Error en las simulaciones (métodos de integración más precisos)
Ineficiencia en la transferencia de energía entre modos
…
Sin avances
Interpretaciones I
Interpretaciones II
Teorema KAM (A.N.Kolmogorov, V.I. Arnold y J.K. Moser)
Demuestra(*) la persistencia de “barreras” en sistemas hamiltonianos perturbados, que impiden la ergodicidad.
B.V.Chirikov y F.M. Izrailev (1966)
Strong stochasticity threshold
Interpretaciones II
Map Standard
(Gp:) K=0
(Gp:) K=1.6
Algunos toros KAM (p irracional) persisten, aunque deformados, a K distinto de cero. El último que se rompe corresponde a la media áurea.
Interpretaciones II
N.J. Zabusky y M.D. Kruskal
(Gp:) Ecuaciones del movimiento de la FPU
(Gp:) Restringiéndose a modos de gran longitud de onda (Ap.2)
(l >> a)
Ecuación de Korteweg-de Vries
(KdV) (1895)
(Gp:) ¿?
Interpretaciones II
KdV y la solución de Zabusky-Kruskal
Numéricamente “demostraron” que:
Tenía soluciones estables del tipo “pulso”.
Podían coexistir varias de ellas.
Podían colisionar entre sí conservando sus propiedades (forma y velocidad).
SOLITONES
Zabusky & Kruskal “ Interactions of solitons in a collisionless plasma, a recurrence of initial states” Physical Review Letters 15, (1965) 240-243
Interpretaciones II
KdV y la solución de Zabusky-Kruskal
(Gp:) t
(Gp:) x
(Gp:) t
(Gp:) x
Interpretaciones II
Gardner, Greene, Kruskal y Miura:
Los resultados numéricos iniciales de Zabusky y Kruskal se vieron refrendados tras encontrar un método para resolver la ecuación KdV. Este método se conoce como IST (Inverse Spectral Transform o Inverse Scattering Transform)
La ecuación KdV es completamente integrable
(Gp:) ¿?
Interpretaciones II
¿ Pero que aportaba esta solución al problema inicial de la paradoja FPU ?
En un sistema finito (como el original FPU), si coexisten varios solitones que se mueven a distintas velocidades (y rebotan en los extremos), a intervalos regulares de tiempo se tendrá una superposición de ellos, reproduciendo un estado anterior. Es decir, habrá RECURRENCIA.
Pero no antes de comentar que ocurre cuando “volvemos” al discreto.
¿ Qué efectos introduce (en general)la discretitud y/o finitud sobre las soluciones del continuo ?
La “versión discreta” del solitón ya no es una solución exacta del modelo discreto.
Existencia de barreras al movimiento. Barreras de Peierls-Nabarro.
Existencia de estados metaestables.
Emisión/absorción de radiación (fonones o modos lineales).
Espectro de modos lineales discreto y acotado.
. . .
El solitón de J.S. Russell
En 1834 John Scott Russell estaba realizando experimentos en un canal en Hermiston, cerca de Edinburgo (Escocia), sobre la relación entre la fuerza necesaria para arrastrar un bote y la velocidad que éste adquiría. Un día de Agosto:
“the boat suddenly stopped –not so the mass of water in the channel which it had put in motion; it accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation, then suddenly leaving it behind, rolled forward with great velocity, assuming the form of a large solitary elevation, a rounded, smooth and well defined heap of water, which continued its course along the channel without change of form or diminution of speed.” [ J.S. Russell, 1844]
Russell siguió a caballo a esa onda, mientras pudo, por los recodos del canal. La forma se mantuvo inalterable así como su velocidad (8 o 9 millas/hora), su longitud (unos 30 pies) y su altura (1 o 1 ½ piés).
Experimentos en un tanque de agua
Las ondas solitarias tienen forma de secante hiperbólica.
Una masa inicial de agua suficientemente grande, es capaz de generar más de una de esas ondas.
Las ondas solitarias se pueden cruzar una a otra sin que cambie ninguna de sus propiedades.
La velocidad, altura de la onda y profundidad del canal están relacionados:
Recreación de la experiencia de J.S. Russell (12-7-1995).
Onda solitaria
Otros ejemplos de ondas solitarias
Tarifa
Gibraltar
Ceuta
¿Cuáles son los ingredientes que permiten una solución “solitónica”?
Los efectos dispersivos están compensados por la nolinealidad.
Consideremos una simplificación de la KdV.
La solución mas elemental de esta ecuación es una onda armónica
Pero w y k deben cumplir la relación:
relación de dispersión
Las velocidades de fase y de grupo son:
Cómo de rápido se mueve un punto de fase constante
Cómo de rápido se mueve la energía de la onda
Las ondas descritas por la ecuación diferencial anterior se dicen dispersivas puesto que cuanto mayor sea k, mayor será la velocidad (tanto de fase como de grupo).
Una onda compuesta por la superposición de varias de distinto k se dispersará a medida que se vaya desplazando. Por tanto la forma de esa onda conjunta cambiará.
Por otra parte, si eliminamos el término dispersivo:
Esta ecuación nolineal admite soluciones del tipo:
Una función arbitraria
La solución tiene la propiedad de que puntos que experimenten mayores desplazamientos también se mueven a mayores velocidades. Y por tanto la onda también tiende a cambiar de forma.
u es la propia velocidad de la onda
Los 2 fenómenos conjuntamente:
Ejercicios propuestos sobre la cadena FPU
Reproducir los resultados comentados en el modelo a-FPU.
Crear un programa en el ordenador (en fortran o C o …) y tratar de obtener dichos resultados (recurrencia, no-ergodicidad entre modos a bajo a, existencia de un a mínimo, observación de solitones,…)
Métodos de resolución analítica
IST (Inverse Scattering Transform)
(Gardner, Greene, Kruskal, Miura 1967)
Hirota’s direct method (1971 R. Hirota)
Bäcklund Transform (1883 J.O. Bäcklund)
Todas ellas son capaces de obtener soluciones analíticas multi-solitónicas.
La transformación Bäcklund
(Gp:) Las ecuaciones diferenciales lineales
(Gp:) Principio de superposición para obtener otras soluciones
(Gp:) Conocidas unas soluciones
(Gp:) Las ecuaciones diferenciales no lineales
(Gp:) ¿Se pueden obtener otras soluciones de manera “sencilla”?
(Gp:) Conocidas unas soluciones
Típicamente las ecuaciones nolineales tienen asociados principios de superposición nolineales específicos. Por tanto, se puede obtener una sucesión infinita de soluciones por procedimientos puramente algebraicos, siempre y cuando se conozcan esos métodos.
La transformación Bäcklund
Principio de superposición nolineal.
Relaciona ciertas ecuaciones nolineales con otras llamadas “formas canónicas”.
Interés
(Gp:) Dificultad
(Gp:) Solo se conocen para unas pocas ec. diferenciales nolineales.
(Gp:) Puede resultar costoso obtener esa sucesión de soluciones.
(Gp:) Entre ellas la KdV, sine-Gordon, …
BT en la ecuación sine-Gordon
(Gp:) BT:
(Gp:) cte arbitraria
Una solución trivial de la ecuación sG es el vacio u0=0
(Auto transformada BT)
BT:
(Gp:) Integrando 1 vez respecto a cada variable, utilizando:
(Gp:) Se llega a:
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