Sistema de ejercicios para el desarrollo de habilidades de cálculo

Introducción

La asignatura Matemática ha sido una en las que más bajos resultados se han obtenido en los diferentes ejercicios comprobatorios aplicados. Al respecto se ha constatado que uno de los tópicos más afectados es precisamente numeración y cálculo. En el caso específico de segundo grado, entre los elementos más afectados se encuentra el desarrollo de habilidades en el cálculo de ejercicios de adición y sustracción con sobrepaso.

Se ha podido corroborar en los escolares de segundo grado de la escuela primaria "Guerrillero Heroico", del municipio de San Nicolás, a través del intercambio con la maestra del grado, visitas a clases, en el muestreo realizado a actividades de control sistemáticas y aplicación de pruebas pedagógicas, que los mismos presentan dificultades en el desarrollo de habilidades de cálculo en ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso, manifestado en la falta de comprensión de los significados prácticos de las operaciones aritméticas de adición y sustracción; insuficiente dominio de los ejercicios básicos correspondientes a estas operaciones; poco dominio de las vías para adicionar y sustraer números de un lugar a números de dos lugares y no realizan correctamente la transferencia, de ahí que la aplicación en ejercicios con textos y problemas no sea la adecuada .

De igual forma no son capaces de automatizar las acciones y operaciones para resolver los ejercicios, ni fundamentan sus resultados mediante el empleo de los conocimientos matemáticos que han adquirido. Se ha demostrado que existen mayores dificultades en los ejercicios de sustracción por ser más complejos para ellos.

De las consideraciones anteriores y las exigencias del proceso docente-educativo en aras de que los escolares aprendan cada día más y con calidad, se formula el siguiente problema científico: ¿Cómo contribuir al desarrollo de habilidades de cálculo en ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso en escolares de segundo grado de la escuela primaria "Guerrillero Heroico" del municipio de San Nicolás?

Relacionado a este problema científico se declara como objeto de estudio el desarrollo de habilidades de cálculo en la Educación Primaria y se delimita como campo de acción el desarrollo de habilidades de cálculo en los ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso.

Para ello se propone como objetivo: Aplicar ejercicios que contribuyan al desarrollo de habilidades de cálculo de ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso en escolares de segundo grado de la Escuela Primaria "Guerrillero Heroico", del municipio de San Nicolás.

Para concretar el problema de investigación se formulan las siguientes preguntas científicas:

• 1. ¿Qué concepciones teórico-metodológicas existen en la literatura consultada sobre el desarrollo de habilidades de cálculo en la Educación Primaria, específicamente relacionadas con los ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso; así como los ejercicios como una vía de solución para ellas?

• 2. ¿Cuál es el estado inicial del desarrollo de habilidades de cálculo en ejercicios de adición y sustracción con sobrepaso que presentan los escolares de segundo grado de la escuela primaria "Guerrillero Heroico" del municipio de San Nicolás?

• 3. ¿Qué ejercicios pudieran contribuir al desarrollo de habilidades de cálculo en ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso en escolares de segundo grado de la escuela primaria "Guerrillero Heroico" del municipio San Nicolás?

• 4. ¿Qué resultados se obtendrán con la puesta en práctica de los ejercicios en la muestra seleccionada para la investigación?

Para dar respuesta a las preguntas científicas se tienen en cuenta las siguientes tareas de investigación.

• 1. Sistematización de las concepciones teórico-metodológicas existen en la literatura consultada sobre el desarrollo de habilidades de cálculo en la Educación Primaria, específicamente relacionadas con los ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso; así como los ejercicios como vía de solución para ellas.

• 2. Diagnóstico del estado inicial del desarrollo de habilidades de cálculo en ejercicios de adición y sustracción con sobrepaso que presentan los escolares de segundo grado de la escuela primaria "Guerrillero Heroico" del municipio San Nicolás.

• 3. Elaboración de ejercicios que pudieran contribuir al desarrollo de habilidades de cálculo en ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso en escolares de segundo grado de la escuela primaria "Guerrillero Heroico" del municipio de San Nicolás.

• 4. Valoración de los resultados se pueden obtener con la puesta en práctica de los ejercicios en la muestra seleccionada para la investigación.

Para la presente investigación se define como:

Variable independiente: sistema de ejercicios.

A partir de la bibliografía consultada la autora conceptualiza la variable como un conjunto delimitados de ejercicios relacionados entre sí porque integran el proceso de Enseñanza–Aprendizaje de la Matemática por lo que constituye una formación íntegra.

Variable dependiente: desarrollo de habilidades de cálculo en ejercicios de adición y sustracción con sobrepaso.

El término habilidades según el Gran Diccionario Grijalbo, es la facultad de poder repetir lo que antes se aprendió escrito en el que se detalla los principios y desarrollo de un tema docente, de investigación.

Según diccionario Larousse: habilidad: es la capacidad para una cosa, cualidad de hábil, destreza.

Después de analizar estas definiciones de habilidad el autor conceptualiza la variable

como la conservación por parte del escolar de los significados de los ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso de modo que ello le permita reproducir y utilizar dichos ejercicios en la solución de actividades durante el proceso de Enseñanza-Aprendizaje de la Matemática y en otros momentos de su vida cotidiana permitiéndole además valorar y auto valorar sus resultados.

Para el proceso de investigación se utilizan como métodos:

Métodos teóricos:
•Histórico-lógico: Se utilizó con el propósito de analizar bibliografías y documentos en los que se afronta el tratamiento y trayectoria del desarrollo de habilidades de cálculo de ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso. •Analítico -sintético: Permitió estudiar el comportamiento de cada uno de los estudiantes, definir los elementos y aspectos que determinan su actuación en el desarrollo de habilidades de cálculo de ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso.

•Inductivo-deductivo: Fue utilizado para constatar cómo los maestros dan tratamiento al desarrollo de habilidades de cálculo de ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso y la determinación de las regularidades que se aprecian en la muestra a partir de la aplicación de los instrumentos.

•Análisis documental: Se utilizó para la sistematización y consulta bibliográfica en los diferentes documentos normativos de estudio, acerca del desarrollo de habilidades de cálculo de ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso.

•Enfoque sistémico: Se utilizó para establecer relaciones entre todas y cada una de las actividades elaboradas. Métodos empíricos:
Observación: Permitió apreciar en la clase de la asignatura matemática cómo los estudiantes trabajan los problemas aritméticos y determinar dónde radica la dificultad al buscar la vía de solución (participante o directa).

•Prueba Pedagógica: .Permitió constatar el estado inicial del problema y la efectividad del sistema de ejercicios para el desarrollo de habilidades de cálculo de ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso .

Métodos matemático- estadísticos: Se empleó en el matemático: análisis porcentual y de la estadística se emplearon tablas y gráficos para ilustrar los resultados.

•Procedimiento análisis porcentual: Se utilizó con el objetivo de procesar y analizar los datos obtenidos en la aplicación de los instrumentos

Los instrumentos utilizados: guía de observación, modelo de prueba pedagógica, guía de entrevista y el cuestionario

Se tuvo en cuenta una población de 16 escolares de segundo grado de la escuela primaria "Guerrillero Heroico" del municipio de San Nicolás, de la cual se seleccionó de manera intencional una muestra universal de 16 escolares del grupo A que representa el 100%.

La importancia de la investigación radica específicamente en la propuesta de los ejercicios, los cuales responden a las necesidades de los escolares, según las dificultades presentadas en el diagnóstico realizado. Dichos ejercicios son variados tanto por el contenido, como por la forma de presentación.

CAPÍTULO I:

El aprendizaje del cálculo en la escuela primaria

En este capítulo se realiza un análisis de las concepciones teórico-metodológico relacionado con el desarrollo de habilidades de cálculo en la Educación Primaria; así como de los ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso en segundo grado. Por otra parte, se aborda la categoría ejercicios como vía de solución a la problemática existente.

• El desarrollo de habilidades de cálculo en la Escuela Primaria

Es importante conocer que "las habilidades se forman, se desarrollan y en definitiva

son las que capacitan a los alumnos para asimilar y usar los conocimientos y lo que es más importante aún, los prepara para afrontar nuevas informaciones, buscar las necesarias y adquirir por sí mismos nuevos conocimientos. Contribuir a perfeccionar el trabajo en relación con algunas habilidades básicas como son la de escribir, la de definir y la de argumentar. Con esto estaremos contribuyendo a enseñar a nuestros alumnos a ser agentes activos de su propio aprendizaje y, por tanto, a fortalecer su desarrollo intelectual, lograr conocimientos sólidos y armarlos para la búsqueda de los nuevos conocimientos" López, M, (1990)

Según López, M, (1990) existen dos etapas en la adquisición de una habilidad.

La etapa de formación de la habilidad y la de su desarrollo.

• 1- Se habla de formación de la habilidad a la etapa que comprende la adquisición consciente de los modos de actuar, cuando bajo la dirección del maestro o profesor el alumno recibe la orientación adecuada sobre la forma de proceder. Esta etapa es fundamental para garantizar la correcta formación de habilidades. En la práctica diaria suelen darse dos situaciones diferentes: Una es que el alumno recibe una orientación adecuada en correspondencia con sus posibles niveles de dificultad (graduada) y teniendo en cuenta la lógica en la sucesión de las operaciones.

2- Se habla de desarrollo de la habilidad cuando una vez adquirido los modos de acción, se inicia el proceso de ejercitación, es decir, del uso de la habilidad recién formada en la cantidad necesaria y con una frecuencia adecuada, de modo que vaya haciéndose cada vez más fácil de reproducir o usar, y se eliminen los errores. Cuando se garantiza la suficiente ejercitación decimos que la habilidad se desarrolla; Son indicadores de un buen desarrollo:

La rapidez y corrección con que la acción se ejecute.

La misma autora López, M, (1990) plantea que "Durante la etapa de formación de la

habilidad, todo el sistema de operaciones que ella comprende es dirigido en forma consciente para garantizar la corrección en la ejecución, así como el orden adecuado de esas operaciones. Una vez iniciada la ejercitación, la repetición del sistema de operaciones va determinando la automatización de muchos de sus componentes, cada una de ellas ejecuta con más seguridad, la dirección consciente es cada vez menor, desaparecen los movimientos innecesarios, se gana en precisión, en fin, se logra el desarrollo".

La tarea principal de la Matemática consiste en el desarrollo de habilidades de cálculo en correspondencia con las exigencias planteadas en los programas de cada nivel de enseñanza, pues sin ellas no es posible la obtención de sólidos conocimientos. En segundo grado también se continúa con el desarrollo de estas habilidades y sigue siendo el centro de las exigencias del grado, el cual tiene significativa importancia en la Escuela Primaria.

La escuela primaria ha estado siempre dispuesta a emprender, en cada etapa, las transformaciones que ha requerido el desarrollo educacional en nuestro país. En la actualidad el mundo le ha planteado a las instituciones educacionales el imperativo de responder a las necesidades económicas y sociales que se han generado en los últimos años.

En esta etapa, se pretende eliminar la enseñanza tradicionalista, donde el maestro jugaba un rol fundamental y el escolar era un objeto pensante. Se trabaja por un aprendizaje desarrollador, de modo que dicho escolar sea un sujeto activo del proceso de enseñanza, capaz de aplicar y crear con lo aprendido, de transitar a niveles superiores de desarrollo a partir de la acertada conducción del docente.

Es necesario lograr que los escolares realicen una exposición y reflexión de los resultados del trabajo que realizaron y puedan evaluarlos colectivamente. Lo que se tiene en cuenta en la solución del ejercicio, así como el procedimiento que emplearon para llegar al resultado y las potencialidades que brinda el mismo desde el punto de vista educativo y el vínculo con otras disciplinas.

La numeración, como componente integrante de la Matemática, no queda fuera de estas exigencias, por lo que se da prioridad, en primer orden, en la preparación metodológica y en los conocimientos que tiene que dominar el docente para impartirla, por lo que constituye premisa fundamental que posea dominio de los antecedentes históricos que la sustentan, para que pueda incorporarlos a su labor docente-educativa y ofrezca tratamiento con seguridad en el desarrollo de sus clases. Ello favorecerá la utilización de sus características en el cálculo aritmético.

Los escolares deben adquirir un aprendizaje consciente, o sea, deben estar abiertos a asimilar varias habilidades; porque les serán de suma importancia en la práctica y la vida. La educación debe estar encaminada a formar hombres que piensen por sí solos, que hagan uso de sus habilidades en el quehacer diario.

El proceso de formación de habilidades en la escuela primaria actual, es una tarea de gran significación estatal. Elevar el nivel de desarrollo de las habilidades constituye un aspecto fundamental en la calidad de la educación, objetivo general planteado en el programa de Matemática de la Enseñanza Primaria actual. Por lo antes expuesto, es importante saber que:

"El niño no nace inteligente, sino con las posibilidades de serlo, pero además, la enseñanza puede y debe estimular el desarrollo y la escuela está llamada a asumir un papel muy importante en este propósito…". (Silvestre Oramas, M (1999), p.11)

La autora asume la definición anterior al considerar que la escuela cumple un papel fundamental en el desarrollo de habilidades en los escolares, siendo los maestros los encargados de impulsar este desarrollo mediante la enseñanza que les brindan a los escolares.

Por lo que se puede decir que el tema del desarrollo de habilidades es de suma importancia, es objetivo de investigaciones pedagógicas y psicológicas, fundamentalmente, en su aspecto práctico, o sea, en lo referente a cómo desarrollar las habilidades en los escolares mediante la adquisición de conocimientos durante el proceso de enseñanza- aprendizaje que tiene lugar fundamentalmente en la escuela.

El término habilidades tiene distintas acepciones en la literatura psicopedagógica actual, así como las condiciones que favorecen su desarrollo, lo cual ha sido objeto de estudio por diferentes autores que han dado su criterio acerca de lo que es una habilidad.

En el libro Psicología para Educadores, se hace referencia a que la habilidad no es más que el dominio de un sistema de acciones psíquicas y prácticas, con el propósito de lograr una regulación racional de la actividad con ayuda de los conocimientos y las habilidades que posa el individuo.

López, (1990) en su libro ¿Sabes enseñar a describir, definir y argumentar?, define las habilidades como: "… un sistema complejo de operaciones necesarias para la regulación de la actividad por lo que están presentes en el proceso de obtención de la información y de la asimilación de los conocimientos, así como en el uso, expresión y aplicación de los conocimientos".

Esta definición es asumida por la autora, porque se ajusta al tema de la investigación, reflejando con mayor explicites en su contenido los indicadores determinados para la investigación.

En la formación y desarrollo de una habilidad, resulta de suma importancia que se tenga presente en cada momento el "qué" se enseña, y "cómo" se enseña. Es por ello que se debe prestar especial atención a la orientación y ejecución como momentos fundamentales de la actividad que realizan los escolares. En este sentido juegan un rol esencial tanto el contenido, como los métodos y medios que se utilizan.

Con respecto al desarrollo de habilidades de cálculo, la autora asume las dos direcciones fundamentales expresadas en las Orientaciones Metodológicas Complementarias para los grados primero y segundo (1984):

• 1. "Una que dirige la obtención del concepto de las operaciones fundamentales y sus relaciones;

• 2. La otra que se dirige al desarrollo de habilidades de cálculo." Estas direcciones son asumidas, al considerar tanto el tratamiento a las operaciones fundamentales de cálculo y sus relaciones, como el desarrollo de habilidades propiamente dichas, aspectos estos estrechamente relacionados y que se complementan mutuamente.

Los escolares deben reconocer la importancia del dominio de los ejercicios básicos, elemento que debe ser reforzado durante los procedimientos para la solución de los ejercicios de adición y sustracción límite 20, sin sobrepaso y reconocer su utilidad en el cálculo con los múltiplos de 10. En ello desempeña un papel esencial la transferencia en el cálculo.

La memorización de todos los ejercicios básicos constituye un aspecto esencial en segundo grado. Para facilitar su memorización se debe enfatizar en la formación de grupos o pares de ejercicios, a partir del conocimiento y empleo de relaciones matemáticas ya conocidas. Un elemento esencial en este sentido lo constituye específicamente el trabajo con tríos de números y la formación de cuartetas.

En este grado se introduce la adición y sustracción de números de un lugar a números de dos lugares, sin sobrepaso de un múltiplo de 10, así como los ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso, y los de multiplicación y división. En este empeño tiene gran importancia tanto la memorización de los ejercicios básicos, como la transferencia de los mismos.

Es importante que tanto en la elaboración de otros ejercicios básicos no existentes en el sistema, como en su fijación, sean utilizadas las diferentes vías que existen al respecto. Ello contribuye de manera considerable al desarrollo de habilidades de cálculo en los escolares a partir de la utilización de los conocimientos matemáticos de manera consciente.

• El desarrollo de habilidades de cálculo en los ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso en segundo grado

El tratamiento de los números naturales hasta 20 está unido al tratamiento de la adición y sustracción hasta diez. Los escolares están más familiarizados con los números naturales hasta 10 pues en el cálculo con estos números han conocido numerosas relaciones entre ellos, pueden calcular con estos números y han aprendido los ejercicios básicos de adición y sustracción hasta 10, han solucionado ejercicios con textos y problemas simples.

Todos estos conocimientos, capacidades y habilidades sirven como condiciones previas para el tratamiento de los números naturales hasta el 20. A partir de estas condiciones creadas por la enseñanza la mayoría de los estudiantes están preparados para el tratamiento de los números del 11 al 20. Aprenden de forma ilustrativa mediante el trabajo variado con los conjuntos. Después del tratamiento de los números naturales hasta 20 aprenden a realizar ejercicio de adición y sustracción con ellos y profundizan los conocimientos acerca de la numeración hasta 20.

Al respecto la autora asume en la presente investigación, el procedimiento de solución expresado en las Orientaciones Metodológicas Complementarias de Matemática para primero y segundo grados (1984), al considerar el valor que el mismo tiene en cuanto al desarrollo de habilidades de cálculo en los ejercicios con esta complejidad:

• 1. "Adiciona al primer sumando un número, de manera que obtengas como resultado de la suma el número 10;

• 2. descompón el segundo sumando de manera que obtengas el número que debes adicionar al 10;

• 3. adiciona este número al 10." De esta manera los escolares procederán de la siguiente forma para resolver ejercicios como 9+6:

En segundo grado los escolares continúan con la profundización de los conocimientos de Matemática y desarrollando habilidades para lograr el dominio de los números naturales hasta 100. Ellos deben memorizar todos los ejercicios básicos de adición, sustracción, así como desarrollar habilidades en el cálculo de la adición y de la sustracción de números naturales de un lugar hasta llegar a dos lugares y aplicarla a distintas formas de ejercicios.

En el caso específico de los ejercicios de adición y sustracción de números de un lugar a números de dos lugares sin sobrepaso de un múltiplo de 10, se resuelven mediante la transferencia del ejercicio básico. En estos casos los escolares deben primeramente identificar el ejercicio básico del que se trate y posteriormente lo transfieren para formar la igualdad.

La autora de la investigación asume el procedimiento de solución para todos los casos de transferencia de ejercicios básicos que se declara en el texto "Metodología de la Enseñanza de la Matemática de 1. a 4. Grado/ Segunda parte" (1984), el cual considera los pasos que deben cumplirse para dicha transferencia:

• 1. "Reconocer el ejercicio básico.

• 2. Resolver el ejercicio básico.

• 3. Transferir el resultado." En el cálculo, el objetivo central de la asignatura en el grado es lograr el dominio de los ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso, así como comprenderlos y memorizarlos de modo que puedan ser aplicados. Cuando un ejercicio básico la suma de dos sumandos de un lugar es igual o mayor que diez, o el minuendo es mayor que diez estamos en presencia de un ejercicio básico con sobrepaso.

Los ejercicios de adición y sustracción de números de un lugar a números de dos lugares con sobrepaso de un múltiplo de 10, pueden resolverse mediante la transferencia del ejercicio básico, pero también es posible emplear en su solución la descomposición del segundo sumando o del sustraendo, en el caso de la sustracción. Un ejemplo de lo anterior queda ilustrado en el ejercicio 37 + 5.

• Primera vía:

El escolar reconoce el ejercicio básico 8+3, el cual ya debe haber sido memorizado y forma la igualdad de manera mental:8+3=11, por consiguiente, al transferir dicho ejercicio básico, obtiene la igualdad 38 + 3 = 41

• Segunda vía:

El escolar interpreta el segundo sumando como la suma de 2+1 y calcula sucesivamente 38+ 2 = 40 y 40 + 1 = 41; entonces 38 + 3 = 41.

Al tratar este contenido en el grado, los escolares deben conocer el procedimiento de solución para calcular los ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso y memorizarlos. Deben formar grupos o pares de ejercicios básicos. Deben aplicar las habilidades de cálculo en el cumplimiento de tablas y ejercicio con textos.

Es importante asegurar las condiciones previas necesarias para el tratamiento de estos ejercicios básicos. Deben realizarse ejercicios como los siguientes:

• Adición de 10 y número de un lugar (10+3)

• Adición de 3 sumandos, donde la suma de los dos primeros sumandos es igual a 10, (6+3+1).

• Sustracción de números de un lugar a uno de dos lugares; la diferencia es igual a 10 (14-4).

• De dos sustraendos, donde la diferencia del minuendo y del primer sustraendo es igual a 10 (13-3-1).

En este proceso resulta importante el tratamiento adecuado al vocabulario de la asignatura. Ello contribuye a la profundización de los conocimientos y al desarrollo de capacidades de expresión oral. En este sentido el docente debe tener presente en todo momento el adecuado tratamiento tanto preventivo, como correctivo.

La adquisición de conocimientos seguros con respecto a los ejercicios básicos de adicción y sustracción con sobrepaso constituyen la coedición más importante para la formación de las habilidades de cálculo correspondientes. Solo el estudiante que domine el ejercicio básico 8+3 está en condiciones de calcular 38+3 mediante la transferencia de ejercicios básicos. Para elevar la seguridad de los estudiantes en el cálculo de ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso debe procurarse incluir en las clases y tareas suficientes ejercicios que posibiliten el desarrollo de habilidades.

1.3. Los ejercicios como vía de solución en el cálculo de ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso en segundo grado

El término "cálculo" procede del latín calculum, piedrecilla que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecillas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpan chino, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.

Los antecedentes de procedimiento de cálculo se encuentran en los que utilizaron los

geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto, precursor del álgebra.

La consideración del cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles, quien en su Lógica fue el primero en formalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categóricos (silogismos). Este trabajo sería completado más tarde por los estoicos, los megáricos, la Escolástica. El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesía renacentista.

Desde épocas muy remotas el hombre en sus relaciones de intercambio con el medio y con otros hombres para conocer la cantidad resultante de la caza, la pesca o la producción de bienes, ha tenido necesidad de realizar cálculos que ante determinadas situaciones puede hacer mentalmente. En la medida en que las cantidades son mayores ha tenido que utilizar medios para calcular y representar los resultados del cálculo. Para ello se aplican entonces los procedimientos escritos, los que debe aprender desde la edad preescolar.

El trabajo con los ejercicios en la clase de Matemática es de gran importancia por las potencialidades que los mismos poseen para la asimilación de los conocimientos y el desarrollo de habilidades.

Existen diferentes criterios sobre el concepto ejercicio. La mayoría de los autores lo definen como una exigencia para la realización de acciones, solución de situaciones, deducción de relaciones, cálculo, entre otros.

Horst Müller entiende como ejercicio en la enseñanza de la Matemática una exigencia para actuar que se caracteriza por:

• El objetivo de las acciones;

• El contenido de las acciones;

• Las condiciones para las acciones.

El objetivo de todas las acciones en la resolución de un ejercicio es, en cada caso transformar, una situación inicial (elementos dados, premisas) en una situación final (elementos que se buscan, tesis).

Este autor considera que el contenido de las acciones en la resolución de un ejercicio está caracterizado por:

• a. Objeto de las acciones, que pueden estar dadas por los elementos de la materia matemática (conceptos, proposiciones y procedimientos algorítmicos); la correspondencia entre situaciones extra matemáticas y elementos de materia matemáticos; y los procedimientos heurísticos (principios, estrategias y reglas); así como medios heurísticos auxiliares.

• b. Tipos de acciones, las que son necesarias desarrollar en los alumnos con el propósito que puedan llegar a la resolución de un ejercicio determinado, entre ellas se encuentran: identificar, clasificar, fundamentar, realizar, reconocer, buscar, comparar, describir, planificar, ordenar, describir y planificar.

Como condiciones para las acciones se encuentran en primer lugar las exigencias que el ejercicio plantea al alumno, expresada por el grado de dificultad del ejercicio.

La autora asume los elementos por los que está formado un ejercicio en Matemática que ofrece Ballester Pedroso, S (1992), p.267.

"La situación inicial (los elementos que se dan, premisas).

La vía de solución (las transformaciones que hay que llevar a cabo para resolverlo).

La situación final. (Elementos que se buscan, tesis)".

En estos autores existe unidad de criterio, cuando se destaca que un ejercicio es una exigencia para actuar y que existe una situación inicial, una vía de solución y una situación final. En criterio de esta autora, estos elementos precisan las características esenciales de los ejercicios en la enseñanza de la Matemática. .

Los ejercicios como toda actividad docente, requieren de una adecuada orientación para poder lograr los objetivos que con ellos se propone el maestro, además deben ser controlados en todo momento mediante las diferentes vías que existen para ello, lo que garantizará en buena medida el éxito en la asimilación del contenido por los alumnos y el desarrollo de habilidades que se pretenda alcanzar con ellos.

CAPÍTULO II:

Análisis de los instrumentos aplicados. Propuesta de ejercicios

En este capítulo encontrarás una breve caracterización de la muestra seleccionada, así como los resultados de los instrumentos aplicados que permitieron evaluar la variable a partir de los indicadores que se proponen. Además, aparece la fundamentación de la propuesta de ejercicios y un ejemplo de los mismos. Por otra parte, se aprecian los resultados comparativos de los instrumentos después de la puesta en práctica de la propuesta.

2.1. Características del escolar de segundo grado

Para el desarrollo de la investigación se tomó como muestra intencional a 16 escolares de segundo grado del grupo "A", de la escuela primaria "Guerrillero Heroico ". De ellos, 9 pertenecen al sexo femenino y 7 al masculino con una edad promedio de 8 años.

El grupo de forma general tiene buen aprovechamiento académico en las actividades docentes. Su aprendizaje es normal y cumplen con todas las tareas y deberes como pioneros. El mayor interés del grupo es el juego, la biblioteca y la computación, por lo que se puede decir que 3 de ellos, tienen el aprendizaje lento y están evaluados de R, por lo que necesitan del apoyo e impulsos por el maestro; 4 son evaluados de MB , y 9 de B .

2.2 Análisis de los resultados del diagnóstico inicial con la aplicación de los diferentes instrumentos

Los escolares que forman parte de la muestra, en las clases de Matemática donde se trabaja ejercicios de adición y sustracción con sobrepaso, de manera general no comprenden los significados prácticos de ambas operaciones aritméticas, no dominan los ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso, así como el cálculo de ejercicios básicos de adición y sustracción de números de un lugar a números de dos lugares con sobrepaso.

Por otra parte, no son capaces de automatizar las acciones y operaciones para resolver los ejercicios, ni fundamentan sus resultados mediante el empleo de los conocimientos matemáticos que han adquirido.

La aplicación de determinados instrumentos durante el inicio de la investigación, posibilitó el conocimiento de aspectos esenciales que a su vez facilitaron la determinación del estado inicial del problema y sobre esa base realizar valoraciones dirigidas a los resultados obtenidos y precisar las características que tendrían los ejercicios. Con este propósito se determinaron a partir de la variable antes mencionada, las siguientes dimensiones e indicadores, los cuales fueron evaluados según la clave que aparece en el Anexo 1:

La guía de observación a clases de Matemática fue el primer instrumento utilizado en la investigación. Se confeccionó en correspondencia con los indicadores que rigen la investigación con el objetivo de comprobar el desempeño de los escolares en el cálculo de ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso (Anexo 2). Se observaron 8 clases en las que se les daba tratamiento a estas operaciones de cálculo en clases de ejercitación, donde debían aplicar lo ya conocido a situaciones nuevas. Cuatro clases fueron de adición y cuatro de sustracción. A continuación, se presentan los resultados que aparecen en el Anexo 3.

De las cuatro clases observadas de adición, solo en una de ellas se apreció que el 100% de los escolares manifestaron dominio de los significados prácticos de la adición, lo que permitió corroborar dificultades en este sentido.

En el 75% de las clases donde se le dio tratamiento a la adición no se comportó de la misma manera lo relacionado con el dominio de los ejercicios básicos de adición con sobrepaso, pues necesitaron de medios auxiliares para ello y de niveles de ayuda e impulsos por parte de la maestra.

De igual modo, en el 70% de los escolares, se vio afectado el cálculo de ejercicios básicos de adición que presentaba la maestra a través de variadas actividades, ya que no eran capaces de automatizar las acciones y operaciones para resolver los ejercicios, ni fundamentan sus resultados mediante el empleo de los conocimientos matemáticos.

Otras incidencias apreciadas, estuvieron relacionadas con las clases donde se le dio tratamiento a la sustracción, constatándose que es la operación de cálculo más afectada en la muestra de los escolares. En el 25% de las clases, se comprobó que no siempre comprenden los significados prácticos de esta operación, evidenciándose esto en el 55% de los escolares.

Respecto al dominio de los ejercicios básicos de sustracción en el 25% de las clases observadas en relación a este contenido, los escolares manifestaron deficiencias, lo que se traslada al cálculo escrito donde deben realizar las transferencias de los mismos a números de dos lugares múltiplos de 10.

Otro de los instrumentos aplicados fue la prueba pedagógica inicial (Anexo 4). El temario de la prueba consta de cuatro preguntas, en las que se tienen en cuenta los indicadores de la variable. Para su revisión se consideró una clave de calificación que aparece en el (anexo 5) al tener en cuenta la escala de aprobado (A) y Desaprobado (D).

La primera pregunta estuvo dirigida al dominio de los significados prácticos de la adición. En este sentido debían reconocer las igualdades de adición que permiten dar solución a un problema aritmético en que se dan las partes para hallar el todo (indicador a). Este indicador resultó aprobado (A) por el 43,5% (7 escolares).

En cuanto al dominio de los ejercicios básicos de adición con sobrepaso, indicador b, el mismo fue aprobado por el 37,5% (6 escolares), cometieron varios errores de cálculo para su solución. Igual por ciento se comportó en el indicador c) al calcular ejercicios de adición de números de un lugar a números de dos lugares, con sobrepaso de un múltiplo de 10; fueron aprobados solamente 6 escolares (37,5%).

En cuanto a la comprensión de los significados prácticos de la sustracción, indicador d), debían reconocer la igualdad que posibilitaba dar solución a un problema aritmético en el cual se daba una parte y su exceso sobre otra para hallar la otra parte. Este indicador resultó aprobado por el 56% (9 escolares), no reconocen de manera acertada la igualdad que se correspondía con el significado práctico de la sustracción que se ofrecía.

El indicador e) dominio de los ejercicios básicos de sustracción con sobrepaso aprobó solamente el 43,8%. Algo similar ocurrió en cuanto al cálculo de ejercicios de sustracción de números de un lugar a números de dos lugares con sobrepaso de un múltiplo de 10, lo que demuestra dificultades en este sentido en la muestra seleccionada.

En sentido general, la aplicación de este instrumento posibilitó determinar las insuficiencias presentadas por los escolares en los momentos iniciales de la investigación. Las mismas estuvieron dadas en todos los indicadores que posibilitaron medir la variable desarrollo de habilidades en el cálculo de ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso en escolares de segundo grado. (Anexo 6)

Como último instrumento se aplicó un cuestionario a los escolares (Anexo 7) con el propósito de conocer sus opiniones en relación con el cálculo de ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso .En este sentido, el 43,8% de los escolares refirió sentir gusto por la Matemática, mientras que el 12,5% manifestó que no le gustaba y el 43,7% que le gustaba a veces. Entre las causas por las que no les gusta, se refirieron, entre otras a que no dominan los ejercicios y a veces no entienden.

En cuanto al siguiente indicador considerado en este instrumento, la medida en que les gusta resolver ejercicios de cálculo de ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso, el 55% (9 escolares) refirió que mucho, mientras que el 30% poco y el 15% no le gusta.

Al respecto de la auto calificación de su aprendizaje en relación con el cálculo de ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso solamente el 10% (2 escolares) se ubicó en la categoría excelente, el 15% en muy bien, el 25% en bien, el 35% en regular y un 15% se ubicó en mal. En este sentido se destaca el elevado número de escolares de la muestra que se sitúa en la categoría de regular.

Entre las operaciones de cálculo que más prefieren, se encuentra la adición, con el 100% de los escolares. En cuanto a la necesidad de niveles de ayuda en las diferentes operaciones de cálculo, solamente el 35% de los escolares refirió que, en la adición, mientras que en la sustracción el 65%. Como puede apreciarse, los escolares reconocen una vez más que sus mayores dificultades están en la sustracción.

El análisis de los resultados obtenidos con este instrumento, posibilitó corroborar los elementos que se poseían en cuanto al diagnóstico de los mismos y su situación con respecto a la Matemática y a las operaciones de cálculo de adición y sustracción con sobrepaso.

Por todo lo anterior se decidió elaborar ejercicios para dar tratamiento al contenido del cálculo con sobrepaso en segundo grado de la Educación Primaria. Esta propuesta consta de 25 ejercicios, estos están unidos por un hilo conductor (el cálculo con sobrepaso), aunque son variados e integran los diferentes niveles de desempeño de la asignatura.

2.3 Caracterización del sistema de ejercicios para el desarrollo de habilidades de cálculo de ejercicios básicos de adición y sustracción con sobrepaso

Todos los autores consultados coinciden en confirmar que el sistema está compuesto por un conjunto de elementos que se encuentran en un nivel de interdependencia de modo que un cambio en uno implica modificación en los restantes. (Ver: Bertalanffy, 1920; Levi Strauss, 1930; Carlos Marx, 1848)

Según estos autores, cada una de las partes posee sus cualidades, al declarar que pueden ser independientes, sin embargo su integración se expresa en una unidad determinada por un objetivo o fin supremo.