC del 95% de confianza según el
método ZL de D. Habtzgui, C.K. Midha y A.Das:
% Intervalo de confianza para una proporciónbinomial
% Método ZL de Zhou, Li y Yang. ProgramóJ.A.Clavijo
clear
clc
% Introduzca la siguienteinformación:
% x es número de éxitos en lamuestra
% n es el tamaño demuestra
n = input('
Ingrese el tamaño de muestra:');
x = input('Ingrese el número de éxitos en la muestra:');
% inicio decalculos
if(x==0)
x=0.5;
n = n+1;
end
if(x==n)
x=n+0.5;
n = n+1;
end
p = x/n;
gam =(1-2*p)/sqrt(p*(1-p));
gsup =sqrt(n)*inv(-gam/6)*((1-(gam/2)*(-1.96/sqrt(n)-(1/6)*(gam/n)))^(1/3)-1);
ginf =sqrt(n)*inv(-gam/6)*((1-(gam/2)*(1.96/sqrt(n)-(1/6)*(gam/n)))^(1/3)-1);
a =exp(log(p/(1-p))-inv(sqrt(n*p*(1-p)))*ginf);
b =exp(log(p/(1-p))-inv(sqrt(n*p*(1-p)))*gsup);
Li = a/(1+a);
Ls = b/(1+b);
% intervalo:
disp('Intervalo del 95% de confianza para laproporción:')
[Li Ls]
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JACMEN Estimación de proporciones
PROGRAMA No 2 – Fórmula de Qusenberry yHurst
El siguiente programa en Matlab proporciona las estimaciones puntuales y los
IC para cada proporción. Se deben introducir el valor de w y las frecuencias
observadas en cadacategoría.
% PROGRAMA MATLAB PARA CONSTRUIR ICMULTINOMIALES
% FORMULA DE QUESSENBERRY YHURST
% w es el valor Ji2 con k-1 GL al nivel1-alfa
% Toma de información:
w = 9.49;
n = [218 639 545 483 515];
k = 5;
% Inicio decalculos
N = sum(n);
d = 2*(N+w);
for i=1:k
p(i) = n(i)/N;
a(i) = (w+2*n(i))/d;
b(i) = sqrt(w^2 +4*n(i)*w*(1-n(i)/N))/d;
end
for i = 1:k
li(i) = a(i) – b(i);
ls(i) = a(i) + b(i);
end
L = [p' li' ls'];
L
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JACMEN Estimación de proporciones
REFERENCIAS:
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Binomials. Biometrika 26(1934), 404 – 413
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6(1935)
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Statistical Asociation, JASA. 81(395), 843 – 855
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9. C.R. Blyth and D.W. Hutchinson; Table of Neyman-Shortest unbiased Confidence
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10. F. Scholz. Confidence Bounds & Intervals for Parameters Relating to the Binomial,
Negative Binomial, Poisson and Hypergeometric Distributions. Sl. 2008.
11. D. Habtzghi, C.K. Midha and A. Das; Modified Clopper-Pearson Confidence Interval for
Binomial Proportion. Journal of Statistical Theory and Applications. Vol 13 No 4,
December 2014, 296 – 310
12. E. Cepeda et al.; Intervalos de confianza e Intervalos de credibilidad para una
Proporción. Revista Colombiana de Estadística. Diciembre 2008. Vol 31 No 2.211-228
13. A. Agresti and B.A. Coull; Aproximate is better than “Exact” for Interval estimation of
Binomial Proportions. American Statistician. Vol 52 No 2, may 1998. 119-126
14. C.P. Quesenberry & D.C. Hurst; Large Sample Simultaneous Confidence Intervals for
Multinomial Proportions. 1964. Technometrics 6, 191-195
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