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Modelos Autorregresivos de Media Móvil



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Proceso Ruido Blanco Una secuencia de variables aleatorias {at } tal que . . . . 1 2 3 4 k
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La Descomposicion de Wold Sea {Zt} una serie temporal estacionaria y no deterministica. Entonces
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Algunos Notas sobre la Descomposicion de Wold
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Que no dice la descomposición de Wold? at no tiene por que seguir una distribucion normal y por tanto no tiene por que ser iid Aunque P[at|Zt-j]=0, esto no implica que E[at|Zt-j]=0 (piensa en las posibles consecuencias!!!!) Los shocks a no necesitan ser los “verdaderos” del sistema. Cuando lo serán???? La unicidad del resultado solo dice que la representacion de Wold es la unica representacion lineal donde los shocks son errores de prediciones. Representaciones no-lineales o representaciones en terminos de errores que no sean de prediccion son perfectamente posibles.
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Ejemplo de lineal versus no-lineal Suponga que Yt=Xt2 + Zt con Xt y Zt N(0, 1) e independientes entre ellas. La mejor prediccion dado Xt es E[Yt|Xt]=Xt2. La mejor prediccion lineal o projeccion lineal dado Xt es a + b Xt donde se puede comprobar que a=1 y b=0. Si calculamos el error cuadratico medio de las dos predicciones: E[Yt-Xt2]2=E[Zt]2 =1 E[Yt-1]2=E[Xt4]+E[Zt]2-1=3 Que prediccion es mejor? .
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Nacimiento de los modelos ARMA Bajo condiciones generales, el polinomio de retardos infinito de la descomposicion de Wold puede ser aproximado por el cociente de dos polinomios de retardos finitos: Entonces AR(p) MA(q)
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Procesos MA(1) Sea un ruido blanco de media cero Esperanza Varianza Autocovarianza
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Proceso MA(1) (cont) Autocovarianzas de ordenes mayores Autocorrelacion
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Proceso MA(1) (cont) MA(1) es un proceso estacionario en covarianzas porque MA(1) es ergodico porque Si fuera Gaussiano, entonces seria ergodico para todos los momentos
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Grafico de la funcion 1 -1 0.5 -0.5 Ambos procesos comparten la misma funcion de autocorrelacion MA(1) no es identificable, excepto para
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Invertibilidad Definición: Un proceso MA(q) definido por la ecuación se dice que es invertible si existe una secuencia de constantes y Teorema: Sea {Zt} un MA(q). Entonces {Zt} es invertible si y solo si Los coeficientes {pj} están determinados por la relación
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Identificación de un MA(1) Si identificamos el MA(1) a través de la estructura de autocorrelaciones, necesitamos decidir que valor de q elegir, el mayor que uno o el menor que uno. Si requerimos que se cumpla condicion de invertibilidad (pensad por que???) elegiríamos el valor q<1. Otra razón por la cual elegimos el valor menor que uno se encuentra en la varianza de los errores de las dos representaciones alternativas:
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MA(q) Momentos MA(q) es Estacionario en covarianzas y ergodico, por las mismas por las que lo es un MA(1)
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MA(infinito) Es estacionario en covarianzas? El proceso es estacionario en covarianzas, si se cumple que
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Procesos Causales y Estacionarios Definición: Un AR(p) definido por la ecuación se dice que es causal, o una función causal de {at}, si existe una secuencia de constantes y Causalidad es equivalente a Definicion: Una solucion estacionaria {Zt} de la ecuacion existe (y es la unica sol. estacionaria) si y solo si Desde ahora en adelante solo trataremos como modelos AR causales
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AR(1) Substituyendo hacia atras pogresión geometrica Recordad: es la condición para causalidad y ergodicidad