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Control estadístico de procesos (página 2)



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Introducción a la Probabilidad
Por ejemplo, supongamos que un agricultor necesita saber cuanta lluvia va a caer en los próximos meses, antes de decidir si le conviene sembrar o no esta temporada.

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Introducción a la Probabilidad
El agricultor se informó en la oficina de meteorología acerca de la presión barométrica, la temperatura, velocidad del viento y otros datos meteorológicos de la zona en que vive.

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Sin embargo, no hay una ecuación que con todos esos datos le permita calcular los milímetros de lluvia que van a caer en un mes en forma precisa.

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De la misma manera, ningún operador puede calcular cuanto va a subir la Bolsa, ni siquiera si va a subir o bajar, aún cuando tenga a su alcance todas las variables económicas disponibles para el país.

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Este tipo de fenómenos No admiten un modelo determinístico, sino un modelo probabilístico, que como resultado nos dice la probabilidad de que llueva una cierta cantidad, o la probabilidad de que la Bolsa suba un cierto porcentaje.

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El resultado no es un valor determinado, sino la probabilidad de un valor.

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Veamos algunos ejemplos de fenómenos o experimentos para los cuales es apropiado o conveniente utilizar un modelo probabilístico:

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Experimento 1:
Se lanza un dado y se anota el número que aparece en la cara superior.

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Experimento 2:
Se arroja una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas.

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Experimento 3:
Se arroja una moneda cuatro veces y se anota la sucesión de caras y cecas obtenidas.

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Experimento 4:
Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 horas.

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En todos estos casos, el resultado del experimento no se puede predecir con absoluta certeza. Hay varios resultados posibles cada vez que se realiza la experiencia.

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Para cada experimento del tipo que estamos considerando, se define el Espacio Muestral como el conjunto de todos los resultados posibles que pueden producirse al realizar el experimento.

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Experimento 1:
Se lanza un dado y se anota el número que aparece en la cara superior.
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 5
(Gp:) 6

Espacio Muestral S

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1
4
3
2
0
Espacio Muestral S
Experimento 2:
Se arroja una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas.

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Experimento 3:
Se arroja una moneda cuatro veces y se anota la sucesión de caras (C) y cecas (X) obtenidas.

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Experimento 4:
Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 horas.
donde N es el número máximo que pudo ser producido en 24 horas.

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Un Suceso, respecto a un espacio muestral S asociado con determinado experimento, es un subconjunto de resultados del espacio muestral.

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(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 5
(Gp:) 6

Espacio Muestral S
Suceso

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Entonces, el subconjunto formado por un solo elemento del espacio muestral es un suceso.

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(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 5
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Espacio Muestral S
Suceso Elemental

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El conjunto formado por todos los elementos del espacio muestral también es un suceso.

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(Gp:) 4
(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 5
(Gp:) 6

Espacio Muestral S
Suceso

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Y también lo es el conjunto vacío.

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Hemos visto que dado un experimento cualquiera, hay un espacio muestral asociado cuyos elementos son todos los resultados que se pueden obtener de la experiencia.
Un subgrupo o subconjunto de resultados es un suceso.

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Ahora ¿Cómo podemos saber si la posibilidad de que ocurra un suceso es grande o pequeña?
Por ejemplo, si arrojamos un dado, ¿Cómo podemos calcular la probabilidad de que salga un 2 ?.

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Para esto necesitamos un número asociado con cada suceso, al cual se lo denomina probabilidad del suceso.

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Entonces, la probabilidad P de un suceso es un número entre 0 y 1, que nos dice en que medida es posible que ocurra el suceso.

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Si la probabilidad es 1 significa que el suceso ocurrirá con toda certeza.
Si la probabilidad es 0,5 significa que un suceso puede ocurrir o puede no ocurrir con la misma probabilidad.
Probabilidad 0 quiere decir que el suceso es imposible que ocurra.

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¿Cómo podemos calcular la Probabilidad de un suceso?

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La respuesta a esta pregunta no siempre es sencilla y depende del experimento y de su espacio muestral asociado.
Hay casos simples en los que el cálculo es relativamente sencillo.

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En primer término, supondremos que se trata de un experimento cuyo espacio muestral es finito y tiene un número pequeño de resultados posibles.
En segundo término, supondremos que todos los resultados que integran el espacio muestral (sucesos elementales) tienen la misma probabilidad de ocurrir.

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Con estas dos hipótesis, la fórmula para calcular la probabilidad es muy sencilla.

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Supongamos que se trata de un experimento cualquiera cuyo espacio muestral S tiene N elementos (N resultados posibles).
Deseamos calcular la probabilidad de un suceso H (Un subconjunto H del espacio muestral S) que tiene m elementos.

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De acuerdo a lo dicho previamente, el número N tiene que ser pequeño y la probabilidad de cada suceso elemental tiene que ser la misma.

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Espacio Muestral S
Suceso H
N elementos
m elementos

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Entonces la probabilidad P de que ocurra el suceso H es:

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Veamos algunos ejemplos. Supongamos que se arroja un dado sobre una mesa y apostamos a que salga un número igual o menor que 4.

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Sabemos que son igualmente posibles los números: {1, 2, 3, 4, 5 y 6} (Espacio muestral con 6 elementos).

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Pero los números favorables a nuestra apuesta son: {1, 2, 3 y 4} (Suceso con 4 elementos). Entonces, la probabilidad de que ganemos es:

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(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 5
(Gp:) 6

Espacio Muestral S
Suceso

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Es decir que tenemos a nuestro favor una probabilidad de 0,666.. (o sea aproximadamente del 67 %).

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Si apostamos a un sólo número, por ejemplo a que sale un as, la probabilidad de ganar sería:

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(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 5
(Gp:) 6

Espacio Muestral S
Suceso

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Introducción a la Probabilidad
Repitiendo, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que nos dice en que medida es posible que ocurra un suceso.

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