CONJUNTOS
En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse lógicamente como un término no definido.
Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto.
Ejemplo:
En la figura adjunta tienes un Conjunto de Personas
NOTACIÓN
Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, …,sus elementos se separan mediante punto y coma.
Ejemplo:
El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, …, x, y, z. se puede escribir así:
L={ a; b; c; …; x; y; z}
Ejemplo:
A= {a;b;c;d;e} su cardinal n(A)=
B= {x;x;x;y;y;z} su cardinal n(B)=
En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo:
El conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }.
Al número de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se le representa por n(Q).
5
3
RELACION DE PERTENENCIA
Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo:
Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo:
Ejemplo:
Sea M = {2;4;6;8;10}
…se lee 2 pertenece al conjunto M
…se lee 5 no pertenece al conjunto M
DETERMINACION DE CONJUNTOS
I) POR EXTENSIÓN
Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión
Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplos:
A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10.
B = {-9;-7;-5;-3;-1 }
II) POR COMPRENSIÓN
Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.
Ejemplo:
se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
P = { los números dígitos }
Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee “ P es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito “
Ejemplo:
Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana.
Por Extensión : D = { lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo }
Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana }
DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada.
A
M
T
7
2
3
6
9
a
e
i
o
u
(1;3)
(7;6)
(2;4)
(5;8)
8
4
1
5
A = o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “
CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTO VACÍO
Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: o { }
Ejemplos:
M = { números mayores que 9 y menores que 5 }
P = { x / }
CONJUNTO UNITARIO
Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos:
F = { x / 2x + 6 = 0 }
G =
CONJUNTO FINITO
Es el conjunto con limitado número de elementos.
Ejemplos:
E = { x / x es un número impar positivo menor que 10 }
N = { x / x2 = 4 }
;
CONJUNTO INFINITO
Es el conjunto con ilimitado número de elementos.
Ejemplos:
R = { x / x < 6 }
S = { x / x es un número par }
CONJUNTO UNIVERSAL
Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra U
Ejemplo:
El universo o conjunto universal
;
de todos los números es el conjunto de los NÚMEROS COMPLEJOS.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
INCLUSIÓN
Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sí y sólo sí, todo elemento de A es también elemento de B
NOTACIÓN :
Se lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B, A esta contenido en B , A es parte de B.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA :
B
A
PROPIEDADES:
I ) Todo conjunto está incluido en si mismo.
II ) El conjunto vacío se considera incluido en cualquier conjunto.
III ) A está incluido en B ( ) equivale a decir que B incluye a A ( )
IV ) Si A no está incluido en B o A no es subconjunto de B significa que por lo menos un elemento de A no pertenece a B. ( )
V ) Simbólicamente:
CONJUNTOS COMPARABLES
Un conjunto A es COMPARABLE con otro conjunto B si entre dichos conjuntos existe una relación de inclusión.
A es comparable con B ? A ? B ? B ? A
Ejemplo:
A={1;2;3;4;5} y B={2;4}
1
2
3
4
5
A
B
Observa que B está incluido en A ,por lo tanto Ay B son COMPARABLES
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.
Ejemplo:
A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }
Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene en ambos casos que x es igual a 3 o -3, es decir : A = {-3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=B
Simbólicamente :
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