Determinación del número de picos y bandas en cromatografía y espectroscopía mediante derivación (página 2)

En el caso de tres picos solapados pueden presentarse
una de las tres variantes siguientes: los tres picos solapados se
encuentran totalmente contenidos dentro de un pico ancho, que es
semejante al caso mostrado en la figura 2a; existencia de un
hombro en uno de los laterales como se ilustró en la
figura 2b y un tercer caso que es la presencia de hombros en
ambos laterales del pico experimental, que a los efectos de
procesamiento resulta semejante al caso anterior.

Otro aspecto imprescindible al abordar la
separación de picos solapados es el limite teórico
de resolución posible, el cual expresa si es posible
separarlos (resolverlos), que en el caso de estudio (espectros
infrarrojo y ultravioleta y cromatografía) se enuncia como sigue:
«dos picos solapados pueden separarse si la diferencia
entre la separación de los puntos de simetría de
ambos es mayor o igual que la mitad del semiancho del
menor». Matemáticamente el criterio anterior se
expresa a través de la siguiente ecuación, donde
los parámetros tienen el significado que se
indica:

xS,1; xS,2: posición del
punto de simetría de cada una de los picos solapados en la
señal experimental.

b m : menor
semiancho de dos picos solapados en la señal
experimental.

Nótese que este criterio no considera la
relación entre las amplitudes de los picos solapados, lo
cual como se verá posteriormente constituye una fuente de
error en la predicción del límite
teórico.

II.1.2 Funciones para
modelar

Los registros
experimentales pueden ser modeladas a través de funciones
de Gauss (cromatografía, espectros ultravioleta) o de
Lorentz (espectros infrarrojo), cuyas expresiones matemáticas se muestran a
continuación y cuyos parámetros tienen el siguiente
significado analítico:

a0: amplitud de la banda espectral o pico de
cromatografía.

x0: posición del punto de
máxima amplitud de la banda espectral o pico de
cromatografía.

b 0: semiancho de
la banda espectral o pico de cromatografía.

En relación con las expresiones anteriores es
conveniente señalar que las mismas pueden considerarse en
términos matemáticos como funciones de distribución, atendiendo a lo cual resulta
de interés
la determinación de sus momentos, en particular hasta los
de cuarto orden, atendiendo a su significado estadístico y
asociación, que puede establecerse con
características del registro
experimental y que se relacionan en la tabla
siguiente.

Tabla 1. Relación entre los momentos de la
distribución y los registros experimentales
analizados.

Aplicando el Principio de Superposición, que
establece que un registro experimental puede ser descompuesto a
través de la suma del aporte individual de cada
componente, lo que supone la no interacción entre los componentes, o lo que
es equivalente, el coeficiente de correlación entre
éstos es nulo, los registros experimentales objeto de
estudio en este trabajo pueden
ser modelados (simulados) de manera general mediante las ecuaciones 4 y
5, donde n indica la cantidad de componentes (picos o bandas)
presentes en el registro experimental.

II.1.2.1 Propiedades generales

Utilizando las definiciones y propiedades de las
funciones relacionadas en el Anexo A, es posible determinar los
momentos de las funciones bajo estudio de la forma que se detalla
en el Anexo B, donde se evidencia que el comportamiento
de las mismas es diferente: en el caso de la función de
Gauss es posible determinar sus momentos, en tanto en la
función de Lorentz sólo permite calcular el momento
de primer orden, que coincide con el de Gauss.

De igual forma, la norma de la función de Lorentz
es mayor, lo cual es una consecuencia de que su
disminución es muy rápida en la cercanía del
punto de máxima amplitud, pero después decrece
más lentamente a cero que la de Gauss.

Para ilustrar lo antes señalado, en la figura 3
se muestra la
simulación de dos registros experimentales
a través de la función de Gauss y Lorentz con
iguales parámetros característicos (amplitud,
posición de máxima amplitud y semiancho), donde se
aprecia que ambas funciones sólo se diferencian en la
curtosis (esbeltez) del pico. En términos
matemáticos esto indica que dos picos consecutivos con
iguales parámetros están más resueltos
(separados) en el caso de la función de Lorentz, que en la
de Gauss.

En términos de la Química
Analítica, este resultado permite afirmar que los
registros experimentales cuyo comportamiento puede ser modelado a
través de las funciones de Lorentz (espectros infrarrojo)
exhiben intrínsecamente una mayor resolución que
aquellos que se describen a través de la función de
Gauss (cromatografía y espectro ultravioleta).

II.1.2.2 Derivadas
analíticas

Una vez caracterizadas las funciones de interés
(Gauss y Lorentz), es necesario determinar las expresiones
analíticas de las derivadas de las mismas, las cuales se
obtienen aplicando las reglas de derivación a las
expresiones (4) y (5), que conducen a los resultados
siguientes:

• Funciones de Gauss:

Nótese que la derivada n-ésima de orden
superior o igual a dos (n ³ 2) de
la función de Gauss puede obtenerse de la expresión
general siguiente, asumiendo que la derivada de orden cero de una
función, es la propia función.

• Funciones de Lorent:

II.1.3 Simulación de registros
experimentales

Como se indicó anteriormente en el caso de los
Métodos
Espectroscópicos y de la Cromatografía, es conocido
que los picos o bandas obtenidas en la señal experimental
pueden modelarse a través de funciones matemáticas
conocidas (Gauss y Lorentz), por lo cual la simulación de
un registro experimental puede realizarse aplicando el Principio
de Superposición.

Bajo esta aproximación, los registros
cromatográficos y espectroscòpicos (ultravioleta e
infrarrojo), la expresión matemática
para la determinación de la amplitud de la señal
simulada en el punto i-ésimo viene dada por las siguientes
ecuaciones, donde n es el número de componentes
considerados en la simulación y las magnitudes con
subíndice j representan los parámetros de amplitud,
posición de máxima amplitud y semiancho de cada
componente.

n0: cantidad de puntos en el registro
experimental simulado.

II.2 Métodos para la separación de
picos y bandas solapados

II.2.1 Generalidades

Justamente, la existencia de picos solapados en los
registros experimentales de este tipo, ha dado lugar a diversos
trabajos orientados a proporcionar métodos para su
separación, así como para la determinación
del limite teórico de resolución que puede
obtenerse, el cual está dado por el principio
físico-químico utilizado en la obtención de
la señal.

En la práctica existe un obstáculo para
alcanzar este objetivo, la
gran cantidad de parámetros que constituyen variables en
este problema (3n), donde n es el número de picos o bandas
existentes en la región de interés, por lo cual el
análisis del poder
resolutivo de este método
debe dividirse en casos representativos de la práctica.
Los casos más frecuentes a los que se enfrenta el analista
es la presencia de dos o tres picos o bandas solapadas, aunque es
posible encontrar en determinada situación el solapamiento
de una cantidad superior.

II.2.2 Solución de Sistemas de
Ecuaciones No Lineales (SENL)

En relación con los métodos para separar
picos no resueltos pueden utilizarse diversos métodos,
entre los que se encuentra la solución de un Sistema de
Ecuaciones no Lineales, el cual requiere de evidencia
experimental complementaria acerca de la cantidad de picos y un
estimado del valor de sus
parámetros característicos (posición,
amplitud y semiancho) que deben proporcionarse al sistema para la
primera iteración, que en muchos casos decide si el
resultado obtenido por el algoritmo se
corresponde con un extremo local o al extremo, en este caso, un
mínimo absoluto.

II.2.3 Método de la Cuarta
Derivada

Otro procedimiento
para este propósito, que requiere de menos tiempo para el
procesamiento del registro experimental es el Derivativo, que
consiste en calcular las derivadas de la señal y,
aplicando los criterios de máximo del Análisis
Matemático, determinar la cantidad de picos existentes
en la región de interés
analítico.

En relación con este método, debe
señalarse que requiere de la determinación
analítica previa de las expresiones para el cálculo de
las derivadas de funciones de variable discreta y una evaluación
del error cometido al utilizar cada una de éstas,
así como que, el empleo de la
tercera y cuarta derivada en lugar de la primera y la segunda,
proporciona mayor poder separador pero deteriora la
relación señal/ruido, lo que
obliga a realizar una evaluación de si los beneficios
obtenidos con el incremento en el poder resolutivo sobrepasan el
riesgo de la
predicción de picos inexistentes a causa del nivel de
ruido del registro procesado.

No obstante, es necesario realizar las siguientes
consideraciones en relación con las limitaciones antes
señaladas:

• En múltiples ocasiones el analista está
  interesado, en principio, en determinar la presencia o no de un
  compuesto o grupo
  químico y por tanto, si al aplicar el método
  puede identificar, aunque sea de manera borrosa, la existencia
  de un pico o banda característico que pueda asociarsele
  resultará conveniente su utilización.
• Los resultados provenientes de cualquier sistema
  automatizado requieren de la validación de un
  especialista, pues la racionalidad que garantiza en el
  resultado, evita tener que desechar en etapas más
  avanzadas de la investigación resultados que pueden
  incluso ser pilares de ésta debido a una mala interpretación o
  extrapolación.

Nótese que los dos métodos descritos a
grandes rasgos anteriormente, no eliminan el criterio experto de
evaluación de la racionalidad de la solución
propuesta, pero simplifican el trabajo de
éste al proponerle una solución de coherente en
términos matemáticos.

II.2.3.1 Criterios matemáticos de
extremo

La determinación de los puntos extremos
(máximos y mínimos) de funciones matemáticas
empleando las derivadas de éstas se obtiene determinando
los valores de
la variable independiente (x) en el cual se cumplen las
condiciones siguientes:

II.2.3.2 Métodos para el cálculo de
derivadas de funciones de variable discreta

Una vez caracterizadas las funciones objeto de estudio y
obtenidas las expresiones de las derivadas analíticas de
hasta cuarto orden de las mismas, así como el
procedimiento para la simulación de la señal
experimental, es necesario establecer las expresiones a utilizar
para el cálculo de las derivadas de funciones de variable
independiente discreta (expresiones discretas en lo sucesivo),
que puede realizarse utilizando cualesquiera de los cuatro
métodos que se describen a continuación:

• Cálculo de diferencias. Este es un
  método recursivo para el cálculo de derivadas,
  que se basa en determinar la diferencia de orden n en
  función de la diferencia de orden n-1. Una variante de
  este método es el cálculo de las diferencias
  centrales, que en lugar de utilizar para su
  determinación el valor de la diferencia anterior emplea
  el valor central (punto medio) de la misma.
• Derivación sucesiva. Este método
  se basa en la aplicación reiterativa de la
  definición de derivada a la expresión obtenida
  para el orden anterior, utilizando la siguiente
  expresión para la primera derivada .
• Ajuste de polinomios. El método de
  ajustes de polinomios para el cálculo de las derivadas,
  se fundamenta en obtener las expresiones de los coeficientes de
  los términos del ajuste de m puntos experimentales
  mediante un polinomio de grado m-1, cuya determinación
  conduce a la solución de un sistema de ecuaciones
  lineales.
• Ajuste de polinomios mediante mínimos
  cuadrados. Para obtener las expresiones de las derivadas se
  ajustan mediante la formulación matemática de los
  Mínimos Cuadrados m puntos a un polinomio de grado
  h<m y se resuelve el sistema de ecuaciones lineales a que
  conduce el planteamiento de este problema

En el Anexo D se relacionan las expresiones discretas
para las derivadas de hasta cuarto orden, utilizando cada uno de
los métodos antes descritos recopiladas de la literatura.

III. Correspondencia de las expresiones discretas
de las derivadas con las analíticas

Una vez presentados los aspectos teóricos
necesarios para la aplicación del Método de las
Derivadas en la determinación de picos y bandas en la
Química Analítica: funciones de interés,
Gauss y Lorentz; expresiones para el cálculo de las
derivadas de las funciones bajo estudio (expresiones
analíticas) y funciones de variables independiente
discretas (expresiones discretas) así como el
procedimiento para simular un registro experimental, el paso
siguiente corresponde a la determinación de las
expresiones discretas que exhiben el mejor ajuste con la
equivalente analítica, con vistas a seleccionar las
más ventajosas en el proceso de
análisis.

Lo antes señalado evidencia la necesidad de
caracterizar el error relativo entre estas expresiones el cual se
detalla a continuación.

III.1 Fuentes de
error

El primer paso en la caracterización del error
cometido al evaluar un proceso es determinar las fuentes del
mismo y como expresarla.

En cuanto a las fuentes de error, en este trabajo pueden
provenir de las dos vertientes fundamentales
siguientes:

• Registro experimental. Tiene una
  incertidumbre asociada a la calidad de la
  señal (incertidumbre y ruido) que está
  determinada por el proceso de obtención y es posible
  mejorarla utilizando equipos de mayor precisión y
  exactitud, así como a través del procesamiento
  con herramientas
  matemáticas, tales como filtros digitales, etc, que a
  los efectos de trabajo representan un fuente de error constante
  y por ello no serán abordados.
• Expresiones de cálculo. La
  existencia de diversos métodos (se consideran cuatro en
  este trabajo) para la determinación de las derivadas
  discretas, permite disponer en la práctica de cuatro
  conjuntos de
  expresiones, que requiere de una evaluación previa para
  establecer cual resulta más ventajosa en cada
  caso.

De todo lo expuesto, se evidencia que es indispensable
realizar una cuantificación del error que se comete al
utilizar cada una de las expresiones potencialmente utilizables,
para emplear aquella que exhiba mejor correspondencia con el
registro experimental, ya que la calidad de este último
como se expresó anteriormente, está predeterminada
por las condiciones experimentales disponibles y constituyen una
aporte constante al error en la determinación y en la
medida que las características del registro experimental
sean mejores el alcance y fiabilidad de los resultados
será mucho mayor.

III.2 Criterios para cuantificar el
error

De todo lo expuesto puede apreciarse que a los efectos
de este trabajo la cuantificación del error debe estar
dirigida a escoger la función para la derivada de cada
orden que menor diferencia represente con su homologa
analítica, para lo cual pueden utilizarse diversos
criterios.

Atendiendo al objetivo de éste trabajo y la
práctica usual en este tipo de problema se proponen como
criterios para determinar la mejor correspondencia entre las
derivadas analíticas y las discretas en este trabajo los
tres indicadores
definidos a continuación:

• Error cuadrático: Este
  indicador, definido a través de la expresión 21,
  puede interpretarse como la distancia (diferencia) existente
  entre la amplitud de la derivada de señal obtenida a
  través las expresiones discretas y las correspondientes
  analíticas.

.

• Error absoluto promedio: Este
  índice, definido mediante la expresión 22,
  representa la separación promedio que existe entre la
  amplitud de la derivada de señal obtenida a
  través las expresiones discretas y las correspondientes
  analíticas.

.

• Error absoluto máximo: Este
  índice, que se determina mediante la expresión
  22, representa la máxima separación que existe
  entre la amplitud de la derivada de señal obtenida a
  través las expresiones discretas y las correspondientes
  analíticas.

.

donde:

yd: amplitud de la derivada de señal
obtenida con las expresiones discretas.

ya: amplitud de la derivada de señal
obtenida con las expresiones analíticas.

n: cantidad de puntos en la señal
experimental.

k: orden de la derivada.

III.3 Procedimiento para la cuantificación
del error

Una vez establecidos los índices de error
seleccionados para evaluar la correspondencia de las expresiones
discretas con las continuas, el procedimiento para su
determinación es el siguiente:

2. Paso 1: Establecer los conjuntos de juegos de
   parámetros (amplitud, semiancho y posición)
   característicos, en este caso cuatro (n=4).
3. Paso 2: Simular la señal experimental
   mediante la superposición de cuatro bandas utiizando las
   expresiones 4 y 5.

1. Paso 3: Calcular las derivadas
   analíticas hasta cuarto orden de la señal
   simulada, mediante las superposición de la derivada
   analítica de las cuatro componentes, cuyas expresiones
   se relacionan en el apartado II.1.2.2 de este
   trabajo.

2. Paso 4: Calcular la derivada de todos los
   órdenes de la señal experimental simulada, a
   partir de las expresiones discretas relacionadas en el Anexo
   C.
3. Paso 5: Determinar los tres tipos de errores
   posibles considerados en este trabajo entre las derivada
   analítica y la obtenida en el paso anterior de este
   procedimiento.

A continuación se discuten los resultados
obtenidos para cada una de las funciones analizadas empleando
este procedimiento.

III.4 Comportamiento del error

III.4.1 Funciones de
Gauss

Utilizando el procedimiento descrito en el apartado
anterior se determinaron los tres índices de errores
definidos en este trabajo, cuyos resultados se relacionan en el
tabla 2.

Tabla 2. Funciones discretas de mejor correspondencia
con las analíticas.&uml;

¨
: Las celdas coloreadas indican que la expresión es
aplicable a ese orden de derivación.

§ : La
X indica que es la ecuación de mejor ajuste de las
utilizadas.

© : El
número entre paréntesis indica la cantidad de
puntos ajustados.

El análisis de los resultados obtenidos en la
cuantificación del error cometido al utilizar las
expresiones discretas para obtener las derivadas de hasta cuarto
orden evidencia que la mejor correspondencia se obtiene en el
caso de las derivadas de orden par (segunda y cuarta) el
Método de las Diferencias en tanto para las derivadas de
orden impar (primera y tercera) el Método de las Derivadas
Sucesivas es el más adecuado, por lo cual las expresiones
de las derivadas discretas a utilizar en el caso de los registros
experimentales modelados a través de funciones de Gauss
son las relacionadas en la tabla 3.

Tabla 3. Expresiones para la derivada discreta de mejor
correspondencia para la función de Gauss.

III.4.2 Funciones de
Lorentz

Una vez determinadas las expresiones de mejor
correspondencia para las señales
modeladas por la función de Gauss, repitiendo el proceso
para las modeladas por la función de Lorentz se obtuvieron
los resultados que se muestran en la tabla 4 a
continuación.

Tabla 4. Funciones discretas de mejor correspondencia
con las analíticas.¨

¨
: Las celdas coloreadas indican que la expresión es
aplicable a ese orden de derivación.

§ : La
X indica que es la ecuación de mejor ajuste de las
utilizadas.

© : El
número entre paréntesis indica la cantidad de
puntos ajustados.

El análisis de los resultados mostrados en la
tabla 4 ponen de manifiesto que la mejor correspondencia se
obtiene en el caso de las derivadas de orden inferior (primera y
segunda) por el Método de las Derivadas Sucesivas, en
tanto para las derivadas de orden superior (tercera y cuarta) se
requiere del Método de los Mínimos Cuadrados, para
los registros experimentales modelados a través de
funciones de Lorente, siendo las expresiones a utilizar en este
caso las relacionadas en la tabla 5.

Tabla 5. Expresiones discretas de mejor correspondencia
para la función de Lorentz.

III.4.3 Comparación del comportamiento
del error

El comportamiento de error para los registros
experimentales modelados por las funciones bajo estudio puede
resumirse en los siguientes aspectos:

Los tres índices de error propuestos en este
trabajo, establecen en todos los casos la misma tendencia en el
comportamiento del error, lo cual indica que el error cometido en
la determinación de la derivada es inherente al
método de cálculo de la derivada y no de la
función a la cual es aplicada.

Para ambos tipos de funciones (Gauss y Lorentz), la
mejor opción en la determinación de la primera y la
segunda derivada lo constituyen las expresiones obtenidas a
través del Método de Derivación Sucesiva, lo
que evidencia que el poder separador para éstos
órdenes de derivación es independiente del modelo que se
ajusta al registro experimental.

El mejor ajuste de las expresiones para la derivada de
tercer y cuarto orden, se corresponde con las obtenidas por el
Método de Derivación Sucesiva para registros
experimentales modelados a través de las funciones de
Gauss y del ajuste de un polinomio con siete puntos mediante
Mínimos Cuadrados para aquellos cuyo comportamiento se
describe mediante la función de Lorentz, lo cual
constituye un resultado esperado, atendiendo a que la
función de Lorentz requiere de una mayor cantidad de
puntos y de un método más preciso para el
cálculo de la derivada, ya que la misma exhibe una mayor
pendiente que la función de Gauss, debido a su mayor
curtosis.

IV.
Conclusiones

Como conclusiones del presente trabajo pueden
señalarse que se analizaron las características de
un método sencillo que permite determinar la mejor
correspondencia entre la derivada de la función obtenida
analíticamente con las expresiones ajustadas por
métodos discretos, el cual se aplica con métodos
satisfactorios a los registros experimentales modelados a
través de de las funciones de Gauss (cromatografía
y espectro ultravioleta) y de Lorentz (espectro infrarrojo) y
puede ser utilizado para la determinación de picos y
bandas.

V.
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VI.
Anexos

Anexo A. Elementos prácticos
utilizados

A1. Definiciones

Función par. Es una función
y = f(x) que cumple con la condición f(x) =
f(-x).

Función impar. Es aquella
función y = f(x) tal que f(x) = -f(-x).

Momentos de una función de densidad de
probabilidad

A2. Propiedades

Propiedad #1. Si la función y =
f(x) es impar, entonces se cumple que:

Propiedad #2. Si la función y =
f(x) es par, entonces se cumple que:

Propiedad #3.

Propiedad #4.

Propiedad #5.

Propiedad #6.

Propiedad #7.

Propiedad #8.

Anexo B. Características de las funciones de
Gauss y Lorentz.

B.1 Momentos de la Función de
Gauss

B.1.1 Norma

Sea .
Entonces: .
Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuación (x)
se tiene que:

La integral puede calcularse a través de la propiedad #8
del apartado A.2 de este trabajo, haciendo , de donde . Sustituyendo este
resultado en la expresión anterior se obtiene:

B.1.2 Momento de primer orden a 1

Sea .
Entonces:

Sustituyendo las dos últimas expresiones en la
definición de momento de primer orden se
obtiene:

Ahora, de acuerdo a la propiedad #1 del apartado A.2 de
este trabajo, la integral I1 es cero, pues el
integrando es una función impar integrada entre límites
simétricos.

Por otra parte la integral, I2 se transforma
en , en virtud
de la propiedad #2 del propio apartado, ya que el integrando es
una función par integrada entre límites
simétricos. Por tanto a
1 = I2 y el cálculo de
I2, puede realizar aplicando las propiedades de la
función relacionadas en el apartado anterior, para los valores
siguientes: n = 0 y .

Bajo estas condiciones:

B.1.3 Momento de segundo orden a 2

Sea .
Entonces: .
Sustituyendo las dos ecuaciones anteriores en el integrando se
obtiene la expresión, que puede transformarse en debido a la paridad de la función
del integrando.

Por tanto el valor de a
2 se obtiene aplicando las propiedades de la
función como se indica a continuación para los valores n = 0
y :

B.1.4 Momento de tercer orden a 3

En este caso resulta evidente que el integrando es el
producto de
una función par por otra impar, integrada entre limites
simétricos, por lo cual de acuerdo con la propiedad #1 del
apartado A.2, a 3 es
cero.

B.1.5 Momento de cuarto orden a 4

Sea .
Entonces: .
Sustituyendo las dos expresiones en la definición de
momento de cuarto orden se obtiene: , que puede transformarse en

Por tanto el valor de a
2 se obtiene aplicando las propiedades de la
función como se indica a continuación n = 4 y :

B.2 Momentos de la Función de
Lorentz

B.2.1 Norma

Sea .
Entonces: .
Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuación
para la norma se tiene que:

Para el cálculo de la nueva integral
I1, se puede utilizar el cambio de
variable x=tan(y), donde se cumple:

Sustituyendo los resultados anteriores en la integral
I1 se obtiene que la norma de la función de
Lorentz viene dada por:

B.2.2 Momento de primer orden a 1

Sea .
Entonces: .
Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuación
para la determinación de
α1 se tiene
que:

Ahora, de acuerdo a las propiedad #1 del apartado A2, la
integral I1 es cero, pues el integrando es una
función impar integrada entre límites
simétricos, en tanto el valor de I2 es
p /2 de acuerdo a los cálculos
del apartado anterior. Bajo estas condiciones se tiene
que:

B.2.3 Momento de segundo orden a 2

Sea .
Entonces: .
Sustituyendo las expresiones anteriores en la expresión
para el momento de segundo orden se tiene que:

Ahora, la integral I1 es divergente, pues el
limite de la función que aparece en el integrando
cuando es uno y no cumple con la
condición de convergencia que exige que ese límite
sea cero.

Anexo C. Derivación de
funciones

C.1 Propiedades de de las
derivadas

Propiedad #1: Sea la función . Entonces

Propiedad #2: Sea la función . Entonces

Propiedad #3: Si , entonces .

De la propiedad anterior se conoce que , con u(x)=e.

Ahora y
. Sustituyendo
éstos resultados en la expresión para la derivada
bajo estas condiciones la expresión .

Propiedad #4: Entonces

De la propiedad anterior se conoce que , con v(x)=n.

Por tanto . Sustituyendo éstos resultados en la
expresión para la derivada de la propiedad x, se obtiene
que .

Propiedad #5: Sean las funciones y . Entonces .

Propiedad #6: Sea la función . Entonces

C.2 Derivada de la función de
Gauss

Función de Gauss:

C.2.1 Primera derivada

Ahora de acuerdo a la propiedad x del apartado A2 si
entonces
.

Sustituyendo los resultados anteriores en la
expresión x, se obtiene que

C.2.2 Segunda derivada

En la expresión anterior, sea: y . Entonces y

.

Sustituyendo los resultados anteriores la propiedad x
del apartado A2, , se obtiene que la segunda derivada de la función de
Gauss viene dada por:

C.2.3 Tercera derivada

Sea y
. Entonces se
tiene que: y
. Sustituyendo
los resultados anteriores en la propiedad x del Apartado A2 se
tiene que a tercera derivada viene dada por:

C.2.4 Cuarta derivada

C.3 Derivadas de la función de
Lorentz

Función de Lorentz:

C.3.1 Primera derivada

De donde:

C.3.2 Segunda derivada

Ahora:

C.3.3 Tercera derivada

Ahora:

Sumando las dos expresiones anteriores se tiene
que:

C.3.4 Cuarta derivada

Anexo D. Expresiones para el cálculo de las
derivadas discretas de hasta cuarto orden.

En el presente anexo se relacionan las expresiones para
el cálculo de las derivadas discretas, reportadas en el
trabajo «Derivadas de funciones de variable
discretas», Monografías.com, ago/2003

D.1. Método de las
diferencias

D.2. Método de derivaciones
sucesivas

D.3. Método de Ajuste de Polinomios a
puntos experimentales

– Dos puntos:

– Tres puntos

– Cuatro puntos:

– Cinco puntos:

D.4. Ajuste de polinomios mediante mínimos
cuadrados

– Cinco puntos:

siete puntos

Autor:

M.Sc. Lic. Jesús Mesa Oramas *;

Lic. Addiss Bermello Crespo*;

Marisol Cabrera *

* Instituto Cubano de Investigaciones
de los Derivados de la Caña de Azúcar
(ICIDCA)